Cách tìm phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị
Đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm đa thức bậc ba $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ có phương trình là $y=\frac{2}{3}\left( c-\frac{{{b}^{2}}}{3a} \right)x+d-\frac{bc}{9a}.$Chứng minh. Gọi $A({{x}_{1}};{{y}_{1}}),B({{x}_{2}};{{y}_{2}})$ là các điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho. Show
Ta có ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình ${y}'=0\Leftrightarrow 3a{{x}^{2}}+2bx+c=0.$ Lấy $a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ chia cho $3a{{x}^{2}}+2bx+c$ ta được $a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=\left( \frac{x}{3}+\frac{b}{9a} \right)\left( 3a{{x}^{2}}+2bx+c \right)+\frac{2}{3}\left( c-\frac{{{b}^{2}}}{3a} \right)x+d-\frac{bc}{9a}.$ Do đó $y=\left( \frac{x}{3}+\frac{b}{9a} \right){y}'+\frac{2}{3}\left( c-\frac{{{b}^{2}}}{3a} \right)x+d-\frac{bc}{9a}.$ Vì ${y}'({{x}_{1}})={y}'({{x}_{2}})=0\Rightarrow {{y}_{1}}=\frac{2}{3}\left( c-\frac{{{b}^{2}}}{3a} \right){{x}_{1}}+d-\frac{bc}{9a};{{y}_{2}}=\frac{2}{3}\left( c-\frac{{{b}^{2}}}{3a} \right){{x}_{2}}+d-\frac{bc}{9a}.$ Điều đó chứng tỏ $A,B\in d:y=\frac{2}{3}\left( c-\frac{{{b}^{2}}}{3a} \right)x+d-\frac{bc}{9a}.$ Ta có điều phải chứng minh. Ví dụ minh hoạ:Câu 1: Tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=2{{x}^{3}}+3(m-3){{x}^{2}}-3m+11$ có hai điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị và điểm $N(2;-1)$ thẳng hàng là
Lời giải. Ta có ${y}'=0\Leftrightarrow 6{{x}^{2}}+6(m-3)x=0\Leftrightarrow x=0;x=3-m.$ Hàm số có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow 3-m\ne 0\Leftrightarrow m\ne 3.$ Loại đáp án B. Khi đó đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là \[y=\frac{2}{3}\left( c-\frac{{{b}^{2}}}{3a} \right)x+d-\frac{bc}{9a}=-{{(m-3)}^{2}}x-3m+11.\] Vì điểm $N(2;-1)$ thuộc đường thẳng này nên $-2{{(m-3)}^{2}}-3m+11=-1\Leftrightarrow m=\frac{9\pm \sqrt{33}}{4}.$ Chọn đáp án A. Câu 2. Cho hàm số $f(x)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$ với $a,b,c$ là các số thực. Biết ${f}'(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt $m,n$ sao cho đường thẳng đi qua hai điểm $A(m;f(m)),B(n;f(n))$ đi qua gốc toạ độ $O.$ Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=abc+ab+c$ là ?
Lời giải chi tiết: Đường thẳng qua hai điểm $AB:y=\frac{2}{3}\left( b-\frac{{{a}^{2}}}{3} \right)x+c-\frac{ab}{9}.$ Vì $O\in AB$ nên $c-\frac{ab}{9}=0.$ Vì vậy $S=\frac{1}{9}{{(ab)}^{2}}+\frac{10}{9}ab=\frac{1}{9}{{\left( ab+5 \right)}^{2}}-\frac{25}{9}\ge -\frac{25}{9}.$ Chọn đáp án B. Câu 3.Khoảng cách từ điểm $P(3;1)$ đến đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị của hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-({{m}^{2}}-2)x+{{m}^{2}}$ có giá trị lớn nhất bằng
Lời giải chi tiết. Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị $A,B$ của đồ thị hàm số đã cho là \[y=\frac{2}{3}\left( c-\frac{{{b}^{2}}}{3a} \right)x+d-\frac{bc}{9a}=-\frac{2}{3}({{m}^{2}}+1)x+\frac{2({{m}^{2}}+1)}{3}.\] Đường thẳng qua hai điểm cực trị luôn qua điểm cố định $I(1;0)$ là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho. Vì vậy $d(P,AB)\le PI=\sqrt{5}.$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $PI\bot AB.$ Đường thẳng $AB$ có hệ số góc ${{k}_{1}}=-\frac{2}{3}({{m}^{2}}+1).$ Đường thẳng $PI$ có hệ số góc ${{k}_{2}}=\frac{{{y}_{P}}-{{y}_{I}}}{{{x}_{P}}-{{x}_{I}}}=\frac{1-0}{3-1}=\frac{1}{2}.$ Vậy $PI\bot AB\Leftrightarrow {{k}_{1}}.{{k}_{2}}=-1\Leftrightarrow -\frac{2}{3}({{m}^{2}}+1).\frac{1}{2}=-1\Leftrightarrow {{m}^{2}}=2\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{2}.$ Chọn đáp án A. Bài tập tự luyện:Câu 1.Khi đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3mx+2$ có hai điểm cực trị $A,B$ và đường tròn $(C):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=3$ cắt đường thẳng $AB$ tại hai điểm phân biệt $M,N$ sao cho khoảng cách giữa $M$ và $N$ lớn nhất. Tính độ dài $MN.$
Câu 2. Cho hàm số $y={{x}^{3}}+(m+3){{x}^{2}}-(2m+9)x+m+6$ có đồ thị $(C).$ Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để $(C)$ có hai điểm cực trị và khoảng cách từ gốc toạ độ $O$ đến đường thẳng nối hai điểm cực trị là lớn nhất.
Câu 3.Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để điểm $M(2{{m}^{3}};m-1)$ cùng với hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=2{{x}^{3}}-3(2m+1){{x}^{2}}+6m(m+1)x$ tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ nhất.
Gồm 4 khoá luyện thi duy nhất và đầy đủ nhất phù hợp với nhu cầu và năng lực của từng đối tượng thí sinh:Bốn khoá học X trong gói COMBO X 2020có nội dung hoàn toàn khác nhau và có mục đich bổ trợ cho nhau giúp thí sinh tối đa hoá điểm số.
Quý thầy cô giáo, quý phụ huynh và các em học sinh có thể mua Combo gồm cả 4 khoá học cùng lúc hoặc nhấn vào từng khoá học để mua lẻ từng khoá phù hợp với năng lực và nhu cầu bản thân. >>Xem thêmMột cách giải quyết với bài toán Hai điểm cực trị của đồ thị hàm đa thức bậc ba nằm phác phía với trục hoành - Thầy Đặng Thành Nam>>Xem thêmĐiểm cực trị của đồ thị hàm phân thức bậc hai/bậc nhất luôn thuộc một parabol cố định>>Xem thêmĐường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất và hàm phân thức bậc hai trên bậc hai |