Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \[|z+2-i|=2\sqrt{2}\] và \[{{[z-1]}^{2}}\] là số thuần ảo?
Hãy chọn trả lời đúng trước khi xem đáp án và lời giải bên dưới.
Đề thi thử TN THPT QG năm 2021 môn TOÁN
Giả sử số phức z=a+bi, \[\left[ a,b\in \mathbb{R} \right]\].
Ta có \[\left| z+i \right|=2\Leftrightarrow \left| a+\left[ b+1 \right]i \right|=2\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{\left[ b+1 \right]}^{2}}=4 \left[ 1 \right]\]
\[{{\left[ z-2 \right]}^{4}}={{\left[ \left[ a-2 \right]+bi \right]}^{4}}={{\left[ {{\left[ a-2 \right]}^{2}}-{{b}^{2}}+2b\left[ a-2 \right]i \right]}^{2}}\]
\[={{\left[ a-2 \right]}^{4}}+{{b}^{4}}-4{{b}^{2}}{{\left[ a-2 \right]}^{2}}-2{{b}^{2}}{{\left[ a-2 \right]}^{2}}+4b{{\left[ a-2 \right]}^{3}}i-4{{b}^{3}}\left[ a-2 \right]i\]
\[={{\left[ a-2 \right]}^{4}}+{{b}^{4}}-4{{b}^{2}}{{\left[ a-2 \right]}^{2}}-2{{b}^{2}}{{\left[ a-2 \right]}^{2}}+4b\left[ a-2 \right]\left[ {{\left[ a-2 \right]}^{2}}-{{b}^{2}} \right]i\]
Vì \[{\left[ {z – 2} \right]^4}\] là một số thực nên
\[4b\left[ {a – 2} \right]\left[ {{{\left[ {a – 2} \right]}^2} – {b^2}} \right] = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} b = 0\\ a = 2\\ a – 2 = b\\ a – 2 = – b \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} b = 0\\ a = 2\\ a = b + 2\\ a = 2 – b
\end{array} \right.\]
+] b = 0 thay vào [1] ta có
\[{a^2} + 1 = 4 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} a = \sqrt 3 \\ a = – \sqrt 3
\end{array} \right.\]
. Có số phức\[\left[ \begin{array}{l} z = \sqrt 3 \\ z = – \sqrt 3
\end{array} \right.\]
+] a = 2 thay vào [1] ta có \[{2^2} + {\left[ {b + 1} \right]^2} = 4 \Rightarrow b = – 1\]. Có số phức z = 2 – i
+] a = b + 2 thay vào [1] ta có
\[{\left[ {b + 2} \right]^2} + {\left[ {b + 1} \right]^2} = 4 \Rightarrow 2{b^2} + 6b + 1 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} b = \frac{{ – 3 – \sqrt 7 }}{2}\\ b = \frac{{ – 3 + \sqrt 7 }}{2}
\end{array} \right.\]
.Có 2 số phức thỏa mãn
+] a = -b + 2 thay vào [1] ta có \[{\left[ { – b + 2} \right]^2} + {\left[ {b + 1} \right]^2} = 4 \Rightarrow 2{b^2} – 2b + 1 = 0\] [Vô nghiệm ]
Vậy có 5 số phức thỏa mãn.
Hãy chọn trả lời đúng trước khi xem đáp án và lời giải bên dưới. Đề thi thử TN THPT năm 2021 môn Toán lớp 12
Đáp án đúng: B
Giả sử số phức z=a+bi, \[\left[ a,b\in \mathbb{R} \right]\].
