- LG a
- LG b
Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có các hệ thức:
LG a
\[\sin A = \sin B\cos C + \sin C\cos B\];
Phương pháp giải:
- Chứng minh công thức \[a = b\cos C + c\cos B\].
- Sử dụng định lý sin trong tam giác \[\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R\] và thay vào đẳng thức trên.
Giải chi tiết:
Ta chứng minh công thức: \[a = b\cos C + c\cos B\]
Thật vậy, \[\cos B = \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}};\] \[\cos C = \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\]
Do đó \[b\cos C + c\cos B\] \[ = b.\dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} + c.\dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\]
\[ = \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2a}} + \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2a}}\] \[ = \dfrac{{2{a^2}}}{{2a}} = a\] nên \[a = b\cos C + c\cos B\].
Theo định lý sin ta có: \[\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R\]
Do đó: \[a = 2R\sin A,b = 2R\sin B,c = 2R\sin C\].
Thay các giá trị này vào công thức \[a = b\cos C + c\cos B\] ta có:
\[2R\sin A = 2R\sin B\cos C + 2R\sin C\cos B\]
\[ \Rightarrow \sin A = \sin B\cos C + \sin C\cos C.\]
Chú ý: Các em cũng có thể sử dụng phối hợp định lý cô sin và định lý sin trong tam giác để thay trực tiếp vào vế phải của đẳng thức cần chứng minh rồi biến đổi về vế trái.
LG b
\[{h_a} = 2R\sin B\sin C\]
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức \[S = \dfrac{{abc}}{{4R}} = \dfrac{1}{2}a{h_a}\] và \[\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R\]
Giải chi tiết:
Ta có: \[\dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R\]\[ \Rightarrow \sin B = \dfrac{b}{{2R}},\sin C = \dfrac{c}{{2R}}\]
Khi đó \[2R\sin B\sin C\] \[ = 2R.\dfrac{b}{{2R}}.\dfrac{c}{{2R}} = \dfrac{{bc}}{{2R}}\].
Lại có: \[S = \dfrac{{abc}}{{4R}} = \dfrac{1}{2}a{h_a}\] \[ \Rightarrow \dfrac{{bc}}{{4R}} = \dfrac{1}{2}{h_a} \Leftrightarrow {h_a} = \dfrac{{bc}}{{2R}}\]
Vậy \[{h_a} = 2R\sin B\sin C\].