Đề bài - bài 4.26 trang 166 sbt đại số và giải tích 11

Đề bài

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( {a; + \infty } \right)\)

Chứng minh rằng nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - \infty \)thì luôn tồn tại ít nhất một sốcthuộc \(\left( {a; + \infty } \right)\)sao cho \(f\left( c \right) < 0\)

Lời giải chi tiết

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - \infty \)nên với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì, \({x_n} > a\)và \({x_n} \to + \infty \)ta luôn có \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( x \right) = - \infty \)

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ { - f\left( {{x_n}} \right)} \right] = + \infty \)

Theo định nghĩasuy ra \(- f\left( {{x_n}} \right)\)có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nếu số dương này là 2 thì \(- f\left( {{x_n}} \right) > 2\)kể từ một số hạng nàođó trởđi.

Nói cách khác, luôn tồn tại ít nhất một số \({x_k} \in \left( {a; + \infty } \right)\)sao cho \(- f\left( {{x_k}} \right) > 2\)hay \(f\left( {{x_k}} \right) < - 2 < 0\)

Đặt \(c = {x_k}\)ta có \(f\left( c \right) < 0\)