Đề bài
Hình trụ tròn xoay có bán kính đáy bằng r, có chiều cao bằng 2r và có trục là OO.
a] Chứng minh rằng mặt cầu đường kính OO tiếp xúc với hai mặt đáy của hình trụ và tiếp xúc với tất cả các đường sinh của mặt trụ.
b] Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng song song với trục OO và cách trục một khoảng bằng\[{r \over 2}\]. Tính diện tích thiết diện thu được.
c] Thiết diện nói trên cắt mặt cầu đường kính OO theo thiết diện là một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu nếu \[d\left[ {I,\Delta } \right] = R\].
b] Xác định hình dáng thiết diện và suy ra diện tích.
c] Tính bán kính dựa vào các kiến thức hình học đã biết.
Lời giải chi tiết
a] Vì các mặt đáy của hình trụ vuông góc với trục OO tại O và O nên chúng tiếp xúc với mặt cầu đường kính OO.
Gọi I là trung điểm của đoạn OO. Ta có I là tâm của mặt cầu.
Kẻ IM vuông góc với một đường sinh nào đó [M nằm trên đường sinh] ta đều có IM = r là bán kính của mặt trụ đồng thời điểm M cũng thuộc mặt cầu.
Vậy mặt cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của mặt trụ.
b] Trên mặt đáy tâm O ta gọi H là trung điểm của bán kính OP.
Qua H kẻ dây cung \[AB \bot OP\]và nằm trong đáy [O; r].
Thiết diện cần tìm là một hình chữ nhật \[ABCD\].
Gọi S là diện tích hình chữ nhật này, ta có: SABCD= AB.AD trong đó AD = 2r còn AB = 2AH.
Vì H là trung điểm của OP nên ta tính được \[AB = r\sqrt 3 \].
Vậy \[{S_{ABCD}} = 2{r^2}\sqrt 3 \].
c] Đường tròn giao tuyến của mặt cầu đường kính OO và mặt phẳng [ABCD] có bán kính bằng \[{{AB} \over 2} = {{r\sqrt 3 } \over 2}\].
Đường tròn này có tâm là tâm của hình chữ nhật ABCD và tiếp xúc với hai cạnh AD, BC của hình chữ nhật đó.