LG câu a - bài 41 trang 11 sbt toán 9 tập 1

LG câu a

\(\sqrt {\dfrac{{x - 2\sqrt x + 1}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \)(\(x 0\));

Phương pháp giải:

Áp dụng:

Với\(A \ge 0\) thì\(A = \sqrt {{A^2}} \)

Và \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\)

Với\(A \ge 0\) thì\(\left| A \right| = A\)

với\(A < 0\) thì\(\left| A \right| = - A\).

Hằng đẳng thức cần sử dụng:

\({(A - B)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)

\({(A + B)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)

Lời giải chi tiết:

Vì \(x 0\) nên \( x = {\left( {\sqrt x } \right)^2}\)

Ta có:

\( \displaystyle\eqalign{
& \sqrt {{{x - 2\sqrt x + 1} \over {x + 2\sqrt x + 1}}} \cr
& = \sqrt {{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - 2\sqrt x + 1} \over {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} + 2\sqrt x + 1}}} \cr
& = \sqrt {{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}} \over {{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}} \cr} \)

\( \displaystyle \displaystyle= {{\sqrt {{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}} } \over {\sqrt {{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}} }}\)

\( = \dfrac{{\left| {\sqrt x - 1} \right|}}{{\left| {\sqrt x + 1} \right|}} = \dfrac{{\left| {\sqrt x - 1} \right|}}{{\sqrt x + 1}}\)

+) Nếu \( \displaystyle\sqrt x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\) thì \( \displaystyle\left| {\sqrt x - 1} \right| = \sqrt x - 1\)

Ta có: \( \displaystyle{{\left| {\sqrt x - 1} \right|} \over {\sqrt x + 1}} = {{\sqrt x - 1} \over {\sqrt x + 1}}\) (với \(x 1)\)

+) Nếu \( \displaystyle\sqrt x - 1 < 0 \Leftrightarrow x < 1\) thì \( \displaystyle\left| {\sqrt x - 1} \right| = 1 - \sqrt x \)

Ta có:

\( \displaystyle{{\left| {\sqrt x - 1} \right|} \over {\sqrt x + 1}} = {{1 - \sqrt x } \over {\sqrt x + 1}}\) (với \(0 x < 1\))

LG câu b

\(\dfrac{{x - 1}}{{\sqrt y - 1}}\sqrt {\dfrac{{y - 2\sqrt y + 1}}{{{{(x - 1)}^4}}}} \) \((x 1, y 1\) và \(y 0).\)

Phương pháp giải:

Áp dụng:

Với\(A \ge 0\) thì\(A = \sqrt {{A^2}} \)

Và \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\)

Với\(A \ge 0\) thì\(\left| A \right| = A\)

với\(A < 0\) thì\(\left| A \right| = - A\).

Hằng đẳng thức cần sử dụng:

\({(A - B)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)

Lời giải chi tiết:

Vì \(y 0\) nên \( y = {\left( {\sqrt y } \right)^2}\)

Ta có:

\( \displaystyle\eqalign{
& {{x - 1} \over {\sqrt y - 1}}\sqrt {{{{{ {y - 2\sqrt y + 1} }}} \over {{{(x - 1)}^4}}}} \cr
& = {{x - 1} \over {\sqrt y - 1}}{{\sqrt {{{\left( \sqrt y - 1 \right)}^2}} } \over {\sqrt {{{(x - 1)}^4}} }} \cr} \)

\( \displaystyle\eqalign{& = {{x - 1} \over {\sqrt y - 1}}.{{\left| \sqrt y-1 \right|} \over {{{(x - 1)}^2}}} \cr
& = { {\left| \sqrt y-1 \right|} \over {({\sqrt {y} - 1}).(x - 1)}} \cr} \)

+) Nếu \(y>1\)

Ta có \( \displaystyle\left| \sqrt y-1 \right|=\sqrt y-1\) nên:

\( \displaystyle {{\left| \sqrt y-1 \right|}\over {({\sqrt {y} - 1}).(x - 1)}} = {{ \sqrt y-1 }\over {({\sqrt {y} - 1}).(x - 1)}} \)\(=\dfrac {1}{x-1}\)

+) Nếu\(0 \le y < 1\)

Ta có \(\left| {\sqrt y - 1} \right| = -( \sqrt y -1)\) nên:

\(\displaystyle {{\left| \sqrt y-1 \right|}\over {({\sqrt {y} - 1}).(x - 1)}}= {{ -(\sqrt y-1) }\over {({\sqrt {y} - 1}).(x - 1)}}\)\(= \dfrac{{ - 1}}{{x - 1}}\)