Bài tập chứng minh mệnh đề bằng phương pháp phản chứng

thuvientoan.net xin gửi đến bạn đọc tài liệu: Phương pháp chứng minh phản chứng .

Tài liệu này xin được trình bày về một phương pháp chứng minh kinh điển. Đây là một phương pháp chứng minh hiệu quả ở nhiều chủ đề Đại số, Số học, Hình học và Tổ hợp.

Trích dẫn tài liệu

Mở đầu về phươn pháp chứng minh phản chứng Phương pháp chứng minh phản chứng được tiến hành theo hai bước sau Bước 1: Giả sử điều cần chứng minh là sai ( phủ định lại mệnh đề cần chứng minh)

Bước 2: Từ điều giả sử ta suy ra một số tính chất hoặc quan hệ mới, mà những tính chất mới này mâu thuẫn với điều đã cho hoặc trái với tính chất đã biết.

Tài liệu

Tài liệu cùng chủ đề: 

Các phương pháp chứng minh bồi dưỡng học sinh giỏi Toán - Nguyên Tất Thu: Tải tại đây.

THEO THUVIENTOAN.NET

1. Phương pháp chứng minh quy nạp

Để chứng minh mệnh đề M(n) đúng với mọi số tự nhiên $n\geq n_{0}(n_{0}$ là số tự nhiên cho trước), ta thực hiện các bước sau:

- Chứng minh mệnh đề đúng với $n = n_{0}$, tức là M($n_{0}$) đúng.

- Giả sử M(n) đúng với số tự nhiên n = $k\geq n_{0}$, tức là M(k) đúng. Hãy chứng minh M(n) đúng với n = k+1, tức là M(k+1) đúng.

Khi đó mệnh đề M(n) đúng với mọi số tự nhiên $n\geq n_{0}$

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi $n\in N*$ ta luôn có:

a) $1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

b) $1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=\left ( \frac{n(n+1)}{2} \right )^{2}$

Hướng dẫn:

a) Với n=1 mệnh đề đúng vì $1^{2}\frac{1(1+1)(2.1+1)}{6}$

Giả sử mệnh đề đúng với n = k, tức là:

$1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+k^{2}=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$

Ta sẽ chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = k+1, tức là chứng minh:

$1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+(k+1)^{2}=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$

Thật vậy: 

$1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+k^{2}+(k+1)^{2}=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^{2}=\frac{k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^{2}}{6}$

= $\frac{(k+1)(2k^{2}+7k+6)}{6}=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$

Vậy mệnh đề đúng với mọi $n\in N*$

b) Với n = 1 mệnh đề đúng vì $1^{3}=\left ( \frac{1(1+1)}{2} \right )^{2}$

Giả sử mệnh đề đúng với n = k, tức là $1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+k^{3}=\left ( \frac{k(k+1)}{2} \right )^{2}$

Ta sẽ chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = k+1, tức là chứng minh:

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+(k+1)^{3}=\left ( \frac{(k+1)(k+2)}{2} \right )^{2}$

Thật vậy:

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+k^{3}+(k+1)^{3}=\left ( \frac{k(k+1)}{2} \right )^{2}+(k+1)^{3}$

= $\frac{[k(k+1)]^{2}+4(k+1)^{3}}{4}=\frac{(k+1)^{2}(k^{2}+4k+4)}{4}=\left ( \frac{(k+1)(k+2)}{2} \right )^{2}$

Vậy mệnh đề đúng với mọi $n\in N*$

2. Phương pháp chứng minh phản chứng

Giả sử cần chứng minh mệnh đề A $\rightarrow $ B (A là giả thiết, B là kết luận) là đúng.

Muốn chứng minh bằng phương pháp phản chứng ta phủ định mệnh đề cần chứng minh rồi từ đó suy ra sự vô lí.

Vì $\overline{A\Rightarrow B}=A\wedge \bar{B}$ nên để phủ định mệnh đề cần chứng minh ta ghép giả thiết và phủ định của kết luận

Sự vô lí có thể là điều trái với giả thiết, có thể trái với điều đúng (định nghĩa, định lí, mệnh đề đúng đã được chứng minh, ...) và có thể là điều vô lí do hai điều trái ngược nhau.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình bậc hai sau đây có nghiệm:

$ax^{2}+2bx+c=0; bx^{2}+2cx+a=0;cx^{2}+2ax+b=0$

Hướng dẫn:

Giả sử cả ba phương trình đều vô nghiệm. Khi đó:

$\Delta _{1}'=b^{2}-ac<0; \Delta _{2}'=c^{2}-ab<0;\Delta _{3}'=a^{2}-bc<0$

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac<0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}]<0$ , vô lí

Vậy ít nhất một trong ba phương trình đã cho có nghiệm.

3. Phương pháp chứng minh bằng phản ví dụ

Để chứng minh một mệnh đề là sai ta chỉ ra một trường hợp (một ví dụ) để mệnh đề đó sai là đủ. Ví dụ đưa ra đó gọi là phản ví dụ.

