Phương Trình Hình Chiếu Vuông Góc Của Đường Thẳng Lên Mặt Phẳng trong không gian Oxyz
Phương Trình Hình Chiếu Vuông Góc Của Đường Thẳng Lên Mặt Phẳng trong không gian Oxyz
[1]. Phương trình hình chiếu vuông góc của $d$ lên $[P],$ với $d$ cắt $[P].$
Gọi $Q$ là mặt phẳng chứa $d$ và $Q\bot [P],$ do đó $\Delta =[P]\cap [Q]$ và
$\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right] \right],$ tìm một điểm thuộc $\Delta $ là $A=d\cap [P].$
[2]. Nếu đường thẳng $d//[P],$ thì $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\overrightarrow{{{u}_{d}}}$ và điểm $B\in \Delta $ là hình chiếu của điểm $A\in d$ lên mặt phẳng $[P].$
Ví dụ 1.Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+5}{-1}=\frac{z-3}{4}.$ Phương trình nào dưới đây là phương trình của hình chiếu vuông góc của $d$ lên mặt phẳng $x+3=0?$
| A. | B. | C. | D. |
Gọi $Q$ là mặt phẳng chứa $d$ và $Q\bot [P],$ do đó $\Delta =[P]\cap [Q]$ và
$\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right] \right]=[0;1;-4]$ và dễ có $d\cap [P]=A[-3;-3;-5]\in \Delta ,$
Vậy $d\cap [P]=A[-3;-3;-5]\in \Delta ,$ đối chiếu đáp án nhận D.
Bài tập tự luyện:
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho mặt phẳng $[P]:x+y-3z-3=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{-3}=\frac{z+2}{1}.$ Gọi ${d}'$ là hình chiếu vuông góc của $d$ lên mặt phẳng $[P].$ Tìm một véctơ chỉ phương của ${d}'.$
| A. $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=[26;-29;-1].$ | B. $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=[13;-10;-1].$ | C. $\overrightarrow{{{u}_{3}}}=[1;2;-1].$ | D. $\overrightarrow{{{u}_{4}}}=[6;9;5].$ . |
Bài viết gợi ý:
Trong bài này, amiralmomenin.net sẽ hướng dẫn các bạn chi tiết cách tìm hình chiếu vuông góc của điểm, đường thẳng lên mặt phẳng. Gồm có 3 dạng sau: Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng, hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng và hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng. Cùng theo dõi ngay nhé!
1. Hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng trong không gian Oxyz
Để tìm hình chiếu vuông góc của điểm M[x_M,y_M,z_M] lên đường thẳng d: \left\{\begin{matrix}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct\end{matrix}\right. trong không gian Oxyz, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Gọi điểm M" là hình chiếu của M lên d
\Rightarrow M" \in d \Rightarrow M"[x_0+at, y_0+bt, z_0+ct]Bước 2: Vì M" là hình chiếu vuông góc của M lên d
\Rightarrow MM" \perp d \Rightarrow \vec {MM"} .\vec u_d=0.
Bạn đang xem: Hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng
Bước 3: Từ dữ kiện \vec {MM"} .\vec u_d=0 , ta sẽ giải và tìm được t, từ t ta có thể dễ dàng suy ra điểm M" rồi. [Xem hình vẽ bên dưới để dễ hình dung hơn]
Xem ví dụ dưới đây để hiểu rõ hơn nhé!
Tìm hình chiếu của điểm M[1,1,3] lên đường thẳng d: \left\{\begin{matrix}x=1-t\\y=2+2t\\z=-1-t\end{matrix}\right.Gọi điểm M’ là hình chiếu của M lên d \Rightarrow M"[1-t,,2+2t,-1-t.Ta có MM’ \perp d \Rightarrow \vec {MM’} . \vec u_d =0 [1]Mà \vec {MM’}=[-t,1+2t,-4-t] và \vec u_d=[-1,2,-1][1] \Leftrightarrow [-t].[-1]+[1+2t].2 +[-4-t].[-1]=0 \Leftrightarrow t=-1Thay t=-1 \Rightarrow M"[2,0,0] là hình chiếu của M lên dĐể tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng trong không gian Oxyz, ta có thể giải theo kiểu tự luận tức là trình bày chi tiết các bước thực hiện hoặc giải bằng công thức nhanh [phù hợp với trắc nghiệm]. amiralmomenin.net nghĩ rằng bạn nên hiểu cả 2 cách này để vừa có thể áp dụng công thức tính nhanh, vừa có thể hiểu bản chất để lỡ có quên công thức thì còn có cái mà dùng.
Tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng theo bản chất [tự luận]
Giả sử cần tìm hình chiếu vuông góc của điểm M[x_M,y_M,z_M] lên mặt phẳng [P]: Ax+By+Cz+d=0
Bước 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với [P]. Vì d vuông góc với [P] nên VTPT của [P] chính là VTCP của d. Khi đó, phương trình của d:\left\{\begin{matrix}x=x_M+At\\y=y_M+Bt\\z=z+M=Ct\end{matrix}\right.
