Đồ thị hàm số 2 1 1 x y x có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

(1)

Phần 1: Biết đồ thị hàm số y f x=

( )

Dạng 1: Biết đồ thị của hàm số y f x=

( )

, tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị
hàm số y f x=

( )

, trong bài tốn khơng chứa tham số.

Câu 1. Cho hàm số y f x=

( )

có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 4 . B. 2 . C. 1. D. 3.

Lời giảiChọn A

Từ đồ thị hàm số ta thấy:

( )

lim 1

x→−∞ f x = − nên đường thẳng y = − là một đường tiệm cận ngang. 1

( )

lim 1

x→+∞ f x = nên đường thẳng y = là một đường tiệm cận ngang. 1

Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y = ± . 1Tương tự

( )

lim

x_→− + f x = +∞ và _xlim_→−₂− f x

( )

= −∞ nên đường thẳng x = −2 là đường tiệm cận

đứng.

( )

lim

x_→ − f x = +∞ và và _xlim_→₂+ f x

( )

= −∞ nên đường thẳng x = −2 là đường tiệm cận

đứng.

(2)

Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận.

Câu 1. Cho hàm số y f x=

( )

có đồ thị như hình vẽ. Phương trình đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là

A. Tiệm cận đứng x =1, tiệm cận ngang y = . 2

B. Tiệm cận đứng x = −1, tiệm cận ngang y = . 2

C. Tiệm cận đứng x = , tiệm cận ngang1 y = −2_.

D. Tiệm cận đứng x = −1, tiệm cận ngang y = − . 2

Lời giải Chọn B

Dựa vào đồ thị ta có

( )

1lim

x_{→ −} − f x = +∞ và _x₁lim _{→ −}_{( )}+ f x

( )

= +∞ nên đường thẳng x = − là tiệm cận 1

đứng của đồ thị hàm số y f x=

( )

lim 2

x→−∞ f x = và xlim 2 → ∞+ f x

( )

= nên đường thẳng y = là tiệm cận ngang của đồ 2

thị hàm số y f x=

( )

(3)

A. Tiệm cận đứng x = −2, tiệm cận ngang y = . 1

B. Tiệm cận đứng x =2, tiệm cận ngang y = − . 1

C. Tiệm cận đứng x =1, tiệm cận ngangy = −2_.

D. Tiệm cận đứng x = −1, tiệm cận ngang y = . 2

Lời giải Chọn A

Dựa vào đồ thị ta có

( )2

( )

lim

x→ − − f x = +∞ và x→ −lim ( )2+ f x

( )

= −∞ nên đường thẳng x = −2 là tiệm cận đứng

của đồ thị hàm số y f x=

( )

.
+) lim 1

( )

x→−∞ f x = và lim 1x→+∞ f x

( )

= nên đường thẳng y = là tiệm cận ngang đứng 1

của đồ thị hàm số y f x=

( )

Câu 3. Cho hàm số y f x=

( )

có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

(4)

A. 1. B. 2 . C. 3. D. 0.

Lời giải Chọn B

Từ đồ thị của hàm số y f x=

( )

ta có lim

( )

x→+∞ f x = nên đường thẳng y = là 1

đường tiệm cận ngang.
Tương tự lim

( )

x→−∞ f x = − nên đường thẳng y = − là đường tiệm cận ngang. 1

Vậy đồ thị hàm số y f x=

( )

có 2 đường tiệm cận ngang.

Câu 4. Cho hàm số y f x=

( )

. Có đồ thị như hình vẽ.

Đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 .

Lời giải

Chọn D

Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị của hàm số ta có
( )1

( )

lim

x_{→ −} + f x = +∞ và _x_{→ −}lim_{( )}₁− f x

( )

= −∞ nên đường thẳng x = − là đường tiệm cận 1

đứng.

( )

lim

x_→+ f x = +∞ và lim_x_→₁− f x

( )

= −∞ nên đường thẳng x =1 là đường tiệm cận đứng.

( )

lim

x_→ + f x = +∞ và và _xlim_→₂− f x

( )

= −∞ nên đường thẳng x = − là đường tiệm cận 2

đứng.

Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận đứng là x = ±1 và x =2. Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận.

( )

lim 1

x→−∞ f x = và xlim→+∞ f x

( )

=1 nên đường thẳng y = là một đường tiệm cận 1

(5)

Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là y = . 1

Câu 5. Cho hàm số y f x=

( )

có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x=

( )

_là

A. 4 . B. 3. C. 2 . D. 6 .

Lời giải Chọn A

Dựa vào đồ thị của hàm số y f x=

( )

_{ta có:}

( )

lim

x→−∞ f x = − nên đường thẳng

y = − là một đường tiệm cận ngang của đồ thị

hàm số y f x=

( )

1lim

x→+∞ f x = nên đường thẳng

y = là một đường tiệm cận ngang của đồ thị
hàm số y f x=

( )

⇒ Đồ thị hàm số y f x=

( )

có hai đường tiệm cận ngang là 12y = ± .

