- LG a
- LG b
Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn điều kiện \[{a^3} > 36\]và \[abc = 1\]
Xét tam thức bậc hai \[f[x] = {x^2} - {\rm{a}}x - 3ac + \dfrac{{{a^2}}}{3}\].
LG a
Chứng minh rằng \[f[x] > 0,\forall x\];
Phương pháp giải:
Tính \[\Delta \]và chứng minh \[\Delta < 0\]
Lời giải chi tiết:
\[f[x]\]có
\[\Delta = {a^2} - 4[ - 3bc + \dfrac{{{a^2}}}{3}]\]\[= \dfrac{{ - {a^2}}}{3} + 12bc\]\[= \dfrac{{ - {a^2}}}{3} + \dfrac{{12abc}}{a}\]\[= \dfrac{{ - {a^2}}}{3} + \dfrac{{12}}{a}\]
\[= \dfrac{{36 - {a^3}}}{{3a}} < 0\][do giả thiết \[{a^3} > 36\]]
=>\[f[x] > 0,\forall x\].
LG b
Từ câu a] suy ra \[\dfrac{{{a^2}}}{3} + {b^2} + {c^2} > ab + bc + ca.\]
Phương pháp giải:
Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với \[f[b+c]>0\] suy ra luôn đúng.
Lời giải chi tiết:
\[\dfrac{{{a^2}}}{3} + {b^2} + {c^2} > ab + bc + ca\]
\[\Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}}}{3} + {[b + c]^2} - 2bc > bc + a[b + c]\]
\[\Leftrightarrow {[b + c]^2} - a[b + c] - 3bc + \dfrac{{{a^2}}}{3} > 0\]
\[\Leftrightarrow f[b + c] > 0\] đúng vì \[f[x] > 0,\forall x.\]