Bài tập không gian topo có lời giải năm 2024

Xem mẫu

BÀI SOẠN LÝ THUYẾT & BÀI TẬP LỚP CAO HỌC GIẢI TÍCH – KHÓA 19 – CẦN THƠ Biện soạn theo giáo trình Topo Đại Cương của PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY (Tài liệu mang nh chất tham khảo – h p://nguyenchiphuong.WordPress.com) A .LÝ THUYẾT §3. Định lý 1.1: Cho không gian Tôpô ( , ) 1. Nếu ⊂ có tập con liên thông B trù mật ( ⊂ ) thì A liên thông. 2. Nếu ⊂ liên thông ∀ ∈ và ⋂ ∈ ≠ ∅ thì ⋃ ∈ liên thông. 3. Giả sử A có nh chất: “hai điểm bất kỳ của A luôn được chứa trong một tập con liên thông của A”. Khi đó A liên thông. 4. Nếu X liên thông và : → ′ liên tục thì ( ) liên thông. Lưu ý:  Theo bổ đề 1.1 thì nếu với mọi ánh xạ bất kỳ đi từ ( , ) vào với = { , } là không gian Tôpô rời rạc mà không liên tục thì tương đương với A là tập liên thông. Do đó ta chỉ đi xét trường hợp một ánh xạ bất kỳ đi từ ( , ) vào liên tục và khảo sát sự liên thông của tập A  f là ánh xạ hằng trên A thì A liên thông Chứng minh: Gọi = { , } là không gian Tôpô rời rạc 1. Nếu ⊂ có tập con liên thông B trù mật ( ⊂ ) thì A liên thông. Thật vậy: Xét ánh xạ : ( , ) → liên tục. Do ⊂ nên ∃ | :( , ) → liên tục, mà liên thông nên | là ánh xạ hằng trên B ⇒ ( ) = ,∀ ∈ Lại có B trù mật trong A nên ∀ ∈ ⇒ ∈ ⇒ ∃{ } ⊂ : → Mà liên tục nên ( ) → ( ),∀ ∈ (1) Hơn nữa ( ) = (do ∈ , ∀ ) (2) Từ (1) và (2) suy ra ( ) = ,∀ ∈ hay là ánh xạ hằng trên A nên A liên thông 2. Nếu ⊂ liên thông ∀ ∈ và ⋂ ∈ ≠ ∅ thì ⋃ ∈ liên thông. Thật vậy: Xét ánh xạ : ⋃ ∈ → liên tục. 1 Hiển nhiên ⊂ ⋃ ∈ nên ∃ | :( , ) → liên tục, mà liên thông nên ta có là ánh xạ hằng trên mỗi hay ( ) = { }, ∀ ∈ (3) Do ⋂ ∈ ≠ ∅ nên ∃ ∈ ⋂ ∈ : ( ) = (4) Từ (3) và (4) suy ra ( )= { },∀ ∈ ⇒ (⋃ ∈ )= { } hay f là ánh xạ hằng trên ⋃ ∈ Suy ra ⋃ ∈ liên thông 3. Giả sử A có nh chất: “hai điểm bất kỳ của A luôn được chứa trong một tập con liên thông của A”. Khi đó A liên thông. Thật vậy: Cố định ∈ khi đó ∀ ∈ ta gọi là tập con liên thông của A, chứa , ⇒ = ⋃ ∈ Mặt khác ∈ ⋂ ∈ nên ⋂ ∈ ≠ ∅ kết hợp với liên thông Nên áp dụng phần 2 ta có ⋃ ∈ liên thông hay A liên thông 4. Nếu X liên thông và : → ′ liên tục thì ( ) liên thông. Thật vậy: Xét ánh xạ : ( ) → liên tục khi đó ánh xạ ∘ : → liên tục Ta có X liên thông, ∘ : → liên tục nên ∘ ( ) = { } Mà ∘ ( ) = ( ( )) nên ( ) = { } ⇒ ( ) là tập một điểm hay là