Bước 2: Tìm giao điểm M" của đường thẳng d và [P]. Đây cũng chính là hình chiếu của M lên [P] và tọa độ của nó sẽ là nghiệm của hệ phương trình sau: \left\{\begin{matrix}x_{M"}=x_M+At\\y_{M"}=y_M+Bt\\z_{M"}=z_M+Ct\\Ax+By+Cz+D=0\end{matrix}\right..
Bước 3: Giải hệ phương trình trên là có thể tìm được điểm M" là hình chiếu của M lên [P] rồi. [Xem hình ảnh bên dưới].
Tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng bằng công thức tính nhanh [trắc nghiệm]
Công thức tính nhanh hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng đơn giản chỉ là rút ra từ cách giải theo bản chất ở trên. Công thức cụ thể như sau:
Công thức tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng*Cách tự luậnGọi d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với [P]\Rightarrow d có VTCP chính là VTPT của [P] \Rightarrow \vec u_d=\vec n_P =[2,3,-1]\Rightarrow d: \left\{\begin{matrix}x=1+2t\\ y=2+3t\\ z=3-t\end{matrix}\right. .Giao điểm M’ của d và [P] có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:\left\{\begin{matrix}x=1+2t\\ y=2+3t\\ z=3-t\\2x+3y-z+9=0\end{matrix}\right. \Rightarrow M"[-1.-1.4] là tọa độ hình chiếu của M lên [P]*Cách trắc nghiệmĐầu tiên ta tìm k=-\frac{Ax_M+By_M+Cz_M+D}{A^2+B^2+C^2}=-\frac{2.1+3.2-1.3+9}{2^2+3^2+[-1]^2}=-1\Rightarrow tọa độ của M’ : \left\{\begin{matrix}x=1+2[-1]\\ y=2+3[-1]\\ z=3-1.[-1]\end{matrix}\right.Vậy M[-1,-1,4] là hình chiếu của M lên [P]Nếu bạn đã hiểu rõ phương pháp tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng mà amiralmomenin.net vừa giới thiệu ở trên thì việc tìm hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng sẽ không có gì khó nữa.
Xem thêm: Viết Phương Trình Đường Vuông Góc Chung, Của Hai Đường Thẳng Chéo Nhau
Đối với đường thẳng song song với mặt phẳng: Ta sẽ tìm một điểm bất kì thuộc đường thẳng đó, lấy hình chiếu của điểm đó lên mặt phẳng. Khi đó ta sẽ viết được phương trình đường thẳng hình chiếu với điểm hình chiếu vừa tìm và VTCP cũng chính là VTCP của đường thẳng ban đầu
Đối với đường thẳng cắt mặt phẳng: Ta sẽ tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng đó, sau đó lấy một điểm bất kì trên đường thẳng đó, lấy hình chiếu của điểm đó lên mặt phẳng. Khi đó, ta sẽ viết được phương trình đường thẳng hình chiếu với 2 điểm vừa tìm được, chính là giao điểm và điểm hình chiếu.
Xem ví dụ dưới đây để hiểu rõ hơn nhé!
Tìm hình chiếu của đường thẳng d: \frac{x-1}{2}=\frac{y}{-3}=\frac{z+2}{1} lên mặt phẳng [P]:x+y-3z-3=0
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng thảo luận với các CAO THỦ trên mọi miền tổ quốc. Hoàn toàn miễn phí! Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thoi tâm O. SO vuông góc với đáy. Xác định hình chiếu của: a, các cạnh bên lên đáy. b, SA, SC lên [SBD] c, SB, SD lên [SAC] d, SO lên các mặt bên
e, SA lên [SBC], [SCD], [SBD]
Tư tưởng xác định hình chiếu của 1 cạnh lênh 1 mp, ta phải xác định được hình chiếu của 2 đầu mút của cạnh lên mặt phẳng đó
a] O là hình chiếu của S lên đáy=> hình chiếu của các cạnh bên lên đáy lần lượt là AO,BO,CO,DO
Câu b] và c] thì tương tự nhau về cách làm c] Từ B,D hạ BH,DK vuông AC. Ta có BH,DK cũng vuông SO[do SO vuông với đáy] => BH,DK vuông [SAC] =>H,K là h.chiếu của B, D lên [SAC]. Do đó hình chiếu của SB,SD lên [SAC] là SH,SK
d] Từ O hạ 4 hình chiếu vuông góc H1,H2,H3,H4 lên AB,BC,CD,DA , rồi tiếp tục hạ OH'1,OH'2,OH'3,OH'4 vuông góc SH1,SH2,SH3,SH4thì SH'1,SH'2,SH'3,SH'4 là 4 hình chiếu của SO lên các mặt bên
Reactions: ledoanphuonguyen and Thùy TThi