( )

limx

f x

−

 → −_ _ 

= −∞ và

( )

limx

f x

 → −_ _ 

= +∞ nên đường thẳng 12

x = − là đường tiệm

(6)

( )

limx

f x

−

 →  

= −∞ và

( )

limx

f x

 →  

= +∞ nên đường thẳng 12

x = là đường tiệm cận

đứng của đồ thị hàm số y f x=

( )

⇒ Đồ thị hàm số y f x=

( )

có hai đường tiệm cận đứng là 12

x = ±

Vậy đồ thị hàm số y f x=

( )

có tất cả 4 đường tiệm cận.

Câu 6. Cho hàm số y f x=

( )

có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x=

( )

là:

A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.

Lời giải Chọn B

Dựa vào đồ thị của hàm số y f x=

( )

_{ta có:}

( )

lim 1

x→−∞ f x = nên đường thẳng y =1 là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm

số y f x=

( )

lim 3

x→+∞ f x = nên đường thẳng y =3 là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm

(7)

( )

lim

x_→ − f x = +∞ và _xlim_→₀+ f x

( )

= +∞ suy ra đường thẳng x =0 là tiệm cận đứng của

đồ thị hàm số y f x=

( )

Vậy đồ thị hàm số y f x=

( )

có tất cả 3 đường tiệm cận.

Câu 7. Cho đồ thị hàm số y f x=

( )

như hình vẽ dưới đây:

Tổng số tiệm cận của đồ thị hàm số là:

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4

Lời giải Chọn B

Dựa vào đồ thị hàm số ta có

lim 1

x→±∞y= nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang y = và 1 limx_→1±y= +∞ nên đồ thị

hàm số có 1 tiệm cận đứng x =1. Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận.

Câu 8. Cho đồ thị hàm số y f x=

( )

có hình vẽ dưới đây.

Tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số là:

(8)

Lời giải

Chọn C

Ta có: lim

( )

x→±∞ f x = nên đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang là y = 2

Lại thấy:

( )

lim

x_→−+ f x = +∞ và _xlim_→₁− f x

( )

= +∞ nên đồ thị hàm số có 2 đường tiệm

cận ngang là x= −1;x=1

Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận

Câu 9. Cho hàm số y f x=

( )

có đồ thị như hình vẽ.

Gọi a là số đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Giá trị của biểu thức _a2₊_a_bằng

A. 6. B. 12. C. 20. D. 30.

Lời giải Chọn B

Dựa vào đồ thị ta có

( )

lim lim

x→−∞ f x =x→+∞ f x = . Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là

y = .

( )

limx

f x

→

= +∞_,

( )

limx

f x

−

→

= −∞ Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là 12

x =

( )

limx

f x

→−

= −∞,

( )

limx

f x

−

→−

= +∞suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là

(9)

Đồ thị hàm số có 3 tiệm cận ⇒ =a 3. Vậy _a2_{+ =}_a ₁₂

Câu 10. Cho hàm số bậc ba y f x=

( )

có đồ thị là đường cong hình bên dưới.

-12

O 1

Đồ thị hàm số

( )

(

)

(

)

( )

1 1

x x

g x

f x f x

− −

− có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải Chọn D

Ta xét mẫu số:

( )

2 ₂ ₀ 0 1

2 2

f x

f x f x

f x

=

− = ⇔ 

 .

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy:

y=2

-12

(10)

+) Phương trình

( )

1 có nghiệm x a1= < −1 (nghiệm đơn) và x = (nghiệm kép) 2 1

( ) (

)(

)

f x x a x

⇒ = − − .

+) Phương trình

( )

2 có nghiệm x b₃ = ∈

(

a; 1−

)

, x = và ₄ 0 x₅ = >c 1

( )

(

) (

)

f x x b x x c

⇒ − = − − .

Do đó

( )

(

_{( ) ( )}

)

(

)

1 1

x x

g x

f x f x

− −

−

 

 _

(

) (

)

(

)(

) (

)(

) (

)

1 1 1

1 .

x x x

x a x b x x c

x a x x b x x c

− + +

= =

− − −

− − − − .

⇒ đồ thị hàm số y g x=

( )

có 4 đường tiệm cận đứng.

Câu 11. Cho hàm số bậc ba y f x=

( )

có đồ thị như hình vẽ bên.

Đồ thị hàm

(

)

( )

2 2

4 3

x x x x

x f x f x

+ + +

 − 

  có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A.2 . B. 3. C. 4 . D. 6 .

