Đề bài
Chứng minh rằng phương trình \[x^5 3x^4+ 5x 2 = 0\] có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng \[[-2, 5]\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Hàm số\[y = f\left[ x \right]\] liên tục trên\[\left[ {a;b} \right]\] và có\[f\left[ a \right].f\left[ b \right] < 0\]. Khi đó phương trình\[f\left[ x \right] = 0\] có ít nhất 1 nghiệm\[{x_0} \in \left[ {a;b} \right]\].
- Xét hàm số \[f[x]=x^5 3x^4+ 5x 2\]
- Thay một số giá trị của \[x\] [trong khoảng \[[-2;5]\] vào \[f[x]\] và tính giá trị.
- Sử dụng lý thuyết trên đánh giá số nghiệm ít nhất của phương trìnhtrong khoảng \[[-2;5]\].
Lời giải chi tiết
Đặt \[f[x] = x^5 3x^4+ 5x 2\], ta có:
+] Hàm số \[f[x]\] là hàm số đa thức liên tục trên \[\mathbb R\].
\[\eqalign{
& \left\{ \matrix{
f[0] = - 2 < 0 \hfill \cr
f[1] = 1 - 3 + 5 - 2 = 1 > 0 \hfill \cr
f[2] = {2^5} - {3.2^4} + 5.2 - 2 = - 8 < 0 \hfill \cr
f[3] = {3^5} - {3.3^4} + 5.3 - 2 = 13 > 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
f[0].f[1] < 0\,\,\,\,[1] \hfill \cr
f[1].f[2] < 0\,\,\,\,[2] \hfill \cr
f[2].f[3] < 0\,\,\,\,[3] \hfill \cr} \right. \cr} \]
Do đó \[f[x]\] có ít nhất một nghiệm trên khoảng \[[0, 1]\], một nghiệm trên khoảng \[[1, 2]\], một nghiệm trên khoảng \[[2, 3]\].
Mà các khoảng \[\left[ {0;1} \right]\], \[ \left[ {1;2} \right]\] và \[ \left[ {2;3} \right]\] đôi một không có điểm chung.
Vậy phương trình \[x^5 3x^4+ 5x 2=0\]có ít nhất ba nghiệm trên khoảng \[[-2, 5]\] [đpcm]