Ta có \[\left| z+i \right|=2\Leftrightarrow \left| a+\left[ b+1 \right]i \right|=2\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{\left[ b+1 \right]}^{2}}=4 \left[ 1 \right]\]
\[{{\left[ z-2 \right]}^{4}}={{\left[ \left[ a-2 \right]+bi \right]}^{4}}={{\left[ {{\left[ a-2 \right]}^{2}}-{{b}^{2}}+2b\left[ a-2 \right]i \right]}^{2}}\]
\[={{\left[ a-2 \right]}^{4}}+{{b}^{4}}-4{{b}^{2}}{{\left[ a-2 \right]}^{2}}-2{{b}^{2}}{{\left[ a-2 \right]}^{2}}+4b{{\left[ a-2 \right]}^{3}}i-4{{b}^{3}}\left[ a-2 \right]i\]
\[={{\left[ a-2 \right]}^{4}}+{{b}^{4}}-4{{b}^{2}}{{\left[ a-2 \right]}^{2}}-2{{b}^{2}}{{\left[ a-2 \right]}^{2}}+4b\left[ a-2 \right]\left[ {{\left[ a-2 \right]}^{2}}-{{b}^{2}} \right]i\]
Vì \[{\left[ {z – 2} \right]^4}\] là một số thực nên
\[4b\left[ {a – 2} \right]\left[ {{{\left[ {a – 2} \right]}^2} – {b^2}} \right] = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} b = 0\\ a = 2\\ a – 2 = b\\ a – 2 = – b \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} b = 0\\ a = 2\\ a = b + 2\\ a = 2 – b
\end{array} \right.\]
+] b = 0 thay vào [1] ta có
\[{a^2} + 1 = 4 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} a = \sqrt 3 \\ a = – \sqrt 3
\end{array} \right.\]
. Có số phức\[\left[ \begin{array}{l} z = \sqrt 3 \\ z = – \sqrt 3
\end{array} \right.\]
+] a = 2 thay vào [1] ta có \[{2^2} + {\left[ {b + 1} \right]^2} = 4 \Rightarrow b = – 1\]. Có số phức z = 2 – i
+] a = b + 2 thay vào [1] ta có
\[{\left[ {b + 2} \right]^2} + {\left[ {b + 1} \right]^2} = 4 \Rightarrow 2{b^2} + 6b + 1 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} b = \frac{{ – 3 – \sqrt 7 }}{2}\\ b = \frac{{ – 3 + \sqrt 7 }}{2}
\end{array} \right.\]
Có 2 số phức thỏa mãn
+] a = -b + 2 thay vào [1] ta có \[{\left[ { – b + 2} \right]^2} + {\left[ {b + 1} \right]^2} = 4 \Rightarrow 2{b^2} – 2b + 1 = 0\] [Vô nghiệm ]
Vậy có 5 số phức thỏa mãn.
Giả sử số phức z=a+bi, \[\left[ a,b\in \mathbb{R} \right]\].
Ta có \[\left| z+i \right|=2\Leftrightarrow \left| a+\left[ b+1 \right]i \right|=2\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{\left[ b+1 \right]}^{2}}=4 \left[ 1 \right]\]
\[{{\left[ z-2 \right]}^{4}}={{\left[ \left[ a-2 \right]+bi \right]}^{4}}={{\left[ {{\left[ a-2 \right]}^{2}}-{{b}^{2}}+2b\left[ a-2 \right]i \right]}^{2}}\]
\[={{\left[ a-2 \right]}^{4}}+{{b}^{4}}-4{{b}^{2}}{{\left[ a-2 \right]}^{2}}-2{{b}^{2}}{{\left[ a-2 \right]}^{2}}+4b{{\left[ a-2 \right]}^{3}}i-4{{b}^{3}}\left[ a-2 \right]i\]
\[={{\left[ a-2 \right]}^{4}}+{{b}^{4}}-4{{b}^{2}}{{\left[ a-2 \right]}^{2}}-2{{b}^{2}}{{\left[ a-2 \right]}^{2}}+4b\left[ a-2 \right]\left[ {{\left[ a-2 \right]}^{2}}-{{b}^{2}} \right]i\]
Vì \[{\left[ {z - 2} \right]^4}\] là một số thực nên \[4b\left[ {a - 2} \right]\left[ {{{\left[ {a - 2} \right]}^2} - {b^2}} \right] = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} b = 0\\ a = 2\\ a - 2 = b\\ a - 2 = - b \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} b = 0\\ a = 2\\ a = b + 2\\ a = 2 - b \end{array} \right.\]
+] b = 0 thay vào [1] ta có \[{a^2} + 1 = 4 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} a = \sqrt 3 \\ a = - \sqrt 3 \end{array} \right.\]. Có số phức \[\left[ \begin{array}{l} z = \sqrt 3 \\ z = - \sqrt 3 \end{array} \right.\]
+] a = 2 thay vào [1] ta có \[{2^2} + {\left[ {b + 1} \right]^2} = 4 \Rightarrow b = - 1\]. Có số phức z = 2 - i
+] a = b + 2 thay vào [1] ta có \[{\left[ {b + 2} \right]^2} + {\left[ {b + 1} \right]^2} = 4 \Rightarrow 2{b^2} + 6b + 1 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} b = \frac{{ - 3 - \sqrt 7 }}{2}\\ b = \frac{{ - 3 + \sqrt 7 }}{2} \end{array} \right.\].
Có 2 số phức thỏa mãn
+] a = -b + 2 thay vào [1] ta có \[{\left[ { - b + 2} \right]^2} + {\left[ {b + 1} \right]^2} = 4 \Rightarrow 2{b^2} - 2b + 1 = 0\] [Vô nghiệm ]
Vậy có 5 số phức thỏa mãn.