(11)

Ta thấy phương trình bậc ba f x = có 3 nghiệm phân biệt là

(

)

x c

₁

= < −

3

, 2

x b

=

. với 3− < < −b 1 và

x = −

₃

1

Và phương trình bậc ba

f x =

( )

0

có nghiệm kép

x = −

3

và nghiệm đơn

x a

=

với 1− < <a 0.
Do lim

( )

x→+∞ f x = −∞ và xlim→−∞ f x

( )

= +∞ nên khơng mất tính tổng qt, ta giả sử

( )

(

)

(

)

0

3

0 f x

= ⇔ − +

x

x a

− =

và

f x

( )

= ⇔ − −

2 (

x c x b x

)

(

−

)

(

+ =

1 0

)

Ta có:

(

)

( )

(

)(

( )

) (

( )

)

2 2

4 3 1 3 1

. . 2

x x x x x x x x

x f x f x

+ + + + + +

= =

−

 −  _ _

  .

Khi đó:

(

)(

)

( )

0 0

1 3 1

lim lim

. . 2

x x

x x x

x f x f x

+ +→ →+ + += = +∞−   .

(

) (

)

(

)(

)

( )

3 31 1lim lim

3 . 2

x x

x x x

x x x a f x

+ +→− →−+ += = −∞− + − _ − _ .

(

)(

) (

)

( )(

1 3

)(

)

lim lim

. 1

x c x c

x x x x

x f x x c x b x

+ +→ →+ + += = +∞− − − + .

(

)(

) (

)

( )(

)(

)

1 3 1

lim lim

. 1

x b x b

x x x x

x f x x c x b x

+ +→ →+ + += = +∞− − − + .

(

) (

)

( )(

)(

)

1 13 1

lim lim 0

x x

x x x

x f x x c x b

− −→− →−+ += =− − − . 1lim

x_→−+ y không tồn tại.

Vậy đồ thị hàm số

(

)

( )

2 2

4 32

x x x x

x f x f x

+ + +

 − 

  có 4 đường tiệm cận đứng là x =0; 3

x = − ; x c= ; x b= .

(12)

Câu 1. Cho hàm số y f x=

( )

có đồ thị như hình vẽ. Tìm m để đồ thị hàm số

(

)

y f x m= − có tiệm cận đứng là trục Oy ?

A. 0 . B. −1. C. 2 . D. 1.

Lời giải Chọn D

Đồ thị hàm số y f x=

( )

có tiệm cận đứng là đường thẳng x = −1.

Tịnh tiến theo véc tơ v=

(

m;0

)

_thì:

Đồ thị hàm số y f x=

( )

biến thành đồ thị hàm số y f x m=

(

−

)

Tiệm cận x = −1_{của đồ thị hàm số}y f x=

( )

_{biến thành tiệm cận}x_{= − + của}1 m

đồ thị hàm số y f x m=

(

−

)

Đồ thị hàm số y f x m=

(

−

)

có tiệm cận đứng là trục Oy⇔ − + = ⇔ =1 m 0 m 1

Câu 2. Cho hàm số y f x

( )

ax bx c

= =

(13)

A. 2 . B. 1. C. 3. D. −1.

Lời giải Chọn B

Điền kiện:

x c

ac b

≠ −

 − ≠

Hàm số y f x=

( )

có tiệm cận đứng: x= −c; tiệm cận ngang: y a=
Dựa vào đồ thị hàm số y f x=

( )

ta nhận xét được:

• 0

1 0

> − <

 ⇔ >m 1

• Khi x= ⇒ = −0 y 2 b 2

⇒ = − ⇒ = −b 2c

• Tiệm cận đứng: x= −1 m; tiệm cận ngang: y m=Suy ra: c 1 m

a m

− = −

 =

c ma m

= −

⇔  ₌

 ⇒ = − = −b 2c 2m+2 (thỏa điều kiện) Nên: P a b c m= + + = −2m+ + − =2 m 1 1

Câu 3. Cho hàm số y

(

2m 1

)

x 3x m

− −

− có đồ thị như hình dưới đây

Có bao nhiêu giá trị ngun của tham số m để tâm đối xứng của đồ thị hàm số nằm trong đường tròn tâm gốc tọa độ O bán kính bằng 2019 ?

A. 40 . B.0 . C. 1. D.

38.

(14)

Từ dạng đồ thị của hàm số ta suy ra

(

)

(

)

(

)

2 1 3 ₀ ₂ _{1 3 0} ₁ 3

m m

y m m m

x m

− − +

′ = > ⇒ − − + > ⇔ − < <

− .

