4x^2-1 phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung kiến thức cơ bản làm cơ sở cho các bài học về nhân chia đơn thức. Trong bài viết dưới đây chúng tôi sẽ giới thiệu đến các bạn phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

Tham khảo thêm:

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

Phương pháp :

• Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc () để làm nhân tử chung.
• Các số hạng bên trong dấu () có được bằng cách lấy số hạng của đa thức chia cho nhân tử chung.

A + B = C.A1 + C.B1 = C(A1 + B1)

Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung ta cần đổi dấu các hạng tử (lưu ý với tính chất ) A = − ( − A )

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Ta có : 4x2 – 6x = 2x.2x – 3.2x = 2x( 2x – 3 ).

Các dạng toán về phân tích đa thức thành nhân tử chung

Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

Phương pháp: Sử dụng cách đặt nhân tử chung

Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a, Ta có: 9x4y3 + 3x2y4 = 3x2y3.3x2 + 3x2y3y = 3x2y3(3x2 + 1)

b, Ta có 😡3 + 12x = x.x2 + x.12 = x(x2 + 12)

c, Ta có mx + my + m = m(x + y + 1)

d, Ta có y5 – y4 = y4.y – y4.1 = y4(y – 1)

Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a, Ta có 4x3y2 – 8x2y3 = 4x2y2.x – 4x2y2.2y = 4x2y2(x – 2y)

b, Ta có (x – 1)3 + 2(x – 1)2 = (x – 1)2(x – 1) + 2(x – 1)2 = (x – 1)2(x – 1 + 2 = (x – 1)2(x + 1)

c, Ta có (x – 2)2 – (2 – x)3 = (x – 2)2 + (x – 2)3 = (x – 2)2(1 + x – 2) = (x – 2)2(x – 1)

d, Ta có 3x(x – 3y) + 9y(3y – x) = 3x(x – 3y) – 9y(x – 3y) = (x – 3y)(3x – 9y) = (x – 3y).3(x – 3y) = 3(x – 3y)2

e, Ta có 5x(x – y) – (y – x) = 5x(x – y) + (x – y) = (x – y)(5x + 1)

Dạng 2: Tìm x

Phương pháp: Phân tích đa thức thành nhân tử để đưa về dạng A. B = 0 ⇒ A =0; B= 0

Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a, Ta có: 10x(x – y) – 8y(y – x)

=10x(x – y) – 8y[-(x – y)]

= 10x(x – y) + 8y(x – y)

= 2(x – y)(5x + 4y)

b, Ta có 3a2(x + 1) – 4bx – 4b = 3a2(x + 1) – (4bx + 4b)

= 3a2(x + 1) – 4b(x + 1) = (x + 1)(3a2 – 4b)

c, Ta có ab(x – 5) – a2(5 – x) = ab(x – 5) + a2(x – 5)

= (x – 5)(ab + a2) = a(x – 5)(a + b)

d, Ta có 30(4 – 2x)2 + 3x – 6 = 30(2x – 4)2 + 3(x – 2)

= 30.22(x – 2) + 3(x – 2)

= 120(x – 2)2 + 3(x – 2)

= 3(x – 2)(40(x – 2) + 1) = 3(x – 2)(40x – 79)

Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a, Ta có 7x2y2 – 21xy2z + 7xyz + 14xy

= 7xy.xy – 7xy.3yz + 7xy.z + 7xy.2 = 7xy(xy – 3yz + z + 2)

b, Ta có 12x3y – 6xy + 3xy2

= 3xy.4x2 – 3xy.2 + 3xy.y = 3xy(4x2 – 2 + y)

c, Ta có (a – b)(a + 2b) – (b – a)(2a – b) – (a – b)(a + 3b)

= (a – b)(a + 2b) + (a – b)(2a – b) – (a – b)(a + 3b)

= (a – b)(a + 2b + 2a – b – (a + 3b))

= (a – b)(3a + b – a – 3b) = (a – b)(2a – 2b)

Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp: Ta biến đổi biểu thức đã cho để có thể sử dụng được điều kiện của giả thiết. Từ đó tính giá trị của biểu thức.

Chú ý: Để tính giá trị biểu thức tại x =x0 ta thay x=x0 vào biểu thức rồi thực hiện phép tính.

Ví dụ: Tính giá trị biểu thức: x(x – 1) – y(1 – x) tại x = 2001 và y = 1999.

a, Ta có: x(x – 1) – y(1 – x) = x(x – 1) – y[-(x – 1)]

= x(x – 1) + y(x – 1)

= (x – 1)(x + y)

Tại x = 2001, y = 1999 ta được:

(2001 – 1)(2001 + 1999) = 2000 . 4000 = 8000000

b, Tính giá trị của biểu thức A = x2 – y2 + 2y – 1 với x=3 và y=1.

