§4. Đưòng thẳng song song và đưòng thẳng cốt nhau /• \ Khi nào thì hai đường thẳng y = ax + b [a * 0] và y = a'x + b' [a' 0] song song với nhau ? Trùng nhau ? cắt nhau ? V > Trên cùng một mặt phẳng toạ độ, hai đường thẳng y = ax + b [a 0] và y = a'x + b' [a' * 0] có thể song song, có thể cắt nhau và cũng có thể trùng nhau. Đường thẳng song song Vẽ đồ thị của các hàm số sau trên cùng một mặt phẳng toạ độ : y = 2x + 3 ; y = 2x - 2. Giải thích vì sao hai đường thẳng y = 2x + 3 và y = 2x - 2 song song với nhau ? [h.9]. • Xét hai đường thẳng y = ax + b [a 0] và y = a'x + b' [a' * 0]. Khi a = a' và b b' thì hai đường thẳng đó song song với nhau, vì chúng không trùng nhau và mỗi đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng y = ax. Khi a = a' và b = b' thì hai đường thẳng đó trùng nhau, vì thực chất chúng chỉ là một. Vậy ta có kết luận sau : Hai đường thẳng y = ax + b [a 0] và ỵ = a'x + b' [a' * 0] song song với nhau khi và chỉ khi a = a', b b' và trùng nhau khi và chỉ khi a = a', b = b'. Đường thẳng cắt nhau QQ Tìm các cặp đường thẳng cắt nhau trong các đường thẳng sau : y = 0,5x + 2 ; y = 0,5x - 1 ; y=l,5x + 2. Khi a = a' thì hai đường thẳng y = ax + b [a * 0] và y = a'x + b'[a' 0] song song với nhau hoặc trùng nhau và ngược lại. Do đó, khi a a' thì hai đường thẳng y = ax + b và y = a'x + b' cắt nhau và ngược lại. Vậy ta có kết luận sau : Hai đường thẳng y = ax + b [a 0] và y = a'x + b' [a' 0] cắt nhau khi và chỉ khi a a'. Chú ý. Khi a a' và b - b' thì hai đường thẳng có cùng tung độ gốc do đó chúng cắt nhau tại một điểm trên trục tung có tung độ là b. Bài toán áp dụng Cho hai hàm số bậc nhất y = 2mx + 3 và y = [m + l]x + 2. Tìm giá trị của m để đồ thị của hai hàm số đã cho là : Hai đường thẳng cắt nhau ; Hai đường thẳng song song với nhau. Giải Hàm số y = 2mx + 3 có các hệ số a = 2m và b = 3. Hàm số y = [m + l]x + 2 có các hệ số a' = m + 1 và b' = 2. Các hàm số đã cho là hàm số bậc nhất, do đó các hệ số a và a' phải khác 0, tức là 2m 0 và m + 1 * 0 hay m 0 và m -1. Đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi a a', tức là 2m m + 1 m 1. Kết hợp với điều kiện trên, ta có m 0, m -1 và m 1. Đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi a = a' và b b'. Theo đề bài, ta có b b' [vì 3 2]. Vậy đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi a = a', tức là 2m = m + 1 m = 1. Kết hợp với điều kiện trên, ta thấy m = 1 là giá trị cần tìm. Ghi chú. Khi trình bày lời giải, để cho ngắn gọn, có thể không ghi phần nhận xét các hệ số. Bài tập Hãy chỉ ra ba cặp đường thẳng cắt nhau và các cặp đường thẳng song song với nhau trong số các đường thẳng sau : a] y = l,5x + 2 ; b] y = X + 2 ; c] y = 0,5x - 3 ; y = X - 3 ; e] y = l,5x - 1 ; g] y = 0,5x + 3. Cho hai hàm số bậc nhất y = mx + 3 và y = [2m + l]x - 5. Tìm giá