ánh xạ hằng trên ( ) Suy ra ( ) liên thông §3. Định lý 2.2: Các mệnh đề sau đây tương đương (i) X là không gian compact (ii) Mọi siêu lưới trong X thì hội tụ (iii) Mọi lưới trong X có lưới con hội tụ Lưu ý:  Họ { : ∈ } phủ mở của X compact thì ∃ ,…, : = ⋃  { } hội tụ ⇔ ∃ ∈ , ∀ ∈ ,∃ : ậ { : ≥ } ⊂  Định lý 2.1: X compact ⇔ Mọi họ có tâm gồm các tập đóng trong X thì có giao khác rỗng  Định lí 1.1: Mọi lưới trong X đều có lưới con là siêu lưới Chứng minh:  CM: ( ) ⇒ ( ): Cho X là không gian compact. Chứng minh mọi siêu lưới trong X thì hội tụ 2 Thật vậy: Dùng phản chứng: Giả sử tồn tại một siêu lưới { } không hôi tụ Do { } không hội tụ nên ∀ ∈ ,∃ mở chứa x sao cho ∀ thì tập { : ≥ } ⊄ (1) Do { } là siêu lưới nên ∃ sao cho tập { : ≥ } ⊂ hoặc { : ≥ } ⊂ \ (2) Từ (1) và (2) suy ra ∃ sao cho tập { : ≥ } ⊂ \ (3) Mặt khác họ { : ∈ } phủ mở của X compact nên ∃ ,…, : = ⋃ Chọn ≥ ,∀ = 1, thì ∉ , ∀ = 1, (do 3) Suy ra ∉ ⋃ = (vô lý)  CM: ( ) ⇒ ( ): Cho mọi siêu lưới trong X thì hội tụ. Chứng minh mọi lưới trong X có lưới con hội tụ Thật vậy: Áp dụng định lí 1.1: mọi lưới trong X đều có lưới con là siêu lưới mà theo giả thiết cho mọi siêu lưới trong X thì hội tụ nên hiển nhiên lưới con đó hội tụ  CM: ( ) ⇒ ( ): Cho mọi lưới trong X có lưới con hội tụ. Chứng minh X compact Thật vậy: Xét họ các tập đóng { : ∈ } có nh giao hữu hạn. Đặt = { ⊂ : ℎữ ℎạ }. Ta xét thứ tự ≤ ⇔ ⊂ Lập lưới { : ∈ } sao cho ∈ ⋂ ∈ và gọi { } là lưới con của { } hội tụ về a Ta chứng minh ∈ ⋂ ∈ Cố định ∈ do { } là lưới con của { } nên ∃ : ∀ ≥ ⟹ = với ≥ { } Suy ra ∈ ⋂ ∈ ⊂ Vậy lưới { : ≥ } ⊂ , hội tụ về a nên ∈ . Mà là lấy bất kỳ trong nên ∈ ⋂ ∈ Hay ⋂ ∈ ≠ ∅ Vậy mọi họ có tâm gồm các tập đóng { : ∈ } trong X có giao khác rỗng nên X compact §5. Mệnh đề 3.1: Nếu f liên tục đều thì f liên tục đối với Tôpô sinh bởi cấu trúc đều Lưu ý:  { [ ]: ∈ } là cơ sở lân cận của điểm trong tôpô sinh bởi hay [ ] là lân cận của điểm trong tôpô sinh bởi 3 Chứng minh: Ghi ra điều cần CM: Chứng minh liên tục đối với tôpô sinh bởi cấu trúc đều ⇔ é ∈ , cho { [ ( )]: ∈ ]} là cơ sở lân cận ( ) trong tôpô sinh bởi Ta chứng minh ( [ ( )]) là lân cận của trong tôpô sinh bởi Thật vậy: Xét ∈ . Theo giả thiết cho f liên tục đều ⇔ ∀ ∈ ⇒ ( ) ∈ Suy ra { ( )[ ]: ( ) ∈ } là cơ sở lân cận của trong tôpô sinh bởi hay ( )[ ] lân cận của trong tôpô sinh bởi (1) Lại có: ( [ ( )]) = { : ( ) ∈ [ ( )]} = { :( ( ), ( )) ∈ } = { :( , ) ∈ ( )} = ( )[ ] (2) Từ (1) và (2) suy ra ( [ ( )]) là lân cận của trong tôpô sinh bởi (đpcm) §5. Định lý 3.1: Cho các không gian đều là ( , ),( , ) và ánh xạ : → thỏa mãn; 1. X với tôpô sinh bởi là - không gian compact 2. f liên tục Khi đó f liên tục đều Lưu ý:  ∈ [ ] ⇒ ( , ) ∈  Lưới {( , )} là lưới con của lưới {( , )} (định nghĩa trong cấu trúc đều) ⇔ ∀ ∈ , ∃ :∀ ≥ ⇒ , = ( , ),∀ ≥ ′  Lưới {( , )} hội tụ về ( , ) (định nghĩa trong cấu trúc đều) ⇔ ∀ ∈ , ∃ :∀ ≥ ⇒ ∈ [ ], ∈ [ ]  Mệnh đề 2.1: ∈ thì W là một lân cận của ∆ (đường chéo chính của )  Bổ đề 1.2: ∀ ∈ ,∃ ∈ , đối xứng, ∘ ∘ ⊂ Chứng minh: Phản chứng: giả sử f không liên tục đều ⇔ ∃ ∈ :∀ ∈ ⇒ ( ) ⊄ Lập lưới {( , ): ∈ } thỏa mãn: ( , ) ∈ , ( ( ), ( )) ∉ (*) Bài cho X là - không gian compact nên lưới {( , )} có lưới con {( , )} hội tụ về ( , ) nào đó  Ta chứng minh = 4 Giả sử ≠ thì tồn tại ∈ thỏa mãn [ ] ∩ [ ] = ∅. Theo bổ đề 1.2 ta chọn được ∈ , ′ đối xứng, ′ ∘ ′ ∘ ′ ⊂ - Do {( , )} là lưới con của {( , )} nên: ∃ :∀ ≥ ⇒ , = ( , ),∀ ≥ ′ ⇒ , ∈ ′ (1) - Do {( , )} hội tụ về ( , ) nên: ∃ ∶ ∀ ≥ ⇒ ∈ [ ], ∈ [ ] ⇒ , ∈ , ( , ) ∈ (2) Từ (1) và (2) ta có: ( , ) ∈ ′ ∘ ′ ∘ ′ ⊂ ⇒ ( , ) ∈ hay ∈ [ ] Suy ra ∈ [ ] ∩ [ ] (mâu thuẫn với [ ] ∩ [ ] = ∅) Vậy ta có lim , = ( ), ( ) (do f liên tục và {( , )} hội tụ về ( , )) = ( ( ), ( )) ∈ ∆ (đường chéo chính của ) Do ∈ nên là lân cận của ∆ (theo mệnh đề 2.1) ⇒ ∃ :∀ ≥ ⇒ , ∈ (mâu thuẫn với (*)) Vậy f liên tục đều §6. Định lý 2.1: Giả sử X là không gian compact, ⊂ ℝ( ) thỏa mãn: (i) là một đại số (ii) tách các điểm của và không suy biến tại mỗi điểm của . Khi đó trù mật trong ℝ( ) Lưu ý:  Định nghĩa 2.2: là một đại số nếu: (i) là một không gian vecto đối với cá phép toán thông thường về cộng hàm và nhân hàm với số thuộc trường (ii) Nếu , ∈ thì ∈  Bổ đề 2.1: Tồn tại dãy đa thức { ( )}, (0) = 0 hội tụ đều trên [0,1] về hàm ( ) = √  Bổ đề 2.2: Cho là một tôpô đại số, tách các điểm của và không suy biến tại mỗi điểm của . Khi đó với mỗi cặp điểm , ∈ ; , ∈ (nếu = thì = ) tồn tại ∈ : ( ) = , ( ) = Chứng minh:  Chứng minh bao đóng là một đại số tức là cũng có các nh chất (i), (ii) của định nghĩa 2.2 nêu trên Hiển nhiên có nh chất (i) ta chỉ cần chứng minh nếu , ∈ thì ∈ 5 ... - tailieumienphi.vn

nguon tai.lieu . vn