Ta có A = x2 – y2 + 2y – 1 = x2 – ( y2 – 2y + 1 )

= x2 – ( y – 1 )2 = ( x – y + 1 )( x + y – 1 ) (hằng đẳng thức a2 – b2 = ( a – b )( a + b ) ).

Khi đó với x = 3 và y = 1, ta có A = ( 3 – 1 + 1 )( 3 + 1 – 1 ) = 3.3 = 9.

c, Tính giá trị biểu thức P = x3 – 3x2 + 3x với x = 101

Ta có P = x3 – 3x2 + 3x – 1 + 1 = (x – 1)3 + 1

Thay x = 101 vào P ta được

P = (101 – 1)3 + 1 = 1003 + 1

Mong rằng những nội dung trên đây sẽ giúp bạn trả lời được những thắc mắc câu hỏi của mình. Hơn hết đó là có thể giải được những bài toán của mình

CHUYÊN ĐỀ 1 - PHẤN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

* Hệ thống lại các dạng toán và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

* Giải một số bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử

* Nâng cao trình độ và kỹ năng về phân tích đa thức thành nhân tử

B. CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP

+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất

+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1

+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1

+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì

đều là số nguyên. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do

1. Ví dụ 1: 3x2 – 8x + 4

Cách 1: Tách hạng tử thứ 2

3x2 – 8x + 4 =  3x2 – 6x  – 2x  + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2)

Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất:

3x2 – 8x + 4 =  (4x2 – 8x  + 4)  - x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – 2 + x)(2x – 2 – x)

= (x – 2)(3x – 2)

Ví dụ 2:   x3 – x2 - 4

Ta nhân thấy nghiệm của f(x) nếu có thì x =

Cách 1:

x3 – x2 – 4 =(x3-2x2)+(x2-2x)+(2x-4)=x2(x-2)+x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2+x+2)

Cách 2:

(x-2)[(x2+2x+4)-(x+2)]=(x-2)(x2+x+2)

x3-x2-4=x3-8-x2+4=(x3-8)-(x2-4)=(x-2)(x2+2x+4)-(x-2)(x+2)

Ví dụ 3: f(x) =  3x3 –  7x2 + 17x – 5

Nhận xét:

Ta nhận thấy x =

f(x) =  3x3 –  7x2 + 17x – 5 = 3x3-x2-6x2+2x+15x-5=(3x3-x2)-(6x2-2x)+(15x-5)

      = x2(3x-1)-2x(3x-1)+5(3x-1)=(3x-1)(x2-2x+5)

Vì x2-2x+5=(x2-2x+1)+4=(x-1)2+4>0

với mọi x nên không phân tích được thành

nhân tử nữa

Ví dụ 4: x3 + 5x2 + 8x  + 4

Nhận xét: Tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ nên đa thức có một nhân tử là x + 1

x3 + 5x2 + 8x  + 4 = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1)

= (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2

Ví dụ 5: f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2

Tổng các hệ số bằng 0 thì nên đa thức có một nhân tử là x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta có:

x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2 = (x – 1)(x4  - x3  + 2 x2   - 2 x  - 2)

Vì x4  - x3  + 2 x2   - 2 x  - 2  không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ nên không phân tích được nữa

Ví dụ 6: x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 = (x4 + x2 + 1) + (1996x2 + 1996x + 1996)

=  (x2 + x  + 1)(x2 - x  + 1) + 1996(x2 + x  + 1)

=  (x2 + x  + 1)(x2 - x  + 1 + 1996) = (x2 + x  + 1)(x2 - x  + 1997)

Ví dụ 7: x2 -  x - 2001.2002 = x2 -  x - 2001.(2001 + 1)

= x2 -  x – 20012 - 2001 = (x2 – 20012) – (x + 2001) = (x + 2001)(x – 2002)

II. THÊM , BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ

1. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện hiệu hai bình phương:

Ví dụ 1: 4x4 + 81 = 4x4  + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – 36x2

= (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + 9 + 6x)(2x2 + 9 – 6x)

= (2x2 + 6x + 9 )(2x2 – 6x + 9)