Ví dụ 3: Xét tính đúng - sai của mệnh đề:

"Phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ có nhiều nhất hai nghiệm". Nếu mệnh đề sai, hãy sửa cho đúng.

Hướng dẫn:

Dễ thấy rằng, với a = b = c = 0 thì phương trình trở thành:

$0.x^{2}+0x+0=0$ có vô số nghiệm.

Vậy mệnh đề là sai. 

Sửa lại: "Phương trình bậc hai $ax^{2}+bx+c=0$ có nhiều nhất hai nghiệm"

4. Xét tính đúng sai của mệnh đề: "Nếu n $\vdots p$ và n $\vdots q$ thì n $\vdots $ pq". Nếu mệnh đề sai hãy sửa cho đúng.

5. a) Với k lẻ, chứng minh rằng $(1^{k}+2^{k}+3^{k}+...+n^{k})\vdots (1+2+3+...+n)$

    b) Với k chẵn thì $(1^{k}+2^{k}+3^{k}+...+n^{k})$ có chia hết cho (1 + 2 + 3 + ... + n) không?

Xem lời giải

Sử dụng phương pháp phản chứng giúp ta giải quyết rất nhiều bài toán hay, nhìn tưởng khó mà hóa ra lại đơn giản. Trong bài giảng này thầy muốn nói tới việc sử dụng phương pháp phản chứng trong chứng minh định lý. Đối với các bạn học sinh lớp 10 khi học ngay chương đầu tiên về mệnh đề sẽ được làm quen với chứng minh định lý bằng phương pháp phản chứng. Muốn sử dụng tốt phương pháp này các bạn cần hiểu rõ một số mệnh đề toán học như: Mệnh đề kéo theo, mệnh đề phủ định, mệnh đề với mọi, mệnh đề tồn tại.

Tham khảo bài giảng:

Mệnh đề là gì?

Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc câu khẳng định sai. Câu khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng, câu khẳng định sai gọi là mệnh đề sai. Một mệnh đề không thể vừa có tính đúng, vừa có tính sai.

Ví dụ: 

• 2+2=4 là một mệnh đề đúng
• 2+2= -5 là một đề sai
• Ôi! Trời hôm nay nóng quá! Đây không phải là mệnh đề.

Mệnh đề phủ định

Cho mệnh đề P. Mệnh đề “không phải P” được gọi là mệnh đề phủ định của mệnh đề P.

Kí hiệu: $\overline{P}$

Nếu mênh đề P đúng thì mệnh đề $\overline{P}$ sai và ngược lại nếu mệnh đề $\overline{P}$ đúng thì mệnh đề P sai.

Mệnh đề với mọi ($\forall$) và tồn tại ($\exists$)

Đây là hai mệnh đề phủ định của nhau. Rất nhiều học sinh không biết tìm mệnh đề phủ định của hai mệnh đề này. Ở đây thầy sẽ giúp các bạn phân biệt hai mệnh đề này và tìm mệnh đề phủ định của chúng. Bởi hai mệnh đề này được sử dụng rất nhiều trong các bài toán áp dụng chứng minh phải chứng.

• Nếu cho mệnh đề “$\forall x\in X,P(x)$” thì phủ định của nó sẽ là: “$\exists x\in X, \overline{P(x)}”$
• Nếu cho mệnh đề “$\exists x\in X,P(x)$” thì phủ định của nó sẽ là: “$\forall x\in X, \overline{P(x)}”$

Ví dụ:

Nếu có mệnh đề “Có ít nhất một chuồng chứa nhiều hơn 4 con thỏ.”

Thì phủ định của nó sẽ là: “Tất cả các chuồng chứa ít hơn hoặc bằng 4 con thỏ.”

Như vậy thầy đã nói qua về một số khái niệm sẽ dùng tới trong quá trình chứng minh định lý bằng phương pháp phản chứng. Các bạn cần chú ý kĩ tới mệnh đề phủ định, mệnh đề với mọi và tồn tại cho thầy, bởi chúng sẽ được sử dụng rất nhiều trong quá trình chứng minh. Lý thuyết là như vậy đó, quan trọng là vận dụng ra sao trong việc giải quyết bài toán chứng minh phản chứng.

Phương pháp chứng minh phản chứng

Các bạn cần xác định được đúng mệnh đề P, mệnh đề Q. Từ đó tìm mệnh đề phủ định của Q là $\overline{Q}$.

Các bạn làm như sau:

• Các bạn xác định mệnh đề P, Q và $\overline{Q}$
• Giả sử mệnh đề Q sai, tức là mệnh đề $\overline{Q}$ sẽ đúng.
• Lập luận và sử dụng những điều đã biết để đi tới mâu thuẫn với giả thiết hoặc đi tới điều vô lý.
• Từ đó đi tới kết luận.

Bài tập 1:

Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n nếu $n^2$ là số chẵn thì n là số chẵn.