Khi đó dễ thấy đồ thị có hai đường tiệm cận là x m= , y=2m−1 .
Vậy tâm đối xứng là điểm I m m −

(

;2 1

)

Từ đồ thị và giả thiết kèm theo ta có :

2 1 0

02019

y m

x mOI

 = − >

= >

 _<



(

)

120

19 20

m m

 >⇔_ >

− ≤ ≤ ∈



 

Kết hợp với điều kiện trên ta suy ra m = . 1

Câu 4. Cho hàm số

( )

nx 1

x m
y f x= = +

+ ;

(

mn ≠ xác định trên 1

)

R − , liên tục trên từng \ 1

{ }

khoảng xác định và có đồ thị như hình vẽ bên:

Tính tổng m n+ ?

A. m n+ =1. B. m n+ = −1. C. m n+ =3. D. m n+ = −3.

Lời giải Chọn C

Đồ thị hàm số

( )

nx 1

x my f x= = +

+ ;

(

mn ≠ có hai đường tiệm cận 1

)

x= − = −m 1;

2 1

y n= = ⇒ =m ; n_{= ⇒ + =}2 m n 3

Dạng 3: Biết đồ thị của hàm số y f x=

( )

, tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị
hàm số y g x=

( )

, trong bài tốn khơng chứa tham số.

Câu 1. Cho hàm số bậc ba _{f x}

( )

₌_{ax bx cx d}3₊ 2 ₊ ₊

(

_{a b c d ∈ có đồ thị như hình vẽ}_{, , ,}

)

(15)

Hỏi đồ thị hàm số

( )

(

)

( )

3 2 1

x x x

g x

x f x f x

− + −

 − 

  có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A. 3. B. 4. C. 5. D.

Lời giải Chọn A

Xét phương trình:

( )

0 0

x f x f x f x

f x

 =

 − = ⇔_ =

 

 ₌



+) Từ điều kiện x≥ ⇒ =1 x 0 không là tiệm cận đứng.

+) Từ đồ thị ⇒ phương trình

( )

(

)

x a af x

= <

= ⇔ =



• x a= khơng là tiệm cận đứng.

• x = là nghiệm kép và tử số có một nghiệm 2 x= ⇒ =2 x 2 là một đường tiệm cận đứng.

+) Từ đồ thị ⇒ phương trình

( )

(

)

(

)

1 1 2

f x x b b

x c c =

= ⇔ _ = < < = >

• x =1 khơng là tiệm cận đứng (vì tử số có một nghiệm nghiệm x =1) • x b= , x c= là hai đường tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số g x

( )

có 3 đường tiệm cận đứng.

Câu 2. Cho hàm số bậc ba _{f x}

( )

₌_{ax bx cx d}3₊ 2 ₊ ₊

(

_{a b c d ∈}_{, , ,}

)

_{có đồ thị như hình vẽ}

(16)

Hỏi đồ thị hàm số

( )

₍

1₂

₎

4 3

g x

f x

− − có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?

A. 2. B. 3. C. 4. D.

Lời giải Chọn C

Từ đồ thị ta có _f

(

₄₋_x2

)

_{− =}_{3 0} _⇔ _f

(

₄₋_x2

)

₌₃ 22

4 2

4 4

 − = −⇔ 

− =



 = ±⇔ 



⇒ đồ thị hàm số g x có ba đường tiệm cận đứng.

( )

Lại có _lim

(

₄ 2

)

x→±∞ f −x = −∞ ⇒xlim→±∞g x

( )

=0 ⇒ =y 0 là đường tiệm cận ngang của

đồ thị.

Vậy đồ thị hàm số g x có bốn đường tiệm cận.

( )

(17)

Hỏi đồ thị hàm số

( )

(

₁

)

( )

xg x

x f x f x

 

+ _ − _ có bao nhiêu tiệm cận đứng ?

A. 3. B. 0 . C. 1. D. 2 .

Lời giải Chọn A

Hàm số xác định

( )

0 1

f x f x

≥⇔ 

− ≠

 .

Xét

(

_x₊₁

)

__{f x}2

( )

₋ _{f x}

( )

_₌₀

  2

_{( )}

f x f x

= −

⇔  ₋ ₌



( )

2 ₀

f x f x

⇔ − =

( )

f xf x

=

⇔ 

 .

* Với f x =

( )

Từ đồ thị hàm số ta thấy phương trình có 3 nghiệm phân biệt x3 <x2 < <0 x1.

Từ điều kiện

( )

1 thì phương trình f x =

( )

0 có 1 nghiệm x x= ₁.
* Với f

( )

1 1= :

Từ đồ thị hàm số ta thấy phương trình có 3 nghiệm phân biệt x₆ <x₅ = <0 x₄.
Từ điều kiện

( )

1 thì phương trình f x = có 2 nghiệm

( )

1 x x= 5 và x x= 4 và cả 2

nghiệm này đều khác x . ₁

Suy ra phương trình

(

_x₊₁

)

__{f x}2

( )

₋ _{f x}

( )

_₌₀

  có 3 nghiệm phân biệt.

