Viết phương trình đường tròn qua 1 điểm
|
Phân tích:
Xem thêm bài giảng: Cụ thể như sau: Đường thẳng (d) có phương trình 7x-y-5=0 có véctơ pháp tuyến là $\vec{n}(7;-1)$. Vì $IM \bot d$ nên véctơ pháp tuyến của đường thẳng d là vectơ chỉ phương của đường thẳng IM. Phương trình tham số của đường thẳng IM là: $\left\{\begin{array}{ll}x=1+7t\\y=2-t\end{array}\right.$ $t\in R$ => I(1+7t;2-t) Ta có: $\vec{IM}=(7t;-t)$ => $IM^2=50t^2$ Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng (d) khi và chỉ khi: IM=R <=> $R^2=IM^2=50t^2$ Phương trình đường tròn (C) có tâm I(1+7t;2-t) và bán kính $R^2=50t^2$ là: $(x-1-7t)^2+(y-2+t)^2=50t^2$ Vì điểm A(-1;-2) thuộc đường tròn (C) nên ta có: $(-1-1-7t)^2+(-2-2+t)^2=50t^2$ <=> $(-2-7t)^2+(t-4)^2=50t^2$ <=> $t=-1$ Với t=-1 ta có I(-6;3) và $R^2=50$ Vậy phương trình đường tròn (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng (d) tại điểm M là: $(x+6)^2+(y-3)^2=50$ Trên đây thầy đã hướng dẫn các bạn tìm lời giải cho bài toán lập phương trình đường tròn. Nếu các bạn có thêm cách giải nào hay thì hãy chia sẻ dưới khung bình luận để mọi người cùng tham khảo nhé. Các bạn rèn luyện thêm một bài tập dạng này nữa nhé. Bài 2: Viết pt đường tròn đi qua M(1;2) và tiếp xúc với đường thẳng d: 3x – 4y = 2 = 0 tại điểm I(-2;-1)
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ  Xét đường tròn tâm I(a, b) có bán kính R, ta có phương trình đường tròn là: (x - a)² + (y - b)² = R² Xét phương trình tổng quát của đường tròn tâm I(a, b) có bán kính R là: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 trong đó \( R= \sqrt{a^2+b^2-c}\) (đk: a² + b² – c > 0) II. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒNXét đường tròn tâm I(a, b), cho điểm \( M_o(x_o; y_o)\) thuộc đường tròn (I), gọi ∆ là tiếp tuyến với (I) tại Mo, ta có phương trình tiếp tuyến ∆: (∆): \( (x_o-a).(x-x_o)+(y_o-b).(y-y_o)=0\) III. CÁCH DẠNG BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒNDạng 1: Nhận dạng phương trình bậc 2 là phương trình đường tròn, xác định tâm và bán kính của đường tròn.Cách 1: Bước 1: Đưa phương trình bậc 2 đã cho về dạng: (C) (x - a)² + (y - b)² = m. Bước 2: Xét m:
Cách 2: Bước 1: Đưa phương trình bậc 2 đã cho về dạng: (C) x² + y² – 2ax – 2by + c = 0. Bước 2: Xét m = a² + b² - c:
Dạng 2: Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm cho trướcCách 1: Bước 1: Tìm tọa độ tâm I(a; b) của đường tròn (C) đi qua 2 điểm A, B cho trước ⇔ IA² = IB² = R². Bước 2: Dựa vào tọa độ tâm I tìm được bán kính R đường tròn (C): IA² = IB² = R². Bước 3: Viết phương trình (C) có dạng: (x – a)² + (y – b)² = R². Cách 2: Bước 1: Ta có phương trình tổng quát đường tròn (C) cần tìm là: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0. Bước 2: Từ điều kiện của bài toán đã cho thiết lập hệ phương trình 3 ẩn a, b, c. Bước 3: Giải hệ phương trình tìm a, b, c thay vào phương trình đường tròn (C): x² + y² – 2ax – 2by + c = 0. Dạng 3:Viết phương trình đường tròn khi tiếp xúc với đường thẳng cho trước.Dựa vào các tính chất của tiếp tuyến đường tròn:
