Tính Khoảng cách từ một điểm trên mặt phẳng đáy tới mặt phẳng chứa đường cao
Xét bài toán khoảng cách trong không gian.
Cho hình chóp có đỉnhScó hình chiếu vuông góc lên mặt đáy làH. Tính khoảng cách từ điểmAbất kì đến mặt bên $\left[ SHB \right]$.
Kẻ $AH\bot HB$ ta có:
$\left\{ \begin{array}{} AK\bot HB \\{} AK\bot SH \\ \end{array} \right.\Rightarrow AK\bot \left[ SHB \right]$
Suy ra $d\left[ A;\left[ SHB \right] \right]=AK$.
Cách tính:
Ta có: $d\left[ A;\left[ SHB \right] \right]=AK=\frac{2{{S}_{AHB}}}{HB}$
$=AB\sin \widehat{ABK}=AH.\sin \widehat{AHK}$.
Bài tập tính khoảng cách từ một điểm có đáp án chi tiết
| Bài tập 1:Cho hình chópS.ABCcó đáy là tam giácABCcó $AB=3a,BC=2a,\widehat{ABC}=60{}^\circ $. Biết $SA\bot \left[ ABC \right]$. a] Tính khoảng cách từCđến mặt phẳng $\left[ SAB \right]$. b] Tính khoảng cách từBđến mặt phẳng $\left[ SAC \right]$. |
Lời giải chi tiết
a] Dựng $CH\bot AB$ ta có: $\left\{ \begin{array}{} CH\bot AB \\{} CH\bot SA \\ \end{array} \right.\Rightarrow CH\bot \left[ SAB \right]$
Do đó
$d\left[ C;\left[ SAB \right] \right]=CH=CB\sin \widehat{ABH}=2a\sin 60{}^\circ =a\sqrt{3}$.
b] Dựng $CK\bot AC\Rightarrow CK\bot \left[ SAC \right]$.
Ta có: $d\left[ B;\left[ SAC \right] \right]=CH=\frac{2{{S}_{ABC}}}{AC}=\frac{AB.BC\sin \widehat{ABC}}{AC}$
Trong đó $A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}-2BA.BC\cos \widehat{B}$
$\Rightarrow AC=a\sqrt{7}\Rightarrow d\left[ B;\left[ SAC \right] \right]=\frac{3a.2a.\sin 60{}^\circ }{a\sqrt{7}}=\frac{3a\sqrt{21}}{7}$.
| Bài tập 2:Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình chữ nhật với $B=a,AD=a\sqrt{3}$. Tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là trung tâm của AB. a] Tính khoảng cách từAđến mặt phẳng $\left[ SHD \right]$. b] Tính khoảng cách từDđến mặt phẳng $\left[ SHC \right]$. |
Lời giải chi tiết
a] Do tam giácSABcân tạiSnên $SH\bot AB$.
Ta có: $HA=HD=\frac{a}{2}$.
Mặt khác $\left[ SAB \right]\bot \left[ ABCD \right]\Rightarrow SH\bot \left[ ABCD \right]$.
Dựng $AE\bot DH\Rightarrow AE\bot \left[ SHD \right]\Rightarrow d\left[ A;\left[ SHD \right] \right]=AE$.
Mặt khác $AE=\frac{AH.AD}{\sqrt{A{{H}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{39}}{13}$.
b] Dựng $DK\bot CH\Rightarrow d\left[ D;\left[ SHC \right] \right]=DK$.
Ta có: $CH=\sqrt{H{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\frac{a\sqrt{13}}{2}$, ${{S}_{HCD}}=\frac{1}{2}CD.d\left[ H;CD \right]=\frac{1}{2}\text{.}a\text{.}a\sqrt{3}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$.
Do đó $d\left[ D;\left[ SHC \right] \right]=\frac{2{{S}_{HCD}}}{CH}=\frac{2a\sqrt{39}}{13}$.
| Bài tập 3:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B có $AD=3a$, $AB=BC=2a$. Biết $SA\bot \left[ ABCD \right]$. a] Tính khoảng cách từCđến mặt phẳng $\left[ SAD \right]$. b] Tính khoảng cách từDđến mặt phẳng $\left[ SAC \right]$. |
Lời giải chi tiết
a] Dựng $CE\bot AD\Rightarrow CE\bot \left[ SAD \right]$.