Vậy đồ thị hàm số

( )

(

₁

)

( )

xg x

x f x f x

 

+ _ − _ có 3 tiệm cận đứng.

(18)

Hỏi đồ thị hàm số

( )

(

)

(

)

( )

2 1

3 3

x x x

g x

x f x f x

− −

 

− _ + _ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A. 5. B. 4 . C. 6 . D. 3.

Lời giải Chọn D

Điều kiện hàm số có nghĩa

(

)

( )

1 0

3 3 0

x f x f x

− ≥

 ₋ _ ₊ __≠

  



( )

(

)

( )

1 *

3 3 0

x f x f x

≤⇔ 

 

− + ≠

  



Xét phương trình

(

_x₋₃

)

__{f x}2

( )

₊₃_{f x}

( )

_₌₀

 

( )

xf xf x

 =

⇔_ =

 _{= −}



Từ đồ thị hàm số y f x=

( )

suy ra f x = có 3 nghiệm

( )

0 − < <1 x x1 2 < <1 x3

( )

f x = − có hai nghiệm x < và ₄ 1 x = ₅ 2

Kết hợp với điều kiện

( )

* phương trình

(

_x₋₃

)

__{f x}2

( )

₊₃_{f x}

( )

_₌₀

  có nghiệm

1, ,2 5

x x x .

Và x₁, x , ₂ x không là nghiệm của tử nên hàm số 5 g x có 3 đường tiệm cận

( )

đứng.

Câu 5. Cho hàm số bậc ba

( )

3 2

y f x= =ax bx cx d+ + + có đồ thị là đường cong như hình bên. Đồ thị hàm số

( )

(

)

( )

(

)

( )

2 2

4 3

x x x x

g x

x f x f x

+ + +

 ₋ 

 

có bao nhiêu

đường tiệm cận

A. 4 . B. 5. C. 6. D. 3.

(19)

Chọn B Điều kiện:

( )

_{( )}

2200 ₁00

2 0 ₂

x _x

x x

f x

f x f x _{f x}

 >

 ≠ _{ ≤ −} _ _{+ ≥} _⇔ _ _≠ _− ≠    __ _≠

Từ đồ thị hàm số y f x=

( )

_{ta thấy phương trình} f x = có nghiệm

( )

0 x = −3 (bội
2), và nghiệm x x= 0; x ∈ −0

(

1;0

)

nên :

( )

(

) (

)

f x =a x+ x x−

Đường thẳng y = cắt đồ thị 2 y f x=

( )

tại ba điểm phân biệt có hồnh độ x = −1;

x x= ; x ∈ − −₁

(

3; 1

)

;x x= ₂;

(

x < −₂ 3

)

. Nên f x

( )

− =2 a x

(

)(

x x x x− ₁

)(

− ₂

)

Do đó:

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( ) ( )

2 2 2 2

4 3 4 3

. 2

x x x x x x x x

g x

x f x f x

x f x f x

+ + + + + += =− ₋  _ _ 

(

)(

)

(

) (

)(

)

(

)(

)

2 22 2

0 1 2

1 3

. 3 . . 1

x x x x x x

a x x x x x x x x

x a x x x a x x x x x

+ + + +

= =

+ − − −

+ − + − − .

Ta có:

( )

(

)(

)

0 0

0 1 2

1lim lim3x xxg x

a x x x x x x x x

+ +

→ →

= = = +∞

+ − − − nên x = là 0

một đường tiệm cận đứng của đồ thị y g x=

( )

+)Các đường thẳng x = −3; x x= ₁; x x= ₂ đều là các đường tiệm cận đứng của đồ
thị hàm số y g x=

( )

Do đó đồ thị y g x=

( )

có 4 đường tiệm cận đứng.

+) Hàm số y g x=

( )

xác định trên một khoảng vô hạn và bậc của tử nhỏ hơn bậc
của mẫu nên đồ thị y f x=

( )

có một đường tiệm cận ngang y =0.

Vậy đồ thị hàm số y g x=

( )

có 5 đường tiệm cận.

