\[\begin{array}{l}y' = \left[ x \right]'\sqrt {1 + {x^2}} + x\left[ {\sqrt {1 + {x^2}} } \right]'\\ = \sqrt {1 + {x^2}} + x.\dfrac{{\left[ {1 + {x^2}} \right]'}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}\\ = \sqrt {1 + {x^2}} + x.\dfrac{{2x}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}\\ = \sqrt {1 + {x^2}} + \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\\ = \dfrac{{1 + {x^2} + {x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\\ = \dfrac{{1 + 2{x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\end{array}\]
Đề bài
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
\[y = x\sqrt {1 + {x^2}} .\]
Lời giải chi tiết
\[\begin{array}{l}
y' = \left[ x \right]'\sqrt {1 + {x^2}} + x\left[ {\sqrt {1 + {x^2}} } \right]'\\
= \sqrt {1 + {x^2}} + x.\dfrac{{\left[ {1 + {x^2}} \right]'}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}\\
= \sqrt {1 + {x^2}} + x.\dfrac{{2x}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}\\
= \sqrt {1 + {x^2}} + \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\\
= \dfrac{{1 + {x^2} + {x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\\
= \dfrac{{1 + 2{x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}
\end{array}\]