Dạng 4: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn khi biết phương trình đường tròn cho trước.Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến (∆) của đường tròn tại điểm \( M_o(x_o; y_o)\) thuộc đường tròn (C) cho trước: Bước 1: Tìm tọa độ tâm I(a; b) của đường tròn (C) cho trước. Bước 2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại \( M_o(x_o; y_o)\) có dạng: \( (x_o-a).(x-x_o)+(y_o-b).(y-y_o)=0\) Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến (∆) của đường tròn khi chưa biết tiếp điểm: Dựa vào tính chất của tiếp tuyến đường tròn (C) tâm I, bán kính R ⇔ d (I, ∆) = R. Dạng 4: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giácIII. BÀI TẬP MINH HỌA VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁCVí dụ: Phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm A(4;-1), B(0;3), C(4;7). Lập phương trình tiếp tuyến (∆) tại điểm A.Lời giải tham khảo: Ta có phương trình tổng quát đường tròn (C) có dạng: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0. Vì (C) đi qua 3 điểm A, B, C nên thay lần lượt toạ độ A, B, C vào phương trình đường tròn (C) ta có hệ sau: \(\left\{\begin{matrix} 4^2 + (-1)^2 – 2a.4 – 2b.(-1) + c = 0\\ 0^2 + 3^2 – 2a.0 – 2b.3 + c = 0\\ 4^2 + 7^2 – 2a.4 – 2b.7 + c = 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} -8a+2b+c=-17\\ -2b+c=-9\\ -8a-14b+c=-65 \end{matrix}\right. \) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=4\\ b=3\\ c=-9 \end{matrix}\right.\) ⇒ Đường tròn (C) có tâm I(4;3). Phương trình đường tròn (C) là: (x - 4)² + (y - 3)² = 16. Đường tròn (C) có tâm I(4;3) có tiếp tuyến (∆) tại điểm A(4;-1): ⇒ = (4 - 4).(x - 4) + (-1 - 3).(y +1) = 0 ⇔ y = -1 Phương trình tiếp tuyến (∆) tại điểm A: y = -1
Quảng cáo Cho đường tròn ( C) có tâm I( a; b); bán kính R và điểm M( x0; y0) : + Lập phương trình tiếp tuyến (d) của ( C ) tại điểm M: Do (d) là tiếp tuyến của đường tròn tại M nên d vuông góc IM ⇒ Đường thẳng ( d) : ⇒ Phương trình đường thẳng d. + Lập phương trình tiếp tuyến (d) của ( C) đi qua M : - Đường thẳng ( d) : ⇒ (d): A(x - x0) + B( y - y0) = 0. - Do đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn ( C) nên d( I; d) = R ⇒ Một phương trình hai ẩn A; B. Giải phương trình ta được A = kB. - Chọn A= ... ⇒ B=...⇒ Phương trình đường thẳng d. Ví dụ 1: Cho đường tròn (C) : (x - 3)2 + (y - 1)2 = 10. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A( 4; 4) là A. x - 3y + 8 = 0. B. x + 3y – 16 = 0. C. 2x - 3y + 5 = 0 . D. x + 3y - 16 = 0. Hướng dẫn giải Đường tròn (C) có tâm I( 3;1). Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm A; khi đó d và IA vuông góc với nhau. ⇒ IA→ = (1; 3) là vectơ pháp tuyến của d. Suy ra phương trình d: 1( x - 4) + 3( y - 4 ) = 0 Hay x + 3y - 16 = 0. Chọn D. Quảng cáo Ví dụ 2 : Cho đường tròn (x - 3)2 + (y + 1)2 = 5 . Phương trình tiếp tuyến của ( C) song song với đường thẳng d : 2x + y + 7 = 0 là A. 2x + y = 0; 2x + y - 10 = 0 B. 2x + y + 1 = 0 ; 2x + y - 1 = 0 C. 2x - y + 1 = 0; 2x + y - 10 = 0 D. 2x + y = 0; x + 2y - 10 = 0 Hướng dẫn: Do tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng d: 2x + y + 7 = 0 nên phương trình tiếp tuyến có dạng ∆: 2x + y + m = 0 với m ≠ 7 . Đường tròn ( C) có tâm I( 3; -1) và bán kính R = √5 Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ( C) khi : d( I , ∆) = R ⇔ ⇔ Vậy ∆1 : 2x + y = 0 , ∆2 : 2x + y - 10 = 0 Chọn A. Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn ( C): x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0, biết tiếp tuyến đi qua điểm B( 4; 6) . A. x - 4 = 0 hoặc 3x + 4y - 36 = 0 B. x - 4 = 0 hoặc y - 6 = 0. C. y - 6 = 0 hoặc 3x + 4y - 36 = 0 D. x - 4 = 0 hoặc 3x - 4y + 12 = 0 Lời giải + Đường tròn (C) có tâm I( 2; 2) và bán kính R = + Tiếp tuyến ∆: ⇒ Phương trình ∆: a(x - 4) + b(y - 6) = 0 hay ax + by - 4a - 6b = 0 (*) + Do ∆ là tiếp tuyến của đường tròn ( C) nên d(I; ∆) = R ⇔ ⇔ |a + 2b| = ⇔ a2 + 4ab + 4b2 = a2 + b2 ⇔ 4ab + 3b2 = 0 ⇔ + Nếu b = 0; chọn a = 1 thay vào (*) ta được ∆: x - 4 = 0. + Nếu 4a = - 3b ta chọn a = 3 thì b = -4 thay vào ( *) ta được: 3x - 4y + 12 = 0 Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là x - 4 = 0 và 3x - 4y + 12 = 0 . Chọn D. Ví dụ 4. Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C): (x + 2)2 + (y + 2)2 = 25 tại điểm M(2; 1) là: A. d: -y + 1 = 0 B. d: 4x + 3y + 14 = 0 C. d: 3x - 4y - 2 = 0 D. d: 4x + 3y - 11 = 0 Lời giải + Đường tròn ( C) có tâm I(-2; -2) và bán kính R= 5. + Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn taị điểm M nên hai đường thẳng d và IM vuông góc với nhau. + Đường thẳng d: ⇒Phương trình (d) : 4( x - 2) + 3( y - 1) = 0 hay 4x + 3y - 11 = 0 Chọn D. Quảng cáo Ví dụ 5. Cho đường tròn ( C): (x-1)2 + (y + 2)2 = 2. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm A(3; -4) . A. d: x + y + 1 = 0 B. d: x - 2y - 11 = 0 C. d: x - y - 7 = 0 D. d: x - y + 7 = 0 Lời giải + Đường tròn ( C) có tâm I( 1; -2) . + Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn tại điểm A(3; -4) nên đường thẳng d vuông góc với đường thẳng IA. + Phương trình đường thẳng (d): ⇒ phương trình (d) là: 2( x - 3) – 2( y + 4) = 0 ⇔ (d) : 2x - 2y - 14 = 0 hay x - y - 7 = 0 Chọn C. Ví dụ 6. Cho đường tròn (C): (x + 1)2 + (y - 1)2 = 25 và điểm M(9; -4) . Gọi ∆ là tiếp tuyến của ( C) , biết ∆ đi qua M và không song song với các trục tọa độ. Khi đó khoảng cách từ điểm P(6; 5) đến ∆ bằng: A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 Lời giải + Đường tròn (C) có tâm I(-1; 1)và bán kính R= 5. + Tiếp tuyến ∆: ⇒ Phương trình ∆: a(x - 9) + b(y + 4) = 0 hay ax + by – 9a + 4b = 0 (*) + Do ∆ là tiếp tuyến của đường tròn ( C) nên d(I; ∆) = R ⇔ ⇔ |-2a + b| = ⇔ 4a2 - 4ab + b2 = a2 + b2 ⇔ 3a2 - 4ab = 0 ⇔ + Nếu a = 0 chọn b = 1 thay vào (*) ta được: y + 4 = 0 ( loại) vì tiếp tuyến không song song với các trục tọa độ. + Nếu 3a = 4b, chọn a = 4 thì b = 3 ta được ∆: 4x + 3y - 24 = 0 ⇒ Khoảng cách từ P(6;5) đến đường thẳng ∆ là: d(P, ∆) = Chọn B. Ví dụ 7. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và tiếp xúc với đường tròn A. 0. B. 2. C. 1. D. 3. Lời giải Đường tròn (C) có tâm I(1; -2) và bán kính R = Độ dài OI = ⇒ Điểm O nằm trong đường tròn nên không có tiếp tuyến nào của đường tròn kẻ từ O. Chọn A. Ví dụ 8. Cho đường tròn (C): (x-3)2 + (y + 3)2 = 1. Qua điểm M(4; -3) có thể kẻ được bao nhiêu đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ( C) ? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Lời giải Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường tròn( C) ta được : ( 4 - 3)2 + (-3 + 3)2 = 1 ⇒ Điểm M thuộc (C). ⇒ có đúng 1 tiếp tuyến của đường tròn kẻ từ M. Chọn B. Quảng cáo Ví dụ 9. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua điểm N(-2; 0) tiếp xúc với đường tròn
