Đề bài
Cho hình vuông \[ABCD\], điểm \[M\] nằm trên đoạn thẳng \[AC\] sao cho \[AM = \dfrac{{AC}}{4}\].Gọi \[N\] là trung điểm của đoạn thẳng \[DC\]. Chứng minh rằng \[BMN\] là tam giác vuông cân.
Lời giải chi tiết
Đặt \[\overrightarrow {AD} = \overrightarrow a , \overrightarrow {AB} = \overrightarrow b .\] Khi đó, ta có
\[\overrightarrow {AM} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AC} = \dfrac{1}{4}[\overrightarrow a + \overrightarrow b ],\]
\[ \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN} = \overrightarrow a + \dfrac{{\overrightarrow b }}{2}.\]
Từ đó suy ra
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AM}\\ = \overrightarrow b - \dfrac{1}{4}[\overrightarrow a + \overrightarrow b ]\\ = \dfrac{1}{4}[ - \overrightarrow a + 3\overrightarrow b ].\\\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM}\\ = \overrightarrow a + \dfrac{{\overrightarrow b }}{2} - \dfrac{1}{4}[\overrightarrow a + \overrightarrow b ] \\= \dfrac{1}{4}[3\overrightarrow a + \overrightarrow b ].\end{array}\]
Ta có
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MN}\\ = \dfrac{1}{{16}}[ - \overrightarrow a + 3\overrightarrow b ][3\overrightarrow a + \overrightarrow b ]\\= \dfrac{1}{{16}}\left[ { - 3\overrightarrow a + 3\overrightarrow b + 8\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right] = 0.\\{\overrightarrow {MB} ^2} = \dfrac{1}{{16}}[ - \overrightarrow a + 3\overrightarrow b ] \\= \dfrac{1}{{16}}[{\overrightarrow a ^2} + 9{\overrightarrow b ^2} - 6\overrightarrow a .\overrightarrow b ] = \dfrac{5}{8}{\overrightarrow a ^2}.\\{\overrightarrow {MN} ^2} = \dfrac{1}{{16}}{\left[ {3\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right]^2}\\ = \dfrac{1}{{16}}\left[ {9{{\overrightarrow a }^2} + {{\overrightarrow b }^2} + 6\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right]\\ = \dfrac{5}{8}{\overrightarrow a ^2}.\end{array}\]
Vậy \[MB \bot MN\] và \[MB=MN\], tam giác \[BMN\] vuông cân tại đỉnh \[M.\]