Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
Giải các phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:
LG a
\[2{\left[ {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right]^2} + 3\left[ {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right] + 1 = 0\]
Phương pháp giải:
Đặt \[{x^2} - 2x = t\] để đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai ẩn \[t.\]
Lời giải chi tiết:
Đặt \[{x^2} - 2x = t\], ta thu được phương trình \[2{t^2} + 3t + 1 = 0\]
Phương trình trên có \[a - b + c = 2 - 3 + 1 = 0\] nên có hai nghiệm \[t = - 1;t = - \dfrac{1}{2}.\]
+ Với \[t = - 1 \Rightarrow {x^2} - 2x = - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {x - 1} \right]^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1\]
+ Với \[t = - \dfrac{1}{2} \Rightarrow {x^2} - 2x = - \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow {\left[ {x - 1} \right]^2} = \dfrac{1}{2}\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\x - 1 = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{2}\\x = \dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\]
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm \[x = 1;x = \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{2};x = \dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2}\]
LG b
\[{\left[ {x + {1 \over x}} \right]^2} - 4\left[ {x + {1 \over x}} \right] + 3 = 0\]
Phương pháp giải:
Đặt \[x + \dfrac{1}{x} = t\] để đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai ẩn \[t.\]
Lời giải chi tiết:
ĐK: \[x \ne 0.\]
Đặt \[x + \dfrac{1}{x} = t\], ta thu được phương trình \[{t^2} - 4t + 3 = 0\]
Phương trình trên có \[a + b + c = 1 + \left[ { - 4} \right] + 3 = 0\] nên có hai nghiệm \[t = 1;t = 3.\]
+ Với \[t = 1 \Rightarrow x + \dfrac{1}{x} = 1 \Rightarrow {x^2} - x + 1 = 0\] .
Xét \[\Delta = {\left[ { - 1} \right]^2} - 4.1.1 = - 3 < 0\] nên phương trình vô nghiệm.
+ Với \[t = 3 \Rightarrow x + \dfrac{1}{x} = 3\\ \Rightarrow {x^2} - 3x + 1 = 0\, [*]\]
Phương trình [*] có \[\Delta = {\left[ { - 3} \right]^2} - 4.1.1 = 5 > 0\] nên có hai nghiệm \[\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\\x = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\] [thỏa mãn]
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \[x = \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2};x = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\] .