A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Lời giải Đường tròn ( C) có tâm I(2; -3) và bán kính R = 2. Độ dài IN = ⇒ Điểm N nằm ngoài đường tròn ( C) nên qua điểm N kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn (C). Chọn C. Ví dụ 10. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn ( C): (x - 1)2 + (y + 2)2 = 8, biết tiếp tuyến đi qua điểm A( 5; -2). A. x - 5 = 0 . B. x + y - 3 = 0 hoặc x - y 7 = 0. C. x- 5= 0 hoặc x + y - 3 = 0 . D. y + 2 = 0 hoặc x - y - 7 = 0 . Lời giải + Đường tròn (C) có tâm I(1; -2) và bán kính R = 2√2 + Tiếp tuyến ∆: ⇒ Phương trình ∆: a( x - 5) + b(y + 2) = 0 hay ax + by - 5a + 2b = 0. + Do ∆ là tiếp tuyến của đường tròn ( C) nên d(I; ∆) = R ⇔ ⇔ 16a2 = 8( a2 + b2 ) ⇔ 8a2 = 8b2 ⇔ + Nếu a = b; ta chọn a = 1 ⇒ b = 1. Khi đó phương trình tiếp tuyến ∆: x + y - 3 = 0 + Nếu a = - b; chọn a = 1 thì b = - 1. Khi đó phương trình tiếp tuyến ∆: x - y - 7 = 0. Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là x + y - 3 = 0 và x - y - 7 = 0 Chọn B. Ví dụ 11: Cho đường tròn ( C) có tâm I(1; 3), bán kính R= √52. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M biết điểm M thuộc đường thẳng d: A. x + 2y + 3 = 0 B. 2x + 5y + 21 = 0 C. 2x - 3y - 19 = 0 D. Đáp án khác Lời giải + Do điểm M thuộc đường thẳng d nên tọa độ M(3 + 2t; 1 - 4t). + Do điểm M thuộc đường tròn nên IM = R ⇔ IM2 = R2 ⇔ ( 2 + 2t)2 + ( 2 + 4t)2 = 52 ⇔ 4t2 + 8t + 4 + 16t2 + 16t + 4 = 52 ⇔ 20t2 + 24t – 44 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = + Với t = 1 thì tọa độ M(5; -3) . ⇒ Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M (5; -3): (∆) : ⇒ Phương trình tiếp tuyến : 2( x - 5) – 3(y + 3) = 0 hay 2x - 3y - 19 = 0 Chọn C. Câu 1: Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C): x2 + y2 - 3x-y= 0 tại điểm N(1;-1) là: A. d: x + 3y - 2 = 0 B. d: x - 3y + 4 = 0 C. d: x - 3y - 4 = 0 D. d: x + 3y + 2 = 0
Đáp án: D Trả lời: + Đường tròn (C) có tâm I( + Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn ( C) tại điểm N nên đường thẳng d vuông góc với đường thẳng IN. + Phương trình đường thẳng (d) : ⇒(d): 1(x - 1) + 3( y + 1) = 0 hay ( d): x + 3y + 2 = 0 Câu 2: Cho đường tròn( C): x2 + y2 - 2x + 8y - 23 = 0 và điểm M( 8; -3) . Độ dài đoạn tiếp tuyến của ( C) xuất phát từ M là : A. 10 B. 2√10 C.
Đáp án: D Trả lời: Đường tròn ( C) có tâm I( 1; -4) bán kính R = √40 . Độ dài IM = ⇒ Điểm M nằm ngoài đường tròn. Khi đó từ M sẽ kẻ được hai tiếp tuyến là MA và MB- trong đó A và B là hai tiếp điểm . Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: MA = MB = Vậy độ dài tiếp tuyến là : √10. Câu 3: Cho đường tròn ( C ) : x2 + y2 - 3x - y = 0. Phương trình tiếp tuyến của ( C) tại M(1 ; -1) là: A. x + 3y - 1 = 0 B. 2x - 3y + 1 = 0 C. 2x - y + 4 = 0 D. x + 3y + 2 = 0
Đáp án: D Trả lời: Đường tròn ( C) có tâm I( ; ). Điểm M(1; -1) thuộc đường tròn ( C). Phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( C) tại điểm M là đường thẳng đi qua M và nhận vec tơ IM→ = (- ; - ) = - (1; 3) nên có phương trình: 1( x - 1) + 3( y + 1) = 0 hay x + 3y + 2 = 0 Câu 4: Cho đường tròn (x - 3)2 + (y - 1)2 = 10 . Phương trình tiếp tuyến của ( C) tại điểm A( 4; 4) là A. x - 3y + 5 = 0 B. x + 3y - 4 = 0 C. x - 3y + 16 = 0 D. x + 3y - 16 = 0
