Định lí vi ét cho phương trình bậc 2
|
Định lý Vi-et là định lý quan trọng với nội dung Toán mà chúng ta tiếp nhận. Nhờ định lý Viet bạn có thể giải được nhiều bài toán với những cách hay và nhanh chóng Hãy theo dõi bài viết dưới đây của chúng tôi để có thể hiểu hơn về chủ đề này nhé ! Tham khảo bài viết khác: – Định lý Viet là công thức thể hiện mối quan hệ giữa các nghiệm của phương trình đa thức trong trường số phức và các hệ số do nhà toán học Pháp François Viète tìm ra. Viète được phiên âm theo tiếng Việt là Vi-ét – Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax^2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) (*) có 2 nghiệm x1 và x2. Khi đó 2 nghiệm tìm được thỏa mãn hệ thức sau: – Hệ quả: Dựa vào định lý Viét khi phương trình bậc 2 một ẩn có nghiệm, ta có thể nhẩm nghiệm trực tiếp của phương trình trong một số trường hợp đặc biệt:
2. Định lý Vi-et đảoGiả sử hai số thực x1 và x2 thỏa mãn hệ thức:
Chú ý: điều kiện S^2 – 4P ≥ 0 là bắt buộc. Đây là điều kiện để ∆(1) ≥ 0 hay đây là điều kiện để phương trình bậc 2 tồn tại nghiệm. Định lý Vi- et bậc 3Định lý Vi- et bậc 4– Nếu phương trình bậc 4: ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 ( với a ≠ 0 ) có 4 nghiệm X1, X2, X3 thì: – Định lý Vi-et được áp dụng trong rất nhiều lĩnh vực như vật lý – dùng để giải các bài toán công suất mạch xoay chiều – hay hoá học, địa chất…. Vì thế Định lý Vi-et được dùng cho cả Toán – Lý – Hóa Với nội dung bài viết này, chúng tôi hy vọng bạn sẽ hiểu hơn về định lý Viet cũng như xử lý được những bài toán, những vấn đề nan giải của mình nhé ! Xem thêm: Bất đẳng thức Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình sau a) (3–√ – 1)x2 – 4x – (3–√ – 5 ) = 0 b) (m + 4)x2 – (2m + 3)x + m – 1 = 0 với m ≠ 1 Lời giải a) (3–√ – 1)x2 – 4x – (3–√ – 5 ) = 0 Ta thấy: a + b + c = (3–√ – 1) – 4 – ((3–√ – 5) = 0 => PT có 2 nghiệm là x1 = 1 và x2 = –(3√–5)3√–1 b) (m + 4)x2 – (2m + 3)x + m – 1 = 0 với m ≠ 1 Ta thấy a – b + c = (m + 3) – (2m + 3) + (m – 1) = 0 => PT có 2 nghiệm là x1 = – 1 và x2 = –(m–1)m+4=1–mm+4 Nhận xét: Qua ví dụ thứ 2, bạn đồng ý với mình rằng phương pháp này giúp giải pt đặc biệt trở nên siêu nhanh! Dạng 2. Tính giá trị của biểu thức giữa các nghiệm Nếu ax2 + bx + c = 0 ( với a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì ta có thể biểu thị các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm theo S = x1 + x2 và P = x1.x2. Ví dụ: Chú ý: Khi tính giá trị của một biểu thức giữa các nghiệm thông thường ta biến đổi sao cho trong biểu thức đó xuất hiện tổng và tích các nghiệm rồi áp dụng định lý Vi-ét để giải. Dạng 3. Tìm hai số khi biết tổng và tích Dựa vào định lý Viet đảo, ta có: Ví dụ: Tính các kích thước của hình chữ nhật ABCD. Biết diện tích và chu vi của nó theo thứ tự là 2a2 và 6a . Lời giải Gọi các kích thước của hình chữ nhật là x, y với x, y > 0 Dạng 4. Phân tích tam thức bâc hai thành nhân tử Giả sử ax2 + bx + c = 0 ( với a ≠ 0) có Δ ≥ 0 Ví dụ: Phân tích 3x2 + 5x – 8 thành nhân tử Giải Nhận xét: 3x2 + 5x – 8 = 0 có a + b + c = 3 + 5 – 8 = 0 => có 2 nghiệm là x1 = 1 và x2 = ca=–83=–83 Khi này tam thức 3x2 + 5x – 8 = (x – 1)(x + 83) Dạng 5. Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc 2 có một nghiệm x = x1 cho trước. Tìm nghiệm thứ hai Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x = x1 cho trước ta có thể làm theo 1 trong 2 cách sau Cách 1:
Cách 2:
Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phương trình đã cho mà có Δ < 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phương trình có nghiệm x1 cho trước. Để tìm nghiệm thứ hai ta có thể làm như sau
Bài viết trên đây, chúng tôi đã giới thiệu đến quý thầy cô và các bạn định lí Vi-ét cho phương trình bậc 2 và cách ứng dụng cực hay. Hi vọng, bài viết đã cung cấp thêm cho bạn thêm nhiều nguồn tư liệu hữu ích. Xem thêm định lí Sin trong tam giác nữa bạn nhé ! |
