Đề bài
Chứng minh rằng nếu các số \[{a^2},{b^2},{c^2}\]lập thành một cấp số cộng \[[abc 0]\] thì các số \[\displaystyle{1 \over {b + c}},{1 \over {c + a}};{1 \over {a + b}}\]cũng lập thành một cấp số cộng.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng tính chất của CSC: Nếu ba số x, y, z là ba số liên tiếp của CSC thì: \[x + z = 2y\].
Lời giải chi tiết
Ta phải chứng minh: \[\displaystyle {1 \over {b + c}} - {1 \over {c + a}} = {1 \over {c + a}} - {1 \over {a + b}} \]
Thật vậy,
\[\eqalign{
& {1 \over {b + c}} - {1 \over {c + a}} = {1 \over {c + a}} - {1 \over {a + b}} \cr
& \Leftrightarrow {{c + a - b - c} \over {[c + a][b + c]}} = {{a + b - c - a} \over {[c + a][a + b]}} \cr
& \Leftrightarrow {{a - b} \over {b + c}} = {{b - c} \over {a + b}}\cr & \Leftrightarrow \left[ {a - b} \right]\left[ {a + b} \right] = \left[ {b + c} \right]\left[ {b - c} \right]\cr &\Leftrightarrow{a^2} - {b^2} = {b^2} - {c^2}\cr} \]
[đúng do \[a^2, b^2,c^2\] lập thành CSC]
Vậy [1] đúng nên \[\displaystyle{1 \over {b + c}},{1 \over {c + a}};{1 \over {a + b}}\]là cấp số cộng.