trị của m để đồ thị của hai hàm số đã cho là : Hai đường thẳng song song với nhau ; Hai đường thẳng cắt nhau. Cho hàm số y = ax + 3. Hãy xác định hệ số a trong mỗi trường hợp sau : Đồ thị của hàm số song song với đường thẳng y = -2x. Khi X = 2 thì hàm số có giá trị y = 7. Luyện tộp Cho hàm số y = 2x + b. Hãy xác định hệ số b trong mỗi trường hợp sau : Đồ thị của hàm số đã cho cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -3 ; Đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm A[1 ; 5]. Cho hai hàm số bậc nhất y = 2x + 3k và y = [2m + l]x + 2k - 3. Tìm điều kiện đối với m và k để đồ thị của hai hàm số là : Hai đường thẳng cắt nhau ; Hai đường thẳng song song với nhau ; Hai đường thẳng trùng nhau. a] Vẽ đồ thị của các hàm số sau trên cùng một mặt phẳng toạ độ : điểm có tung độ bằng 1, cắt các đường thắng y = 3 x + 2 và y = 2 x + 2 theo thứ tự tại hai điểm M và N. Tìm toạ độ của hai điểm M và N. Cho hàm số bậc nhất y = ax - 4 [1]. Hãy xác định hệ số a trong mỗi trường hợp sau : Đồ thị của hàm số [1] cắt đường thẳng y = 2x - 1 tại điểm có hoành độ bằng 2. Đồ thị của hàm số [1] cắt đường thẳng y = -3x + 2 tại điểm có tung độ bằng 5.
§4. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VÀ ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU Tóm tắt kiến thức Đường thẳng song song Hai đường thẳng y = ax + b và y = a'x + b' song song với nhau khi và chi khi a = a', b b' và trùng nhau khi và chỉ khi a = a', b = b'. Đường thẳng cắt nhau Hai đương thẳng y - ax + b và y = a'x + b' cắt nhau khi và chi khi a a'. Ví dụ giải toán Ví dụ 1. Trong các đường thẳng sau, những đường thẳng nào song song, những đường thắng nào cắt nhau ? y = 7x - 2 ; y = 5x + V2 ; y = 7x + V5 Giải. Hai đường thẳng y = 7x - 2 và y = 7x + v? song song với nhau vì a = 7 = a' và b = -2 5^ V5 = b'. Hai đường thẳng y = 7x - 2 và y = 5x + V2 cắt nhau vì a = 7 5 = a' Hai đường thẳng y = 5x + V2 và y = 7x + v? cắt nhau. Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng y = [m - 2]x - 3 và y = [4m + l]x + m. Tìm giá trị của m đê’ hai đường thẳng : cắt nhau ; song song ; .trùng nhau. Giải, a] Muốn hai đường thẳng đã cho cắt nhau thì m - 2 4m + 1 hay -3m * 3. Suy ra m * —1. Vậy để hai đường thẳng đã cho cắt nhau thì m * -1. Muốn hai đường thẳng đã cho song song với nhau thì m - 2 = 4m + 1 và m -3. Suy ra m = -1. Vậy để hai đường thẳng đã cho song song với nhau thì m = -1. Muốn hai đường thẳng đã cho trùng nhau thì m — 2 - 4m + 1 và m = —3. Nhưng từ hệ thức đầu suy ra m = -1 -3. Vậy hai đường thẳng đã cho không thể trùng nhau. Ví dụ 3. Cho ba đường thẳng y = f[x] = m[m + l]x - 2m, y = [rù2 + l]x - m + 2 và y = g[x] = 5x - 2. Biết rằng hai đường thẳng đầu tiên có cùng tung độ gốc. Hỏi trong ba đường thẳng đã cho có hai đường thẳng nào song song với nhau không ? Nếu có những đường thẳng cắt nhau thì hãy tìm toạ độ giao điểm của chúng. Giải, a] Vì hai đường thẳng y = m[m + l]x - 2m và y = [m2 + l]x - m + 2 có cùng tung độ gốc nên -2m = -m + 2. Do đó m = -2. Vì m = -2 nên hai đường thẳng đầu tiên lần lượt là những đường thẳng y = 2x + 4 và y = 5x + 4. Vậy đường thẳng thứ hai song song với đường thẳng thứ ba. b] Vì hai đường thẳng đầu tiên có cùng tung độ gốc là 4 nên chúng cắt nhau tại điểm P[0 ; 4]. Chỉ còn phải tìm giao điểm của hai đường thẳng y = f[x] = 2x + 4 và y = g[x] = 5x - 2. Giả sử M[x0 ; y0] là giao điểm cần tìm. Vì M thuộc đường thẳng y = 2x + 4 nện y0 = f[x0] = 2x0 + 4. Tương tự, vì M thuộc đường thẳng y = g[x] = 5x - 2 nên y0 = 5x0 - 2. Do đó 5x0 •- 2 = 2x0 + 4. Suy ra 3x0 = 6 hay x0 = 2 và y0 = 2.2 + 4 = 8. Vậy hai đường thẳng y = 2x + 4 và y - 5x - 2 cắt nhau tại M[2 ; 8]. 0 Lưu ý. Muốn tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng y = ax + b và y - a'x + b', ta làm như sau : - Giải phương trình ax + b = a'x + b' để tìm giá trị của X ; - Thay giá trị vừa tìm được của X vào đẳng thức y = ax + b hoặc y = a'x + b', ta tìm được giá trị của y. Cập giá trị [x ; y] tìm được là toạ độ của giao điểm. c. Hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa Iìài 20. Ba cặp đường thẳng cắt nhau là : a] và b] • b] và c] ; a] và c]. Các cặp đường thẳng song song là : a] và e]; b] và d]; c] và g]. Bài 21. ĐS. a]m = -l; b]m*-l. Bài 22. ạ]£>S:a = -2. b] Ta có 7 = a.2 + 3. Suy ra a = 2. Bài 23. a] Đồ thị cắt trực tung tại diêm có tung độ bằng -3 có nghĩa là tung độ gốcb = -3. b] Đồ thị cửa hàm số đi qua điểm A[1 ; 5] nên 5 = 2.1 + b. Suy ra b = 3. Bài 24. a] Hai đường thẳng cắt nhau khi 2m +1^2 hay m 0,5, k tùy ý. b] Hai đường thắng song song với nhau khi 2m + 1 - 2 và 3k 2k - 3 Bài 26. a] Giả sử M là giao điểm của đồ thị của hàm số [1] và đường thẳng y = 2x - 1. Vì M thuộc đường thẳng y = 2x - 1 và có hoành độ là X = 2 nên tung độ của nó là y = 2.2 - 1 = 3. Như vậy ta có M[2 ; 3]. Vì M thuộc đồ thị của hàm số [1] nên 3 = a.2 - 4. Do đó a = 3,5. Gọi N là giao điểm của đồ thị của hàm số [1] và đường thẳng y = -3x + 2. Lập luận tương tự như trên, ta tìm được N[-l ; 5] và a - -9. D. Bài tập luyện thêm Cho hai đường thẳng y = —T?x^t- V3 và y - ax + b. Tìm a và b để đữờng thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = - V? X + V3 và đi qua điểm M[ —;1 - V?]. 