Công thức tổ hợp chỉnh hợp xác suất
|
Công thức tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị, xác xuất, và nhị thức newton là kiến thức lớp 11. Đây là kiến thức quan trọng mà bất kể các em học sinh chuyên toán hay không chuyên đều phải biết, bởi nó sẽ có trong đề thi THPT. Nhưng vẫn có rất nhiều em còn chưa nắm vững kiến thức này. Do vậy, bài viết hôm nay Góc Hạnh Phúc sẽ tổng hợp toàn bộ kiến thức về tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị, xác xuất , nhị thức newton và ví dụ minh họa để các em nắm vững kiến thức, dễ dàng giải quyết những bài tập từ cơ bản đến nâng cao. Show
Công thức tổ hợpTổ hợp là cách chọn lựa những phần tử từ một nhóm lớn hơn mà không phân biệt thứ tự. Hoặc tổ hợp chập k của n phần tử chính là một tập con của tập hợp mẹ S chứa n phần tử. Phần tử con này gồm k phần tử riêng biệt thuộc S và không sắp xếp theo đúng thứ tự. Số tổ hợp chập k của n phần tử bằng hệ số nhị thức. Công thức tổ hợp là:  Từ công thức trên ta có thể khai triển hệ giai thừa là: Trong đó: k ≤ n, và kết quả = 0 khi và chỉ khi k > n. Tập hợp tất cả những tổ hợp k của tập hợp s được ký hiệu là (S/k) Ví dụ: Có 10 quyển vở ngữ văn khác nhau. Hãy chọn ra 4 quyển, hỏi có bao nhiêu cách chọn. Lời giải Mỗi cách chọn ra 4 quyển trong 10 quyển vở ngữ văn là một tổ hợp chập 4 của 10. Vậy ta có: Đáp số: Có 210 cách chọn. Công thức chỉnh hợpChỉnh hợp là cách chọn lựa các phần tử từ một nhóm lớn hơn và có phân biệt theo thứ tự sắp xếp, trái ngược so với tổ hợp là không phân biệt theo thứ tự sắp xếp. Theo định nghĩa, chỉnh hợp chập k của n phần tử chính là một tập con của tập hợp mẹ S chứa n phần tử, tập con gồm k phần tử riêng thuộc S, có sắp xếp theo thứ tự. Công thức chỉnh hợp là: Ví dụ: Sắp xếp 5 người vào một lớp học có 7 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách xếp? Lời giải Mỗi cách chọn ra 5 người ngồi vào lớp học, để sắp sắp xếp 5 người vào đó và có hoán vị là một chỉnh hợp chập 5 của 7 ta có: Đáp số: Có tổng là 2520 cách sắp xếp khác nhau. Công thức hoán vịHoán vị là một song ánh từ một tập hợp hữu hạn X vào chính nó. Hoán vị diễn tả ý tưởng rằng các đối tượng phân biệt có thể được sắp xếp theo thứ tự khác nhau. Theo định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Công thức hoán vị là:
Ví dụ: Sắp xếp 5 người vào một lớp học có 5 ghế. Hỏi có nhiêu cách? Lời giải Mỗi cách đổi chỗ 1 trong 5 người trong lớp học là 1 hoán vị ta có: P5 = 5! = 120 cách Đáp số: Có tổng 120 cách Công thức xác xuấtXác xuất chính là một số trong khoảng từ 0 đến 1. Trong đó, nói cách khác 0 biểu thị sự bất khả thi của sự kiện và 1 biểu thị của sự chắc chắn. Xác xuất càng cao thì khả năng xảy ra càng cao. Công thức xác xuất là: Ví dụ: Tung đồng xu công bằng, không thiên vị. Bởi vì đồng xu công bằng nên cả 2 có kết quả sắp và ngửa nên có thể xảy ra ra trường hợp như nhau, xác xuất của sấp bằng xác xuất của ngửa. Vì không có kết quả nào khác có thể xảy ra, xác xuất xảy ra sấp hoặc ngửa là ½. Công thức nhị thức NewtonNhị thức newton là định lý toán học về việc khai triển hàm, mũ và tổng. Cụ thể là việc khai triển một nhị thức bậc n thành một đa thức n + 1 số hạng Công thức nhị thức newton là: Ví dụ: Tìm số hạng chứa x6 của đa thức P(x) = 25x6 + x3(1 + x)4 Lời giải Theo công thức newton ta có:
