Đề bài
Cho tứ diện \[ABCD\] và điểm \[M\] nằm trong tam giác \[BCD\].
a] Dựng đường thẳng qua \[M\] song song với hai mặt phẳng \[[ABC]\] và \[[ABD]\]. Giả sử đường thẳng này cắt mặt phẳng \[[ACD]\] tại \[B\].
Chứng minh rằng \[AB\], \[BM\] và \[CD\] đồng quy tại một điểm.
b] Chứng minh \[\dfrac{MB'}{BA}= \dfrac{dt\left[ {\Delta MC{\rm{D}}} \right]}{dt\left[ {\Delta BC{\rm{D}}} \right]}\].
c] Đường thẳng song song với hai mặt phẳng \[[ACB]\] và \[[ACD]\] kẻ từ \[M\] cắt \[[ABD]\] tại \[C\] và đường thẳng song song với hai mặt phẳng \[[ADC]\] và \[ADB]\] kẻ từ \[M\] cắt \[[ABC]\] tại \[D\].
Chứng minh rằng \[\dfrac{MB'}{BA} +\dfrac{MC'}{CA} +\dfrac{M{\rm{D}}'}{DA} = 1\] .
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng [nếu có] cũng song song với đường thẳng đó.
\[\left\{ \begin{array}{l} [\alpha ]\parallel d\\[\beta ]\parallel d\\[\alpha ] \cap [\beta ]=d'\end{array} \right. \Rightarrow d\parallel d'\]
Sử dụng định lý Talet.
Lời giải chi tiết
a] Ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}MB'\parallel [ABC ]\\MB'\parallel [ABD]\\[ABC]\cap [ABD]=AB\end{array} \right. \]
\[\RightarrowMB'\parallel AB\]
Do \[MB'\parallel AB\]nên \[MB\] và \[AB\] xác định một mặt phẳng. Gọi \[MB\cup AB\equiv I\].
Khi đó \[I \in BM \Rightarrow I \in \left[ {BCD} \right]\]
\[I \in AB' \Rightarrow I \in \left[ {ACD} \right]\]
Nên \[I \in \left[ {BCD} \right] \cap \left[ {ACD} \right] = CD\],
\[I \in CD\]
Vậy ba đường thẳng \[AB\], \[BM\] và \[CD\] đồng quy tại \[I\].
b] \[MB'\parallel AB \Rightarrow \dfrac{MB'}{AB} = \dfrac{IM} {IB}\]
Kẻ \[MM' \bot CD\]và \[BH \bot CD\]
Ta có: \[MM'\parallel BH \Rightarrow \dfrac{IM}{IB} = \dfrac{MM'}{BH}\]
Mặt khác:
\[\left\{ \begin{array}{l}dt[\Delta MCD]=\dfrac{1}{2}CD.MM'\\dt[\Delta BCD]=\dfrac{1}{2}CD.BH\end{array} \right.\]
\[\Rightarrow\dfrac {dt[\Delta MCD]}{dt[\Delta BCD]}=\dfrac{\dfrac{1}{2}CD.MM'}{\dfrac{1}{2}CD.BH}\]
\[=\dfrac{MM'}{BH}\]
Do đó: \[\dfrac{MB'} {AB} = \dfrac{IM}{IB} \]
\[= \dfrac{MM'}{BH}=\dfrac {dt[\Delta MCD]}{dt[\Delta BCD]}\].
Vậy \[\dfrac{MB'}{AB} =\dfrac {dt[\Delta MCD]}{dt[\Delta BCD]}\].
c] Tương tự ta có:
\[\dfrac{MC'}{CA} =\dfrac {dt[\Delta MBD]}{dt[\Delta BCD]}\]
\[\dfrac{MD'}{DA} =\dfrac {dt[\Delta MBC]}{dt[\Delta BCD]}\]
Vậy:
\[\dfrac{MB'}{BA} +\dfrac{MC'}{CA} +\dfrac{M{\rm{D}}'}{DA}\]
\[=\dfrac {dt[\Delta MCD]}{dt[\Delta BCD]}+\dfrac {dt[\Delta MBD]}{dt[\Delta BCD]}+\dfrac {dt[\Delta MBC]}{dt[\Delta BCD]}\]
\[=\dfrac{dt[\Delta MCD]+dt[\Delta MBD]+dt[\Delta MBC]}{dt[\Delta BCD]}\]
\[=1\] .
Logiaihay.com