Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

I.Lý thuyết: Bài toán về tiếp tuyến với đường cong:

Cách 1: Dùng tọa độ tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f’(x0). (x – x0) + y0

1.Lập phương trình tiếp tuyến với đường cong tại điểm M(x0, y0) thuộc đồ thị hàm số (tức là tiếp tuyến duy nhất nhận M(x0; y0) làm tiếp điểm).

Phương trình tiếp tuyến với hàm số (C): y = f(x) tại điểm M(x0; y0) ∈ (C)

(hoặc tại h x = x0 ) có dạng: y =f’(x0).(x – x0) + y0.

2.Lập phương trình tiếp tuyến d với đường cong đi qua điểm A (xA, yA) cho trước, kể cả điểm thuộc đồ thị hàm số (tức là mọi tiếp tuyến đi qua A(xA, yA)).

Cho hàm số (C): y = f(x). Giả sử tiếp điểm là M(x0, y0), khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f’(x).(x – x0) + y0 (d).

Điểm A(xA, yA) ∈ d, ta được: yA = f’(x0). (xA – x0) + y0 => x0

Từ đó lập được phương trình tiếp tuyến d.

3. Lập phương tiếp tuyến d với đường cong biết hệ số góc k

Cho hàm số (C): y = f(x). Giả sử tiếp điểm là M(x0;y0), khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: d: y = f’(x0).(x – x0) + y0.

Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến d là nghiệm của phương trình:

f’(x0) = k => x0, thay vào hàm số ta được y0 = f(x0).

Ta lập được phương trình tiếp tuyến d: y = f’(x0). (x – x0) + y0.

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc

Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M(x0; y0) có hệ số góc k có dạng;

d:y = g’(x) = k.(x – x0) + y0.

Điều kiện để đường thằng y = g(x) tiếp xúc với đồ thị hàm số y = f(x) là hệ phương trình sau có nghiệm: \(\left\{\begin{matrix} f(x)=g(x) & \\ f'(x)=g'(x) & \end{matrix}\right.\)
Từ đó lập được phương trình tiếp tuyến d.

II. Bài tập

Loại 1: Cho hàm số y =f(x). Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M0(x0; y0) ∈ (C).

Giải

Phương trình tiếp tuyến tại M0 có dạng: y = k(x – x0) + y0  (*)

Với x0 là hoành độ tiếp điểm;

Với y0 = f(x0) là tung độ tiếp điểm;

Với k = y’(x0) = f’(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến.

Để viết được phương trình tiếp tuyến ta phải xác định được x0; y0 và k.

MỘT SỐ DẠNG CƠ BẢN

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại M0(x0;y0) ∈ (C)

-Tính đạo hàm của hàm số, thay x0 ta được hệ số góc

Áp dụng (*) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

Dạng 2: Cho trước hoành độ tiếp điểm x0

-Tính đạo hàm  của hàm số, thay x0 ta được hệ số góc.

- Thay x0 vào hàm số ta tìm được tung độ tiếp điểm.

Áp dụng (*) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

Dạng 3: Cho trước tung độ tiếp điểm y0

-Giải phương trình y0 = f(x0) để tìm x0.

-Tính đạo hàm của hàm số, thay x0 ta được hệ số góc.

Áp dụng (*) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

Chú ý: Có bao nhiêu giá trị của x0 thì có bấy nhiêu tiếp tuyến.

Dạng 4: Cho trước hệ số góc của tiếp tuyến k = y’(x0) = f’(x0)

-Tính đạo hàm và giải phương trình k = y’(x0) = f’(x0) để tìm x0

- Thay x0 vào hàm số ta tìm được tung độ tiếp điểm cần tìm.

Chú ý: Có bao nhiêu giá trị của x0 thì có bấy nhiêu tiếp tuyến.

Chú ý: Một số dạng khác

-Khi giả thiết yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : y = ax + b thì điều này 

<=> y’(x0). a = -1  ⇔ y’(x0) = -1/a

... Quay về dạng 4.