Khi đó $d\left[ C;\left[ SAD \right] \right]=CE$, do ABCE là hình vuông cạnh $2a$ nên $CE=AE=2a\Rightarrow d\left[ C;\left[ SAD \right] \right]=2a$.
b] Dựng $DH\bot AC\Rightarrow DH\bot \left[ SAC \right]$.
Khi đó $d\left[ D;\left[ SAC \right] \right]=DH$.
Ta có: ABCE là hình vuông nên $\widehat{CAD}=45{}^\circ $.
Do đó $DH=ADsin45{}^\circ =3a.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3a\sqrt{2}}{2}$.
| Bài tập 4:Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình vuông cạnh $5a$. Hình chiếu vuông góc của đỉnhStrên mặt phẳng $\left[ ABCD \right]$ trùng với trọng tâmHcủa tam giácABD. a] Tính khoảng cách từBđến mặt phẳng $\left[ SAC \right]$. b] Tính khoảng cách từCđến mặt phẳng $\left[ SHD \right]$. |
Lời giải chi tiết
a] Do H là trọng tâm tam giác ABD $\Rightarrow H\in AC$.
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD $\Rightarrow BO\bot AC$.
Mặt khác $BO\bot SH\Rightarrow BO\bot \left[ SAC \right]$
Khi đó $d\left[ B;\left[ SAC \right] \right]=BO=\frac{5a\sqrt{2}}{2}$.
b] Dựng $CK\bot HD\Rightarrow CK\bot \left[ SHD \right]\Rightarrow d\left[ C;\left[ SHD \right] \right]=CK$.
Gọi I là trung điểm của AB thì $H=DI\cap AO$.
Khi đó: $CK=\frac{2{{S}_{ICD}}}{DI}=\frac{2.\frac{1}{2}{{S}_{ABCD}}}{DI}=\frac{25{{a}^{2}}}{\sqrt{D{{A}^{2}}+A{{I}^{2}}}}=\frac{25{{a}^{2}}}{\sqrt{25{{a}^{2}}+{{\left[ \frac{5a}{2} \right]}^{2}}}}=2a\sqrt{5}$.
| Bài tập 5:Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDnửa lục giác đều cạnh $a$, với $AB=2a$. Biết $SA\bot \left[ ABCD \right]$ và mặt phẳng $\left[ SBC \right]$ tạo với đáy một góc $60{}^\circ $. a] Tính khoảng cách từCđến mặt phẳng $\left[ SAB \right]$. b] Tính khoảng cách từDđến mặt phẳng $\left[ SAC \right]$. |
Lời giải chi tiết
a] Tứ giác ABCD là nửa lục giác đều cạnh $a$ nên nó nội tiếp đường tròn đường kính $AB=2a$.
Dựng $CH\bot AB\Rightarrow CH\bot \left[ SAB \right]\Rightarrow d\left[ C;\left[ SAB \right] \right]=CH$.
Mặt khác $\widehat{ABC}=60{}^\circ \Rightarrow CH=BC\sin 60{}^\circ =\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Vậy $d\left[ C;\left[ SAB \right] \right]=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
b] Dựng $DK\bot AC\Rightarrow DK\bot \left[ SAC \right]\Rightarrow d\left[ D;\left[ SAC \right] \right]=DK$.
Do $\widehat{DCB}=120{}^\circ ,\widehat{ACB}=90{}^\circ \Rightarrow \widehat{ACD}=30{}^\circ \Rightarrow DK=CD\sin \widehat{DCK}=a\sin 30{}^\circ =\frac{a}{2}$.
| Bài tập 6:Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành có diện tích bằng 2, $AB=\sqrt{2},BC=2$. GọiMlà trung điểm củaCD, hai mặt phẳng $\left[ SBD \right]$ và $\left[ SAM \right]$ cùng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từBđến mặt phẳng $\left[ SAM \right]$. |
Lời giải chi tiết
Ta có${{S}_{ABCD}}=2{{S}_{\Delta ABC}}=2{{S}_{\Delta MAB}}=2\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}={{S}_{\Delta MAB}}=1$.
$\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}.AB.BC.\sin \widehat{ABC}=1\Rightarrow \sin \widehat{ABC}=\frac{1}{\sqrt{2}}$.
Do đó $\widehat{ABC}=45{}^\circ \Rightarrow \widehat{ADM}=45{}^\circ $.
Áp dụng định lý Cosin trong tam giác ADM, ta có:
$AM=\sqrt{A{{D}^{2}}+D{{M}^{2}}-2.AD.DM.cos\widehat{ADM}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$
Gọi H là giao điểm của AM và BD $\Rightarrow SH\bot \left[ ABCD \right]$.