Câu 6. Cho hàm bậc ba _{y f x}₌

( )

₌_{ax bx cx d}3₊ 2₊ ₊ _{. Đồ thị}_{y f x}₌

( )

_{như hình vẽ. Tìm}

số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số

(

)

(

( )

)

4 224 31 2x xy

x f x f x

− +

(20)

A. 4. B. 5. C. 2. D. 3.

Lời giải Chọn A

( )

3 2

f x =ax bx cx d+ + +

Dựa vào đồ thị của y f x=

( )

, ta có

( )

1 40 21 02 4ffff− === ₌ ⇔ 420

8 4 2 4

a b c dd

a b c d

a b c d

− + − + = = + + + = + + + = ⇔ 1032abcd= = = − =

Do đó _{f x}

( )

₌_x3₋₃_x_{+ =}₂

(

_x₋₁

) (

2 _x₊₂

)

Xét hàm số

(

)

(

( )

)

(

) ( ) ( )

)(

(

)

2 24 221 34 3

1 . . 2

1 2

x x

x f x f x

− −− += =− −− −

(

)(

)

(

) (

)

(

)

(

)

2 2

2 ₂ 2

1 3 1

1 . 1 . 2 . . 3 1 . 2 .

x x x

x x x x x x x x

− − ₊

= =

− − + − − +

Hàm số có các đường tiệm cận đứng là x =0; x =1; x = −2 và đường tiệm cận ngang y =0.

(21)

Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số:

( )

_{( )}

xg x

f x

A. 4 . B. 3. C. 2 . D. 1.

Lời giải Chọn C

Từ đồ thị ta có: f x + =

( )

2 0 ⇔ f x

( )

= −2

(

)

(

)

(

)

2 0

x a a

x b b

x c c

= < −




⇔_ = − < < = >

Kết hợp với điều kiện có nghĩa của x suy ra đồ thị hàm số g x có

( )

1 tiệm cận
đứngx c c=

(

)

Hàm số

( )

_{( )}

2xg x

f x=

+ có bậc của tử bé hơn bậc của mẫu (Hàm số có bậc tử là 1

2 cịn bậc mẫu là 3) suy ra đồ thị hàm số g x có

( )

1 tiệm cận ngang là y =0 .
Vậy đồ thị hàm số

( )

2xg x

f x
=

+ có hai đường tiệm cận.

(22)

Hỏi đồ thị hàm số

(

)(

)

( )

2 2

4 2

2 3

x x x

f x f x

− +

+ −

 

  có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A. 4. B. 5. C. 3. D. 2.

Lời giải Chọn A

Xét phương trình

( )

_{( )}

2 ₂ _{3 0} 1

f x

f x f x

f x

=

+ − = ⇔ 

= −

1 2

0; 2; 2

2; 2

x x x x x

x x

= = < − = >

⇔  _{= −} ₌

Trong đó nghiệmx = , 0 x = −2, x = đều có bội 2 2 và x x x= ₁

(

₁_{< − ;}2

)

(

)

2 2 2

x x x= > _{là nghiệm đơn (bội 1).}

So sánh bội nghiệm ở mẫu và bội nghiệm ở tử thì thấy đồ thị có các TCĐ là x = ; 02

x = ; x x= 1; x x= 2

(23)

Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số

( )

_{( )}

3 2

g x

f x

−

A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.

Lời giải Chọn B

Dựa vào đồ thị hàm số ta có:

( )

_{( )}

2 2lim

3. 1 2 5

x→−∞g x = − − = −

( )

lim 2

3.1 2x→+∞g x = − =

Suy ra đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận ngang.
Xét phương trình 3

( )

2 0

( )

f x − = ⇔ f x =

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: phương trình

( )

f x = có duy nhất một nghiệm.

Vậy hàm số có 3 đường tiệm cận.

Dạng 4: Biết đồ thị của hàm số y f x=

( )

, tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị
hàm số y g x=

( )

, trong bài toán chứa tham số.

Câu 1. Cho hàm số _{f x}

( )

₌_{ax bx c}4₊ 2₊

có đồ thị như hình vẽ.

x

y

-12

1

Số các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số

( )

( ) ( )

2020x

g x

f x f x m

−

 

  có

tổng số 9 đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng là

(24)

Lời giải Chọn B

Ta có g x là hàm phân thức hữu tỷ với bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu nên

( )

lim 0

x→±∞g x = , do đó đồ thị hàm số g x

( )

ln có một tiệm cận ngang là y =0.

Phương trình

( )

(

_{( )}

)

( )

1 1

; 2 1

1;00

0;11;2

x x x

x xf x

x xx x

= − < < −

 = ∈ −


= ⇔  = ∈_ = ∈

Ta thấy phương trình f x = có 4 nghiệm phân biệt đều khác 0 nên

( )

0 x x= 1, 2

x x= , x x= ₃, x x= ₄ là 4 tiệm cận đứng đồ thị hàm số g x .