1 + V5 Cho hai đường thẳng y - [2m - 1 ]x + n và y = [5 - m]x + 3. Tìm giá trị của m và n để hai đường thẳng đã cho song song với nhau. Với các giá trị m, n vừa tìm được, gọi A và B lần lượt là giao điểm của mỗi đường thẳng đã cho với trục Ox và giả sử rằng mỗi đơn vị độ dài trên các trục toạ độ bằng lcm. Tìm giá trị của n để AB = 2cm. Cho đường thẳng y = -0,5x + 2. Tìm giá trị của m và k để đường thẳng y = [3m - l]x + k song song với đường thẳng y = [m + 3]x - 5 và cắt đường thẳng y = -O.,5x + 2 tại một điểm trên trục Ox. •TP Lời giải - Hướng dẫn - Đáp số ĐS:a = -^,b=^I. 4 a] Hai đường thẳng đã cho song song khi2m-l = 5 - m và n # 3 hay khi m = 2 và n 3. b] Vì m = 2 nên các đường thẳng đã cho lần lượt là y = 3x + n và y - 3x + 3. Từ đó suy ra A có hoành độ Xị = -y, B có hoành độ x2 = -1. Vì x2 = -1 nên OB = 1 < 2 nên có hai trường hợp : o nằm giữa A và B. Khi đó, vì Xọ = -1 0, do đó Suy' ra n = 9. Vậy n = -3 hoặc n = 9. Hai đường thẳng y = [3m - l]x + k và y = [m + 3]x - 5 song song với nhau khi 3m - 1 = m + 3 và k + -5 hay m = 2 và k + -5. Khi dó y = [3m - 1 ]x + k trở thành y = 5x + k, k + -5 . Đường thẳng y = -0,5x + 2 cắt trục Ox tại A[4 ; 0]. Để đường thẳng y = 5x + k cắt đường thẳng y = -0,5x + 2 tại điểm trên trục Ox ; tức là tại A thì 0 = 5.4 + k. Suy ra k = -20. Vậy m = 2 và k = -20.
1. Đường thẳng có hệ số góc .
+ .
+ .
Với ∝ là góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b với chiều dương trục hoành Ox nằm trên trục hoành.
* Các đường thẳng có cùng hệ số [ là hệ số của ] thì tạo với trục các góc bằng nhau.
2. Xét hai đường thẳng
Ta có: và .
cắt .
trùng với và .
Ví dụ 1: Cho hàm số . Hãy xác định hệ số nếu:
a] Đồ thị hàm số song song với đường thẳng .
b] Khi thì hàm số có giá trị bằng .
Bài giải:
a] Vì đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số nên . Khi đó ta có hàm số
b] Hàm số có giá trị bằng tức là .
Với , thay vào phương trình , ta được:
Vậy .
Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng [d]: và [d’]: .
Bài giải:
Ta có:
Vậy .
.
Bài 1: Cho điểm và đường thẳng [d]: .
Viết phương trình của đường thẳng [d’] song song với [d] và qua M.
Bài giải:
[d’] // [d] nên phương trình [d’] có dạng: ,
Vậy phương trình của đường thẳng [d’] là: .
Bài 2: Cho hai đường thẳng [d1]: và [d2]: .
Tìm k và m để [d1] và [d2] trùng nhau.
Bài giải:
[d1] trùng [d2] kí hiệu là .
Bài 1: Cho ba đường thẳng ; và .
Tìm m để ba đường thẳng đồng quy.
Bài giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của [d1] và [d2] là:
Thay x = 1 vào phương trình đường thẳng [d1] ta được:
Suy ra tọa độ giao điểm của [d1] và [d2] là
.
Bài 2: Cho hai đường thẳng và .
a] Tìm tọa độ giao điểm A của và
b] Viết phương trình đường thẳng [d] qua A và song song với đường thẳng .
Bài giải:
a] Phương trình hoành độ giao điểm của [d1] và [d2] là:
Thay vào phương trình của [d1] ta được:
b] ] nên phương trình [d] có dạng: [ m khác -1].
[thỏa mãn]
Vậy phương trình của [d3] là: .
Xem thêm: Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b [a khác 0]
Trên đây là các kiến thức cần nhớ và các bài tập ví dụ minh họa về nội dung của bài học Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau – toán cơ bản lớp 9.
Chúc các em học tập hiệu quả!