Hướng dẫn:

Trước tiên các bạn xác định cho thầy các mệnh đề P, Q và $\overline{Q}$

• P: $n^2$ là số chẵn
• Q: n là số chẵn
• $\overline{Q}$: n là số lẻ

Giả sử n là số lẻ, thì $n=2k+1, k\in N$

Khi đó: $n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$ là số lẻ. Mâu thuẫn với giả thiết $n^2$ là số chẵn. Suy ra điều giả sử sai.

Vậy: Với mọi số tự nhiên n nếu $n^2$ là số chẵn thì n là số chẵn.

Bài tập 2: 

Nếu $x\neq -1$ và $y\neq -1$ thì $x+y+xy\neq -1$

Hướng dẫn:

Mệnh đề  P, Q và $\overline{Q}$ là:

• P: $x\neq -1$; $y\neq -1$
• Q: $x+y+xy\neq -1$
• $\overline{Q}$: $x+y+xy=-1$

Giả sử:                 $x+y+xy =-1 \Leftrightarrow x+y+xy+1=0$

$ \Leftrightarrow (x+1)+y(x+1)=0$

$\Leftrightarrow (x+1)(y+1)=0$

$\Leftrightarrow $ $x=-1$ hoặc $y=-1$.

Mâu thuẫn với giả thiết là $x\neq -1$ và $y\neq -1$.

Vậy : Nếu $x\neq -1$ $y\neq -1$ thì $x+y+xy\neq -1$

Bài tập 3:

Chứng minh rằng nếu nhốt 25 con thỏ vào 6 cái chuồng thì sẽ có ít nhất 1 chuồng chứa nhiều hơn 4 con thỏ.

Hướng dẫn:

Mệnh đề  P, Q và $\overline{Q}$ là:

• P: Nhốt 25 con thỏ vào 6 chuồng
• Q: Ít nhất 1 chuồng chứa nhiều hơn 4 con thỏ
• $\overline{Q}$: Tất cả các chuồng chứa ít hơn hoặc bằng 4 con thỏ.

Giả sử tất cả các chuồng chứa ít hơn hoặc bằng 4 con thỏ. Khi đó số thỏ sẽ có tối đa là 4.6=24 con, mâu thuẫn với giả thiết là số thỏ có 25 con.

Vậy nếu nhốt 25 con thỏ vào 6 cái chuồng thì sẽ có ít nhất 1 chuồng chứa nhiều hơn 4 con thỏ.

Bài tập 4:

Chứng minh rằng có ít nhất 1 trong các bất đẳng thức sau là đúng: $a^2+b^2\geq 2bc, b^2+c^2\geq 2ac, a^2+c^2\geq 2ab$ với a, b, c bất kì.

Hướng dẫn:

Mệnh đề  P, Q và $\overline{Q}$ là:

• P: 3 số a, b, c bất kì
• Q: ít nhất 1 trong 3 đắng thức là đúng $a^2+b^2\geq 2bc, b^2+c^2\geq 2ac, a^2+c^2\geq 2ab$
• $\overline{Q}$: Tất cả các bất đẳng thức đều sai.

Giả sử tất cả các bất đẳng thức trên đều sai, tức là:

$a^2+b^2 < 2bc$   (1)

$ b^2+c^2 < 2ac$   (2)

$ a^2+c^2 < 2ab$   (3)

Cộng 2 vế của (1), (2), (3) ta được:

$a^2+b^2+b^2+c^2+a^2+c^2<2bc+2ac+2ab$

$\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2<0$ (vô lý). Do đó điều giả sử sai.

Vậy: Với a, b, c bất kì sẽ có ít nhất 1 trong các bất đẳng thức sau là đúng: $a^2+b^2\geq 2bc$,$b^2+c^2\geq 2ac, a^2+c^2\geq 2ab$.

Trên đây thầy đã hướng dẫn chúng ta phân tích và giải quyết một số bài toán chứng minh định lý bằng phương pháp phản chứng. Với phương pháp này các bạn giải quyết được rất nhiều bài toán và làm chúng trở lên đơn giản với lời giải dễ hiểu. Quan trọng trong phương pháp này các bạn cần xác định chính xác mệnh đề phủ định của mệnh đề Q, để từ đó có lập luận chính xác đi tới mâu thuẫn hoặc vô lý.

Bài tập chứng minh phản chứng:

Bài tập 1: Chứng minh rằng:

a. Với mọi số nguyên dương n, nếu $n^2$ là số lẻ thì n là số lẻ.

b. Với mọi số nguyên dương n, nếu $n^2$ chia hết cho 3 thì n chia hết cho 3.

c. Với 2 số dương a và b thì $a+b\geq 2\sqrt{ab}$.

d. Nếu $a+b<2$ thì một trong 2 số a và b nhỏ hơn 1

Bài tập 2: Chứng minh rằng:

a. Một tam giác không phải là tam giác đều thì nó có ít nhất 1 góc nhỏ hơn $60^0$

b. Nếu tích của hai số tự nhiên là một số lẻ thì tổng của chúng là một số chẵn.

c. Nếu $x^2+y^2=0$ thì $x=0$ và $y=0$

d. Nếu một tứ giác có tổng các góc đối diện bằng hai góc vuông thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