Ví dụ 2: x8 + 98x4 + 1 = (x8 + 2x4 + 1 ) + 96x4

= (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4

= (x4 + 1 + 8x2)2  – 16x2(x4 + 1 – 2x2) = (x4 + 8x2  + 1)2  - 16x2(x2 – 1)2

= (x4 + 8x2  + 1)2  - (4x3 – 4x )2

= (x4 + 4x3 + 8x2  – 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2  + 4x + 1)

2. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung

Ví dụ 1: x7 + x2 + 1 = (x7 – x)  + (x2 + x + 1 ) =  x(x6 – 1) + (x2 + x + 1 )

=  x(x3  - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1 ) = x(x – 1)(x2 + x + 1 ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1)

=  (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 –  x4  +  x2  - x + 1)

Ví dụ 2: x7 + x5 + 1 = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2  + x + 1)

= x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2  + x + 1)

= (x2  + x + 1)(x – 1)(x4 + x) + x2 (x – 1)(x2  + x + 1) + (x2  + x + 1)

= (x2  + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1] = (x2  + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x + 1)

Ghi nhớ:

Các đa thức có dạng x3m + 1 + x3n + 2 + 1 như: x7 + x2 + 1 ; x7 + x5 + 1 ; x8 + x4 + 1 ;

x5 + x + 1 ; x8 + x + 1 ; … đều có nhân tử chung là  x2 + x + 1

III. ĐẶT BIẾN PHỤ:

Ví dụ 1:    x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128

             =  (x2 + 10x) + (x2 + 10x  + 24) + 128

Đặt  x2 + 10x + 12 =  y, đa thức có dạng

    (y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4)

=  ( x2 + 10x + 8 )(x2  + 10x  + 16 ) =  (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + 8 )

Ví dụ 2:  A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1

Giả sử x

x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 =  x2 ( x2 + 6x + 7 –

Đặt  x -

A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2  =  (xy + 3x)2  = [x(x -

Chú ý: Ví dụ trên có thể giải bằng cách áp dụng hằng đẳng thức như sau:

A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x4 + (6x3 – 2x2 ) + (9x2 – 6x + 1 )

   =  x4 + 2x2(3x – 1) + (3x – 1)2   = (x2 + 3x – 1)2

Ví dụ 3:    A =(x2+y2+z2)(x+y+z)2+(xy+yz+zx)2

=[(x2+y2+z2)+2 (xy+yz+zx)](x2+y2+z2)+(xy+yz+zx)2

Đặt  x2+y2+z2 = a, xy + yz + zx = b ta có

A =  a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2  = (a + b)2   =  ( x2+y2+z2 + xy + yz + zx)2

Ví dụ 4: B =2(x4+y4+z4)-(x2+y2+z2)2-2(x2+y2+z2)(x+y+z)2+(x+y+z)4

Đặt  x4 + y4 + z4 = a,  x2 + y2  + z2 = b, x + y + z = c ta có:

B = 2a – b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2  + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a – b2) + (b –c2)2

Ta lại có: a – b2 =  - 2(x2y2+y2z2+z2x2) và b –c2 = - 2(xy + yz + zx) Do đó;

B = - 4(x2y2+y2z2+z2x2) + 4 (xy + yz + zx)2

  =  -4x2y2-4y2z2-4z2x2+4x2y2+4y2z2+4z2x2+8x2yz+8xy2z+8xyz2=8xyz(x+y+z)

Ví dụ 5: (a+b+c)3-4(a3+b3+c3)-12abc

Đặt a + b = m, a – b = n  thì 4ab = m2 – n2

     a3 + b3 = (a + b)[(a – b)2 + ab] = m(n2 +

C = (m + c)3 – 4.

= 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b)

IV. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH:

Ví dụ 1:  x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3

Nhận xét: các số  

Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng

(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd

đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có:

Xét bd = 3 với  b, d

Vậy:   x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 =  (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x  + 1)

Ví dụ 2:  2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8

Nhận xét: đa thức có 1 nghiệm là x = 2 nên có thừa số là  x - 2 do đó ta có:

   2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c)

=  2x4 + (a - 4)x3 + (b - 2a)x2 + (c - 2b)x - 2c  

Suy ra:  2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x  - 4)

Ta lại có 2x3 + x2 - 5x  - 4 là đa thức có tổng hệ số của các hạng tử bậc lẻ và bậc chẵn bằng nahu nên có 1 nhân tử là  x + 1 nên  2x3 + x2 - 5x  - 4 = (x + 1)(2x2  - x - 4)

Vậy: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(x + 1)(2x2  - x - 4)

Ví dụ 3:   

12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (a x + by + 3)(cx + dy  - 1)

=  acx2  + (3c - a)x  + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy – 3

(theo violet)