Kẻ BK vuông góc với AM, $K\in AM\Rightarrow BK\bot AM$ $\left[ 1 \right]$.
Ta có $\left[ SAM \right]\cap \left[ SBD \right]=SH\Rightarrow SH\bot \left[ ABCD \right]\Rightarrow SH\bot BK$ $\left[ 2 \right]$.
Từ $\left[ 1 \right]$,$\left[ 2 \right]$$\Rightarrow BK\bot \left[ SAM \right]\Rightarrow d\left[ B;\left[ SAM \right] \right]=BK$.
Mặt khác ${{S}_{\Delta MAB}}=\frac{1}{2}.BK.AM\Rightarrow BK=\frac{2.{{S}_{\Delta MAB}}}{AM}=\frac{4}{\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{10}}{5}$.
| Bài tập 7:Cho hình lăng trụ $ABCD.A’B’C’D’$ có đáy là hình chữ nhậtABCDcó hai đường chéo $AC=BD=2a$. Tam giácA’BDvuông cân tạiA’và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt phẳng $\left[ A’AB \right]$ tạo với đáy một góc $60{}^\circ $. Tính khoảng cách $d\left[ B’;\left[ A’BD \right] \right]$. |
Lời giải chi tiết
Gọi Hlà tâm hình chữ nhậtABCD
$\Rightarrow $$HA=HC\Rightarrow A’H\bot BD$ [Do $\Delta A’BD$ cân tại A’].
Do $\left[ A’BD \right]\bot \left[ ABCD \right]\Rightarrow A’H\bot \left[ ABCD \right]$.
Ta có: $A’H=\frac{1}{2}BD=a$ [trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy].
Dựng $HM\bot AB\Rightarrow AB\bot \left[ A’HM \right]\Rightarrow \overset\frown{A’MH}=60{}^\circ $
+] Khi đó: $HM\tan 60{}^\circ =A’H\Rightarrow HM=\frac{a}{\sqrt{3}}$
$\Rightarrow AD=2HM=\frac{2a}{\sqrt{3}}\Rightarrow AB=2a\sqrt{\frac{2}{3}}$
Do: $A’D//B’C\Rightarrow B’C//\left[ A’BD \right]\Rightarrow d\left[ B’;\left[ A’BD \right] \right]=d\left[ C;\left[ A’BD \right] \right]$.
Ta có: $CE=\frac{CD.CB}{BD}=\frac{2a\sqrt{2}}{3}$. Vậy $d\left[ B’;\left[ A’BD \right] \right]=\frac{2a\sqrt{2}}{3}$.
Xét bài toán khoảng cách trong không gian.
Cho hình chóp có đỉnhScó hình chiếu vuông góc lên mặt đáy làH. Tính khoảng cách từ điểmAbất kì đến mặt bên[SHB].
KẻAH⊥HBta có:
BÀI VIẾT LIÊN QUAN
- Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
- Phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian
- Phương pháp tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng và bài tập áp dụng
- Phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng và bài tập áp dụng
- Bài toán tìm điểm thuộc đồ thị hàm số có tính chất đối xứng
- Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số [C]: y = f[x] tại điểm M[x0;y0]
- Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số [C]: y = f[x] biết tiếp tuyến đi qua điểm A[xA;yA]
- Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong
- Bài toán tìm điểm thuộc đồ thị hàm số có tọa độ nguyên
- Tập hợp điểm của số phức
- Bài toán thực tế liên quan đến GTLN – GTNN
- Tìm m để hàm số tăng hay giảm trong khoảng con của R
- Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng
- Tính, rút gọn giá trị của một biểu thức chứa logarit
- Tìm GTNN – GTLN của hàm số trên một đoạn
Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Bài toán khoảng cách trong hình học không gian là một vấn đề quan trọng, thường xuất hiện ở các câu hỏi có mức độ vận dụng và vận dụng cao. Các bài toán tính khoảng cách trong không gian bao gồm:
- Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng;
- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Chính bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên một mặt phẳng tới mặt phẳng còn lại;
- Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Chính bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường thẳng tới mặt phẳng đã cho;
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian.
Như vậy, 3 dạng toán đầu tiên đều quy về Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, chính là nội dung của bài viết này.
Ngoài ra, các em cũng cần thành thạo 2 dạng toán liên quan đến góc trong không gian:
- Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
- Cách tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian