Các cách giải hệ phương trình nâng cao
Cách giải các dạng hệ phương trình đặc biệt cực hay, chi tiết
Trang trước
Trang sau
DẠNG TOÁN 1: HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT BẬC HAI Quảng cáo
1. Phương pháp giải Sử dụng phương pháp thế - Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia. - Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn. - Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này. DẠNG TOÁN 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG 1. Phương pháp giải a. Hệ đối xứng loại 1 Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ phương trình có dạng: (Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi). Cách giải - Đặt S = x + y, P = xy - Đưa hệ phương trình (I) về hệ (I') với các ẩn là S và P. - Giải hệ (I') ta tìm được S và P - Tìm nghiệm (x; y) bằng cách giải phương trình: X2 - SX + P = 0 b. Hệ đối xứng loại 2 Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ phương trình có dạng: (Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại) - Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: (II) - Biến đổi (3) về phương trình tích: (3) (x-y).g(x,y) = 0 - Như vậy (II) - Giải các hệ phương trình trên ta tìm được nghiệm của hệ (II) c. Chú ý: Hệ phương trình đối xứng loại 1, 2 nếu có nghiệm là (x0; y0) thì (y0; x0) cũng là một nghiệm của nó Quảng cáo
DẠNG TOÁN 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI 1. Phương pháp giải Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai là hệ phương trình có dạng: - Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0) - Khi x 0, đặt y = tx. Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được phương trình bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y) Bài 1: Giải hệ phương trình Hướng dẫn: a. Đặt S = x + y, P = xy (S2 - 4P 0) Ta có : S2 - 2(5-S) = 5 S2 + 2S - 15 = 0 S = -5; S = 3 S = -5 P = 10 (loại) S = 3 P = 2(nhận) Khi đó : x, y là nghiệm của phương trình X2 - 3X + 2 = 0 X = 1; X = 2 Vậy hệ có nghiệm (2; 1), (1; 2) b. ĐKXĐ: x 0 Hệ phương trình tương đương với Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là (1; 1) và (2; -3/2) Bài 2: Giải hệ phương trình Hướng dẫn: a. Hệ phương trình tương đương Với x-y = 4 x = y + 4 y(y+4) + y + 4 - y = -1 y2 + 4y + 5 = 0 (vn) Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = {(0; 1), (-1; 0)} b. Đặt S = x+y; P = xy, ta có hệ: - Với S = 2 + 2; P = 22 ta có x, y là nghiệm phương trình: Với S = -4-2; P = 6 + 42 ta có x, y là nghiệm phương trình: X2 + (4+2)X + 6 + 42 = 0 (vô nghiệm) Vậy hệ có nghiệm (x; y) là (2; 2) và (2; 2) Quảng cáo
Bài 3: Giải hệ phương trình Hướng dẫn: a. Hệ phương trình tương đương Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là: (x; y) = {(0;0), (2;2)} b. Trừ vế với vế của phương trình đầu và phương trình thứ hai ta được: (y2 - x2 = x3 - y3 - 3(x2 - y2) + 2(x-y) (x-y)(x2 + xy + y2 - 2x - 2y + 2) = 0 1/2(x-y)[x2 + y2 + (x + y - 2)2] = 0 x = y) (vì x2 + y2 + (x+y-2)2 > 0) Thay x = y vào phương trình đầu ta được: x3 - 4x2 + 2x = 0 x(x2 - 4x + 2) = 0 Vậy hệ phương trình có ba nghiệm: (0; 0); (2+2; 2+2) và (2-2; 2-2) Bài 4: Giải hệ phương trình Hướng dẫn: a. Ta có : x3 - 3x = y3 - 3y (x-y)(x2 + xy + y2) - 3(x-y) = 0 (x-y)(x2 + xy + y2 - 3) = 0 Khi x = y thì hệ có nghiệm Khi x2 + xy + y2 - 3 = 0 x2 + y2 = 3 - xy, ta có x6 + y6 = 27 (x2 + y2)(x4 - x2y2 + y4) = 27 (3-xy)[(3-xy)2 - 3x2y2] = 27 3(xy)3 + 27xy = 0 Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm b. Hệ phương trình tương đương Bài 5: Giải hệ phương trình Hướng dẫn: a. Ta có Nếu x = 0 thay vào (1) y = 0, thay vào (2) thấy (x; y) = (0; 0) là nghiệm của phương trình (2) nên không phải là nghiệm của hệ phương trình Nếu x 0, đặt y = tx , thay vào hệ ta được Với t = 1/2 thay vào (**) ta được 4x2 + x2 + 6x = 27 5x2 + 6x - 27 = 0 Với t = 1/3 thay vào (**) ta được 4x2 + (2/3)x2 + 6x = 27 14x2 + 18x - 81 = 0 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là: b. Dễ thấy x = 0 không thoả hệ Với x 0, đặt y = tx, thay vào hệ ta được Suy ra 3(t2 - t + 1) = 2t2 - 3t + 4 t = ±1 Thay vào (*) thì Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là (1/3;(-1)/3), ((-1)/3;1/3), (-1;-1) và (1;1) Bài 6: Cho hệ phương trình. Tìm giá trị thích hợp của tham số a sao cho hệ có nghiệm (x; y) và tích x.y nhỏ nhất. Hướng dẫn: Đặt S = x + y, P = xy (S2 - 4P 0) Ta có Đẳng thức xảy ra khi a = -1 (nhận) Bài 7: Xác định m để hệ phương trìnhcó nghiệm Hướng dẫn: Hệ phương trình tương đương (x2 + y2 - 2xy) - (x + y - 4xy) = m + 1 - 2m (x+y)2 - (x+y) + m - 1 = 0 Để hệ phương trình có nghiệm Δ 0 1 - 4(m-1) 0 5 - 4m 0 m 5/4 Từ phương trình thứ 2 ta có(x-y)2 = m + 1 m + 1 0 m -1 Do đó -1 m 5/4 Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi
Trang trước
Trang sau
|