- Khi giả thiết yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

y = ax + b thì điều này  ⇔ y’(x0) = a… Quay về dạng 4.

- Khi giả thiết yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với đường thẳng y = ax + b thì việc đầu tiên là tìm tọa độ giao điểm của (C) và đường thẳng… Quay về dạng 1.

Chú ý:

Cho hai đường thẳng d1: y = a1x + b1 với a1 là hệ số góc của đường thẳng d1 và y = a2x + b2 với a2 là hệ số góc của đường thẳng d2.

Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây:

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

21:22:5327/09/2021

Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với đường thẳng cho trước cũng là một dạng toán về phương trình đường tròn mà chúng ta thường gặp.

Khối A (KhoiA) sẽ giới thiệu với các em cách viết viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với đường thẳng cho trước qua bài này một cách ngắn gọn, chi tiết và đẩy đủ để các em tham khảo.

I. Cách viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với đường thẳng

Giả sử đường tròn (C) có tâm I(a; b); bán kính R và và đường thẳng (d) cho trước

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng (d):

- Bước 1: Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn (C).

- Bước 2: Vì Δ ⊥ (d): Ax + By + C = 0 nên Δ có vectơ pháp tuyến là vectơ chỉ phương của (d):

 Khi đó phương trình tiếp tuyến Δ có dạng: Bx - Ay + c1 = 0

- Bước 3: Vì Δ tiếp xúc với đường tròn (C) nên d(I,Δ) = R. Giải phương trình này ta tìm được c1.

II. Bài tập vận dụng viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với đường thẳng

* Bài tập 1 (Bài 6 trang 84 SGK Hình học 10): Cho đường tròn C có phương trình: x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng: 3x – 4y + 5 = 0.

> Lời giải:

- Ta có: x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0

⇔ (x2 – 4x + 4) + (y2 + 8y + 16) = 25

⇔ (x – 2)2 + (y + 4)2 = 25.

Vậy (C) có tâm I(2 ; –4), bán kính R = 5.

- Gọi tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): 3x – 4y + 5 = 0 cần tìm là (Δ).

- Ta có (d) có VTPT 

- Vì (Δ) ⊥ (d) nên có VTPT 

Vậy phương trình tiếp tuyến (Δ) có dạng: 4x + 3y + c = 0.

(C) tiếp xúc với (Δ) ⇒ d(I; Δ) = R

Vậy (Δ) : 4x + 3y + 29 = 0 hoặc 4x + 3y – 21 = 0.

* Bài tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x2 + y2 - 4x + 8y - 5 = 0. Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d); 3x + 4y + 21 = 0

> Lời giải:

- Ta có: x2 + y2 - 4x + 8y - 5 = 0

 ⇔ (x2 - 4x + 4) + (y2 + 2.4y + 16) - 25 = 0

 ⇔ (x - 2)2 + (y + 4)2 = 52

Nên đường tròn (C) có tâm I(2;-4) và bán kính R = 5.

Tiếp tuyến Δ vuông góc với (d): 3x+ 4y + 21 = 0 nên Δ nhận VTCP của (d) làm VTPT, có: 

Khi đó phương trình tiếp tuyến Δ có dạng: 4x - 3y + c = 0.

Vì Δ tiếp xúc với đường tròn (C) nên khoảng cách từ tâm I tới đường thẳng Δ bằng R: d(I,Δ) = R

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa yêu cầu là:

4x - 3y + 5 = 0 và 4x - 3y - 45 = 0.

Như vậy KhoiA.Vn đã giới thiệu với các em về cách viết về cách viết phương trình tiếp tuyến của đương tròn vuông góc với đường thẳng, hy vọng giúp các em hiểu bài hơn. Nếu có câu hỏi hay góp ý các em hãy để lại bình luận dưới bài viết nhé, chúc các em thành công.