→ Số hạng chưa x6 trong việc khai triển của P(x) là: 25x6 + 4x6 = 29x6 Trên đây là toàn bộ kiến thức, công thức tổ hợp, chỉnh hợp… Các em nhớ phải chăm chỉ làm bài tập để nhớ công thức được lâu hơn nhé. Ngoài ra, nếu trong khi học có khó khăn không giải đáp được hãy để lại bình luận bên dưới chúng tôi sẽ giúp các em giải đáp những thắc mắc đó. Có thể bạn quan tâm:
Bộ công thức Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp đầy đủ nhất trong Toán học Hoán vị - Tổ hợp - Chỉnh hợp là một chuyên đề tưởng khá thú vị, hơn nữa nó cần sự tinh tế nhất định trong cách xử lý bài toán. Các phần công thức và bài toán có lời giải dưới đây chúng tôi xin được gửi tặng các bạn đang yếu phần này và có nhu cầu học bổ trợ để nâng cao kiến thức chuyên đề Tổ hợp xác suất. Các bài tập trong tài liệu được phân dạng rất rõ ràng nên các em dễ dàng tiếp cận và học nhanh. Hi vọng mọi người đều giỏi lên sau khi đọc xong chuyên đề này nhé! I. Định nghĩa 1. Hoán vị là gì? Trong toán học, đặc biệt là trong đại số trừu tượng và các lĩnh vực có liên quan, một hoán vị là một song ánh từ một tập hợp hữu hạn X vào chính nó. Trong lý thuyết tổ hợp, khái niệm hoán vị cũng mang một ý nghĩa truyền thống mà nay ít còn được dùng, đó là mô tả một bộ có thứ tự không lặp Khái niệm hoán vị diễn tả ý tưởng rằng những đối tượng phân biệt có thể được sắp xếp theo những thứ tự khác nhau và được định nghĩa như sau: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Ví dụ: Với tập hợp gồm các số từ một đến sáu, mỗi cách sắp thứ tự sẽ tạo thành một dãy các số không lặp lại. Một số các hoán vị như thế là: "1, 2, 3, 4, 5, 6", "3, 4, 6, 1, 2, 5", "2, 1, 4, 6, 5, 3", v..v. Một số hoán vị đặc biệt:
2. Chỉnh hợp là gì? Trong toán học, chỉnh hợp là cách chọn những phần tử từ một nhóm lớn hơn và có phân biệt thứ tự, trái với tổ hợp là không phân biệt thứ tự. Theo định nghĩa, chỉnh hợp chập k của n phần tử là một tập con của tập hợp mẹ S chứa n phần tử, tập con gồm k phần tử riêng biệt thuộc S và có sắp thứ tự. Số chỉnh hợp chập K của một tập S được tính theo công thức sau: \({\displaystyle A(n,k)=A_{n}^{k}={\dfrac {n!}{(n-k)!}}}\) Ví dụ với tập hợp E = {a, b, c, d}. Chỉnh hợp chập 3 của 4 phần tử trong E là: \({\displaystyle A_{4}^{3}=24.}\) 3. Tổ hợp là gì? Tổ hợp là cách chọn những phần tử từ một nhóm lớn hơn mà không phân biệt thứ tự. Trong những trường hợp nhỏ hơn có thể đếm được số tổ hợp. Ví dụ cho ba loại quả, một quả táo, một quả cam và một quả lê, có ba cách kết hợp hai loại quả từ tập hợp này: một quả táo và một quả lê; một quả táo và một quả cam; một quả lê và một quả cam. Mới nhất: Dạng bài hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp - nắm vững lý thuyết về tổ hợp 4. Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp, hoán vị