Đáp án: D Trả lời: Đường tròn ( C) có tâm I(3; 1) và bán kính R = √10. Tiếp tuyến của ( C) tại A là đường thẳng qua A( 4; 4) và nhận vecto IA→( 1; 3) là vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến d. Suy ra (d) : 1( x - 4) + 3( y - 4) = 0 hay x + 3y - 16 = 0 Câu 5: Cho đường tròn (x - 2)2 + (y - 2)2 = 9 . Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A( 5; -1) là A. x + y - 4 = 0 và x - y - 2 = 0 . B. x = 5 và y = -1. C. 2x - y - 3 = 0 và 3x + 2y - 3 = 0. D. 3x - 2y + 1 = 0 và 2x + 3y + 5 = 0
Đáp án: B Trả lời: + Đường tròn (C) có tâm I( 2; 2) và bán kính R = 3. + ∆ là tiếp tuyến cần tìm : đi qua A(5, -1) và nhận VTPT n→( A; B) ⇒ (∆ ) : A( x - 5) + B( y + 1) = 0 (*) + Do ∆ là tiếp tuyến của ( C) nên : d( I ; ∆) = R ⇔ ⇔ |-3A + 3B| = 3 ⇔ 18AB = 0 ⇔ + Với A =0 ; chọn B = 1 thay vào (*) ta được : y + 1 = 0 + Với B = 0 ; chọn A = 1 thay vào ( *) ta được :x - 5 = 0 Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là y + 1 = 0 và x - 5 = 0 Câu 6: Cho đường tròn (C): x2 + y2 + 2x - 6y + 5 = 0 . Phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng d: x + 2y - 15 = 0 là A. x + 2y = 0 và x + 2y - 10 = 0. B. x - 2y = 0 và x - 2y + 10 = 0. C. x + 2y - 12 = 0 và x + 2y + 22 = 0 D. x + 2y + 3 = 0 và x + 2y + 7 = 0
Đáp án: A Trả lời: + Đường tròn ( C) có tâm I( -1;3) và bán kính R = + Do tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng d: x + 2y- 15= 0 nên tiếp tuyến ∆ có dạng : x + 2y + m= 0 ( m≠-15) . + ∆ là tiếp tuyến của ( C) khi và chỉ khi: d(I ;∆) = R ⇔ ⇔ ⇒ Có hai tiếp tuyến thỏa mãn là : x + 2y = 0 và x + 2y - 10 = 0 Câu 7: Đường tròn ( C) có tâm I ( -1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng d: 3x - 4y + 5 = 0 tại điểm H có tọa độ là A. ( -
Đáp án: B Trả lời: Do đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn ( C) tại điểm H nên IH vuông góc với đường thẳng d. ⇒ Đường thẳng IH: ⇒ Phương trình IH: 4( x + 1) + 3( y - 3) = 0 hay 4x + 3y - 5 = 0. Do đường thẳng d và đường thẳng IH cắt nhau taị điểm H nên tọa độ điểm H là nghiệm hệ phương trình:
Câu 8: Cho đường tròn (C) : x2 + y2 - 6x + 2y + 5 = 0 và đường thẳng A. m = 3 B. m = 15 C. m = 13 D. m = 3 hoặc m = 13.
Đáp án: D Trả lời: + đường tròn (C) có tâm I( 3 ;-1) và bán kính . + d là tiếp tuyến của (C) khi va chỉ khi: d(I, d) = R ⇔ → m2 - 16m + 39 = 0 ⇔ Câu 9: Cho đường tròn ( C) có tâm I(-1; 2), bán kính R = √29. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M biết điểm M thuộc đường thẳng d: A. x + 2y + 3 = 0 B. 2x + 5y + 21 = 0 C. 3x + 5y - 8 = 0 D. Đáp án khác
Đáp án: B Trả lời: + Do điểm M thuộc đường thẳng d nên tọa độ M(-2 + t; 3t). + Do điểm M thuộc đường tròn nên IM = R ⇔ IM2 = R2 ⇔ ( t- 1)2 + ( 3t - 2)2 = 29 ⇔ t2 - 2t + 1 + 9t2 - 12t + 4 = 29 ⇔ 10t2 – 14t – 24 = 0 ⇔ t = - 1 hoặc t = + Với t = - 1 thì tọa độ M( - 3; - 3) . ⇒ Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M ( -3; -3): (∆) : ⇒ Phương trình tiếp tuyến : 2( x + 3) + 5( y + 3) = 0 hay 2x + 5y + 21 = 0 . Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác: Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/ Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp |
