Giải và biện luận bất phương trình ax + b < 0
|
Giải và biện luận bất phương trình bậc 2 theo tham số m Show
I. Cách giải và biện luận phương trình bậc 2Để giải và biện luận phương trình bậc 2, chúng ta tínhΔvà dựa vào đó để biện luận. Chú ý rằng, trong thực tế chúng ta thường gặp bài toán tổng quát: Giải và biện luận phương trìnhax2+bx+c=0với hệ sốacó chứa tham số. Lúc đó, quy trình giải và biện luận như sau. Bài toán: Giải và biện luận phương trìnhax2+bx+c=0 Chúng ta xét 2 trường hợp chính: 1.Nếua=0thì phương trìnhax2+bx+c=0trở thành bx+c=0 Đây chính là dạng phương trình bậc nhấtax+b=0đã biết cách giải. Để giải và biện luận phương trìnhax+b=0, ta xét hai trường hợp: - Trường hợp 1.Nếua≠0thì phương trình đã cho là phương trình bậc nhất nên có nghiệm duy nhất - Trường hợp 2.Nếua=0thì phương trình đã cho trở thành0x+b=0, lúc này: + Nếub=0thì phương trình đã cho có tập nghiệm làR; + Nếub≠0thì phương trình đã cho vô nghiệm. 2.Nếua≠0thì phương trình đã cho là phương trình bậc hai có: ∆ = b2 -4ac Chúng ta lại xét tiếp 3 khả năng củaΔ: Δ<0: Phương trình vô nghiệm; Δ=0: Phương trình có một nghiệm, x= -b/a đôi khi ta còn gọi là nghiệm kép; Cuối cùng, chúng ta tổng hợp các trường hợp lại thành một kết luận chung. II. Bài toán giải và biện luận bất phương trình bậc hai theo tham số mBài toán 1. Giải và biện luận các bất phương trình: b. 12x2+ 2(m + 3)x + m ≤ 0. Lời giải: a. Ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1:Ta có Δ' = 1 - 6m. Xét ba trường hợp: ⇒ nghiệm của bất phương trình là x < x1hoặc x > x2. Kết luận: Cách 2:Biến đổi bất phương trình về dạng: (x + 1)2> 1 - 6m. Khi đó: Vậy, nghiệm của bất phương trình là tậpR\{-1}. b. Với f(x) = 12x2+ 2(m + 3)x + m, ta có a = 12 và Δ' = (m - 3)2≥ 0. Khi đó, ta xét hai trường hợp: Xét hai khả năng sau: - Khả năng 1: Nếu x1< x2⇔ m < 3. Khi đó, ta có bảng xét dấu: - Khả năng 2: Nếu x1> x2⇔ m > 3. Khi đó, ta có bảng xét dấu: Kết luận: Bài toán 2. Giải và biện luận bất phương trình: (m - 1)x2- 2(m + 1)x + 3(m - 2) > 0. (1) Lời giải Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu m – 1 = 0⇔ m = 1, khi đó: (1)⇔ – 4x - 3 > 0⇔ x < - 3/4. Trường hợp 2: Nếu m – 1 ≠ 0⇔ m ≠ 1. Ta có: a = m – 1, Δ’ = (m + 1)2- 3(m – 2)(m – 1) = -2m2+ 11m – 5. Bảng xét dấu: Kết luận: + Với m ≤ 1/2, thì (1) vô nghiệm. + Với 1/2 < m < 1, nghiệm của (1) là x2≤ x ≤ x1. + Với 1 < m < 5, nghiệm của (1) là x < x1hoặc x > x2. + Với m > 5, thì (1) đúng với∀x∈R.
Giải và biện luận phương trình bậc nhất $ax+b=0$ là một dạng toán quan trọng giúp học sinh rèn luyện khả năng lập luận, tư duy logic. Xem thêm Toán 10 – Biện luận hệ phương trình, hệ bất phương trình bằng đồ thị 1. Giải và biện luận phương trình ax+b=0Để giải và biện luận phương trình $ax+b=0$, ta xét hai trường hợp:
Bảng tóm tắt cách giải và biện luận phương trình $ax+b=0$ Chú ý khi giải và biện luận phương trình bậc nhất:
2. Ví dụ giải và biện luận phương trình ax+b=0Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình $ mx+2-m=0$. Chúng ta xét hai trường hợp:
Vậy, $ m=0$ thì phương trình đã cho vô nghiệm; $ m\ne 0$ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình $ (m-2)x+2-m=0$. Chúng ta xét hai trường hợp:
Vậy, $ m=2$ thì phương trình đã cho có tập nghiệm là $ \mathbb{R}$; $ m\ne 2$ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=-1$. Ví dụ 3. Giải và biện luận phương trình $ mx+(2-3m)x+5=0$. Hướng dẫn. Trước tiên chúng ta biến đổi phương trình đã cho về dạng $ ax+b=0$. Có, phương trình đã cho tương đương với $$ (2-2m)x+5=0 $$ Chúng ta xét hai trường hợp:
Vậy, $ m=1$ thì phương trình đã cho vô nghiệm; $ m\ne 1$ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=\frac{-5}{2-2m}$. Ví dụ 4. Giải và biện luận phương trình $ \frac{5x-m}{x-1}=0$. Hướng dẫn. Trước tiên chúng ta tìm điều kiện xác định của phương trình, sau đó biến đổi đưa phương trình về dạng quen thuộc $ ax+b=0.$
Tóm lại, $ m=5$ thì phương trình đã cho vô nghiệm; $ m\ne 5$ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=\frac{m}{5}.$ Ví dụ 5. Giải và biện luận phương trình $$ \frac{mx+2m}{x-3}=0 $$ Ví dụ 6. Giải và biện luận phương trình $$ \frac{(m+1)x+2m}{x^2-4}=0 $$ Ví dụ 7. Giải và biện luận phương trình $$ \frac{x+2-m}{\sqrt{x-4}}=0 $$ Ví dụ 8. Tìm $m$ để phương trình $ (x-1)(x-3m)=0$ có hai nghiệm phân biệt. Ví dụ 9. Tìm $m$ để phương trình $ \sqrt{x-3}(x+5-m)=0$ có hai nghiệm phân biệt. Ví dụ 10. Tìm $m$ để phương trình $ (3-m)x+9-m^3=0$ có tập nghiệm là $ \mathbb{R}$. Ví dụ 11. Tìm $m$ để phương trình $ (3-m)x+9-m^3=0$ vô nghiệm. Ví dụ 12. Tìm $m$ để phương trình $ \frac{(3-m)x+3}{x-5}=0$ vô nghiệm. 3. Bài tập giải và biện luận phương trình bậc nhấtBài 1. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số $m$:
|
