Đề bài
Cho khối chóp tam giác đều \[S.ABC\] có đáy là tam giác đều cạnh bằng \[a\], các cạnh bên tạo với đáy một góc \[{60^0}\]. Hãy tính thể tích của khối chóp đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tính chiều cao và diện tích tam giác đáy.
- Tính thể tích khối chóp theo công thức \[V = \dfrac{1}{3}Sh\].
Lời giải chi tiết
Kẻ \[SH \bot [ABC]\]. Đường thẳng \[AH\] cắt \[BC\] tại \[I\].
Do \[S.ABC\] là hình chóp tam giác đều nên \[H\] là trọng tâm của \[\Delta ABC\] nên I là trung điểm BC.
Nên AI vừa là trung tuyến vừa là đường cao trong tam giác.
Tam giác ABI vuông tại I có \[AB = a,BI = \frac{a}{2}\].
Theo Pitago ta có: \[AI = \sqrt {A{B^2} - B{I^2}} \] \[= \sqrt {{a^2} - {{\left[ {\frac{a}{2}} \right]}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]
Do đó \[AH = \frac{2}{3}AI= \dfrac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}a,\]
Ta có: \[SH \bot \left[ {ABC} \right]\] nên AH là hình chiếu của SA trên mp[ABC]
Do đó góc giữa SA và [ABC] là góc giữa SA và AH hay \[\widehat {SAH} = {60^0}\]
Tam giác SAH vuông tại H có \[SH = AH.\tan {60^0} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}a.\sqrt 3 = a\]
Thể tích khối chóp \[S.ABC\] là:
\[V = \frac{1}{3}SH.{S_{ABC}}= \frac{1}{3}SH.\frac{1}{2}AI.BC\] \[ = \frac{1}{3}.a.\frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a= \dfrac{{\sqrt 3 }}{{12}}{a^3}\].