Đề bài
Cho đường tròn \[[O]\], dây \[AB\] khác đường kính. Qua \[O\] kẻ đường vuông góc với \[AB\], cắt tiếp tuyến tại \[A\] của đường tròn ở điểm \[C\].
a] Chứng minh rằng \[CB\] là tiếp tuyến của đường tròn.
b] Cho bán kính của đường tròn bằng \[15cm,\ AB=24cm\]. Tính độ dài \[OC.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Vận dụng kiến thức : Nếu đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng là một tiếp tuyến của đường tròn.
b] Vận dụng định lí Đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây đó. Tìm \[AH.\]
- Tìm \[OH\]
- Áp dụng hệ thức lượng giữa cạnh góc vuông và đường cao để tìm \[OC.\]
Lời giải chi tiết
a] Gọi \[H\] là giao điểm của \[OC\] và \[AB.\]
Tam giác \[AOB\] cân tại \[O\] có \[OH\] là đường cao nên cũng là tia phân giác của góc \[AOB,\] do đó \[\widehat {AOH} = \widehat {BOH}.\]
Xét tam giác \[OBC\] và tam giác \[OAC,\] ta có:
\[OA = OB\] [đều bằng bán kính của đường tròn]
\[OC\] là cạnh chung
\[\widehat {AOH} = \widehat {BOH}\] [chứng minh trên]
Do đó, \[\Delta OBC = \Delta OAC\left[ {c.g.c} \right]\]
Suy ra \[\widehat {OBC} = \widehat {OAC}.\]
Ta có \[\widehat {OAC} = {90^o}\] [vì \[AC\] là tiếp tuyến của \[\left[ O \right]\]] nên \[\widehat {OBC} = {90^o}.\]
Đường thẳng \[CB\] đi qua một điểm thuộc đường tròn và vuông góc với bán kính tại điểm đó nên \[CB\] là tiếp tuyến của \[\left[ O \right]\]
b] Để tính \[OC,\] ta cần tính \[OH.\] Do đó trước tiên ta tính \[AH:\]
Ta có \[OH \bot AB\] nên \[AH = HB = \dfrac{1}{2}AB = 24:2 = 12\left[ {cm} \right].\]
Tính \[OH:\] Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \[AHO,\] ta có \[O{H^2} = O{A^2} - A{H^2} = {15^2} - {12^2} = 81\] nên \[OH = 9cm.\]
Tam giác \[AOC\] vuông tại \[A\] với đường cao \[AH\] nên \[O{A^2} = OC.OH\] tức là \[{15^2} = OC.9\]
Do đó \[OC = \dfrac{{225}}{9} = 25\left[ {cm} \right].\]