( )

Vậy để đồ thị hàm số g x

( )

có đúng 9 đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng thì
phương trình f x

( )

=m phải có đúng 4 nghiệm phân biệt khác 0 và khác với 4
nghiệm x i =i

(

1,4

)

1 2

− < <

⇔  _≠

 mà m∈ nên m = . 1

Câu 2. Cho hàm số _{f x}

( )

₌_x2₋₂_x_{có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị}_m_{để đồ}

thị hàm số g x

( )

₍

f x

( )

₎

f x m

+ có số tiệm cận là số lẻ.

A. m ≠ và 2 m ≠ . 0 B. m ≠ − và 2 m ≠ . 0

C. m ≠0. D. m ≠ ± . 2

Lời giải Chọn D

Ta có:

( )

(

) (

)

(

)

f x x x

f x m _{x m} _{x m}

−=

(25)

2 ₂ ₀ ₀ ₂

x − x= ⇔ = ∨ =x x .

(

)

(

)

2 0 2

x m+ − x m+ = ⇔ = − ∨ = −x m x m.

Vì lim

₍

( )

₎

f xf x m

→±∞ + = ,

∀ ∈  nên hàm số g x

( )

₍

f x

( )

₎

f x m

+ ln có 1 tiệm cận ngang là y =1.

Với m = , ta có 0

₍

f x

( )

₎

f x m+ = , ∀ ∈ x \ 0;2

{ }

. Suy ra đồ thị hàm số

( )

₍

f x

( )

₎

g x

f x m

+ khơng có tiệm cận đứng.

Do vậy với m =0, đồ thị hàm số

( )

(

f x

)

g x

f x m

+ có 1 tiệm cận.

Với m = , ta có 2

₍

( )

) (

)

(

)

(

)

(

)

22222

2 2 2

f x x x x x

f x m _x _x x x

−−

= =

+ + − + + có tập xác định là

{

}

\ 2;0

D =_ − .

Có

₍

( )

₎

(

₍

)

₎

2 2

lim lim

x x

f x x x

f x m x x

→− →−−= = ∞+ + ,

( )

(

)

(

)

0 0 0

2 2

lim lim lim 1

2 2

x x x

f x x x x

f x m x x x

→ → →

− −

= = = −

+ + + .

Do đó đồ thị hàm số

₍

f x

( )

₎

f x m+ có 2 tiệm cận (1 tiệm cận đứng, 1 tiệm cận ngang).

Với m = −2, ta có

( )

(

) (

)

(

)

(

)(

)

22222 4

2 2 2

f x x x x x

f x m x x x x

−−

= =

+ − − − − − , có tập xác định

{ }

\ 2;4D =  .

Có

₍

( )

₎

₍

(

₎₍

)

₎

2 2 2

lim lim lim 1

2 4 4

x x x

f x x x x

f x m x x x

→ → →−= = = −+ − − − ,

( )

(

)

(

)(

)

4 42lim lim2 4x x

f x x x

f x m x x

→ →

−

= = ∞

+ − − .

Do đó đồ thị hàm số

( )

(

f x

)

(26)

Với m ≠0 và m ≠ ±2, ta có −m và 2 m− không là nghiệm của _x2₋₂_x_{. Suy ra đồ}

thị hàm số

₍

f x

( )

₎

f x m+ có 2 tiệm cận đứng là x= −m và x= −2 m. Do vậy đồ thị
hàm số

( )

(

f x

)

f x m+ có 3 tiệm cận.

Vậy với m ≠ ± , đồ thị hàm số 2

( )

(

f x

)

f x m+ có số tiệm cận là số lẻ.

Câu 3. Cho hàm số g x

( )

_{( )}

2018₂h x m m=

− − với

( )

4 3 2

h x =mx +nx +px +qx

(

m n p q ∈ . Hàm số , , ,

)

y h x= ′

( )

có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Tìm các giá trị m nguyên để số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y g x=

( )

là 2.

A. 11. B. 10. C. 9. D. 20 .

Lời giải
Chọn B

Ta có _{h x}_′

( )

₌₄_mx3₊₃_nx2₊₂_{px q}₊ _{. Từ đồ thị ta có}

( )

150

h x x

= −

′ = ⇔ =

 =

và

(

m < . 0

)

Suy ra

( )

₄

(

₁

)

(

₃

)

₄ 3 ₁₃ 2 ₂ ₁₅

h x′ = m x+ _x− _ x− = mx − mx − mx+ m

  .

Suy ra

( )

4 13 3 2 ₁₅

h x =mx − mx mx− + mx C+ . Từ đề bài ta có C =0.

Vậy

( )

4 13 3 2 ₁₅

h x =mx − mx mx− + mx.