II. Công thức chỉnh hợp 1. Chỉnh hợp không lặp: Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A ( \(1\le k\le n\)) theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: \(A^k_n=n.(n-1)(n-2)...(n-k+1)=\dfrac{n!}{(n-k)!}\) Khi k = n thì \(A^n_n=p_n=n!\) 2. Chỉnh hợp lặp Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi dãy gồm k phần tử của A, trong đó mỗi phần tử có thể được lặp lại nhiều lần, được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử tập A. Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử: \(A^k_n=n^k\) III. Công thức tổ hợp 1. Tổ hợp không lặp Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k ( \(1\le k\le n\)) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của tập A. Tổ hợp chập k của n phần tử là số những nhóm gồm k phần tử được lấy ra từ n phần tử mà giữa chúng chỉ khác nhau về thành phần cấu tạo chứ không quan trọng về thứ tự sắp xếp các phần tử. Các nhóm được coi là giống nhau nếu chúng có chung thành phần cấu tạo. VD: {1;2;3} và {2;1;3} là giống nhau. Công thức tính tổ hợp chập k của n: \({\displaystyle {\binom {n}{k}}={\dfrac {n(n-1)\ldots (n-k+1)}{k(k-1)\dots 1}}}\) Công thức trên có thể viết dưới dạng giai thừa \({\displaystyle {\dfrac {n!}{k!(n-k)!}}}\), trong đó \({\displaystyle k\leq n}\), và kết quả là 0 khi \( {\displaystyle k>n}\). Tập hợp tất cả các tổ chập k của tập S thường được ký hiệu là \({\displaystyle {\binom {S}{k}}\,}\) Cách tính tổ hợp \(C^k_n={\displaystyle {\dfrac {n!}{k!(n-k)!}}}\) Tính chất:
2. Tổ hợp lặp: Cho tập \(A = {a_1,a_2,...,a_n}\)và số tự nhiên k bất kỳ. Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một tổ hợp gồm k phần tử, trong đó mỗi phần tử là một trong n phần tử của A. Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử: \(C^k_n=C^k_{n+k-1}= C^{m-1}_{n+k-1}\) Quan tâm: Dạng bài hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp - lý thuyết quy tắc nhân III. Bài tập về quy tắc đếm có đáp án Bài 1: Đề thi cuối khó môn toán khối 12 ở một trường trung học gồm hai loại đề tự luận và trắc nghiệm. Một học sinh dự thi phải thực hiện hai đề thi gồm 1 tự luận và một trắc nghiệm, trong đó tự luận có 12 đề, trắc nghiệm có 15 đề.Hỏi mỗi học sinh có bao nhiêu cách chọn đề thi? Lời giải: Ta có: Số cách chọ 1 đề tự luận là 12 cách. Số cách chọn 1 đề trắc nghiệm là 15 cách Xem ngay: Bài 2: Cho tập hợp A = {1,2,3,5,7,9}a. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau. b. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm có 5 chữ số đôi một khác nhau. Lời giải: a. Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số là: \(n = \overline{a_1a_2a_3a_4}\). Để có số n ta phải chọn đồng thời \(a_1\), \(a_2\) , \(a_3\) , \(a_4\) trong đó:
Vậy có 6.5.4.3 = 360 số n cần tìm. b. Gọi số tự chẵn có 5 chữ số cần tìm là \(n = \overline{a_1a_2a_3a_4a_5}\) trong đó:
Vậy số n cần tìm là:1.2.3.4.5 = 120 số. Bài 3: Cho tập A= {0,1,2,3,4,5,6}Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số 2 và 5 không đứng cạnh nhau Lời giải: 1. Tìm Số có 5 chữ số khác nhau đôi một tùy ý là \(n = \overline{a_1a_2a_3a_4a_5}\)
Vậycó 6.6.5.4.3 = 2160 số Trường hợp 1: \(a_1\)= a
Vậy có 5.4.3 = 60 số
Vậy có 4.3.4.3 = 204 mà 2,5 có thể đổi chỗ cho nhau nên ta đc 204.2 = 408 số. Trên đây là toàn bộ những thông tin cần thiết chúng tôi đã tổng hợp được về topic công thức Hoán vị - Tổ hợp - Chỉnh hợp. Nếu có thắc mắc hay tài liệu tham khảo thú vị vui lòng để lại dưới mục bình luận cũng như chia sẻ thêm cho các bạn đọc cùng biết. Chúng tôi tin chắc rằng, những nguồn thông tin hữu ích này sẽ giúp ích bạn trong việc học tập rất nhiều cũng như đem lại điểm số cao. Chúc các bạn may mắn!
|