Xét

( )

2 ₀ 4 13 3 2 _{15 1}

(27)

Xét hàm số

( )

4 13 3 2 _{15 1}

f x =x − x −x + x− _⇒ _{f x}_′

( )

₌₄_x3₋₁₃_x2 ₋_{2 15 0}_x₊ ₌

1543

xxx

= −

⇔ =

 =

Bảng biến thiên

Để đồ thị hàm số g x có 2 đường tiệm cận đứng ⇔ phương trình

( )

2 ₀

h x m m− − = có 2 nghiệm phân biệt ⇔ phương trình

4 13 3 2 _{15 1}

m x= − x −x + x− có 2 nghiệm phân biệt.

Từ bảng biến thiên kết hợp thêm điều kiện m <0 ta có 35 1

3 m

− < < − .

Do m nguyên nên m∈ −

{

11; 10;...; 2− −

}

. Vậy có 10 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 4. Cho hàm số _{y f x}₌

( )

₌_{ax bx cx d}3₊ 2₊ ₊

(

_{a ≠}₀

)

_{có đồ thị như hình vẽ bên dưới}

Tìm m để đồ thị hàm số

( )

(

)

g x

f x m

− − có đúng 6 tiệm cận đứng?

A. m ≤0. B. − ≤ ≤2 m 0.

C. − < < −3 m 1_. _D.0< <m 4_.

(28)

Chọn D

Xét hàm số _{h x}

( )

₌ _{f x}

(

2₋₃

)

_⇒_{h x}_′

( )

₌_{2 .}_{x f x}_′

(

2 ₃

)

−

( )

₍

₎

0 3 1 2

3 0

23 1

h x x x

f x

==

=

 _ _

′

⇒ = ⇔ _′ ⇔_ − = − ⇔_ = ±

− =

 _ _{− =}  _{= ±}

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số

( )

(

)

g x

f x m

− − có đúng 6 tiệm cận
đứng ⇔ h x

( )

=m có 6 nghiệm phân biệt ⇔ 0< <m 4.

Câu 5. Cho hàm số _{f x}

( )

₌_{mx nx}3₊ 2₊ _{px q}₊

(

_{m n p q ∈}_{, , ,}

)

_{có đồ thị như hình vẽ bên}

dưới

Tìm số giá trị m nguyên để số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

( )

_{( )}

20198

g x

f x mx m

− − là 3

A. 31. B. 8. C. 9. D. 30.

(29)

Chọn B

Từ đồ thị ta có

( )

0 1

f x x

= −
= ⇔ _ =

 =

và m >0.

Suy ra _{f x}

( )

₌_{m x}

(

₊₁

)(

_x₋₁

)(

_x_{− =}₃

)

_mx3₋₃_{mx mx}2₋ ₊₃_m_.

Xét _{f x m}

( )

₋ 2₋₈_mx₌₀_{⇔ =}_{m x}3₋₃_x2₋₉_x₊₄_.

Xét hàm số _{y x}₌ 3₋₃_x2₋₉_x₊₄ ₃ 2 ₆ _{9 0} 1

y x x

= −′

⇒ = − _{− = ⇔ }

 .

Bảng biến thiên

Để đồ thị hàm số g x có

( )

3_{đường tiệm cận đứng ⇔ phương trình}

( )

2 ₈ ₀

f x m− − mx= có 3 nghiệm phân biệt ⇔ phương trình

3 ₃ 2 ₉ ₄

m x= − x − x+ có 3 nghiệm phân biệt.

Từ bảng biến thiên kết hợp thêm điều kiện m >0 ta có 0< <m 9.

Do m nguyên nên m∈

{

1;2;...;8

}

. Vậy có 8 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 6. Cho hàm số

( )

2018

g x

h x m m

− − với

( )

4 3 2

(30)

Tìm các giá trị m nguyên để số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số g x

( )

là 2

A. 11. B.10. C. 9. D. 20 .

Lời giải Chọn B

Ta có _{h x}_′

( )

₌₄_mx3₊₃_nx2₊₂_{px q}₊ _{. Từ đồ thị ta có}

( )

150

h x x

= −

′ = ⇔ =

 =

và

(

m < .0

)

Suy ra

( )

₄

(

₁

)

(

₃

)

₄ 3 ₁₃ 2 ₂ ₁₅

h x′ = m x+ _x− _ x− = mx − mx − mx+ m

  .

Suy ra

( )

4 13 3 2 ₁₅

h x =mx − mx mx− + mx C+ . Từ đề bài ta có C =0.

Vậy

( )

4 13 3 2 ₁₅

h x =mx − mx mx− + mx.

Xét

( )

2 ₀ 4 13 3 2 _{15 1}

h x m m− − = ⇔ =m x − x −x + x− . Xét hàm số

( )

4 3 2

( )

3 2

13 _{15 1} ₄ ₁₃ _{2 15 0} 5

3 4

f x x x x x f x x x x x

= −′

= − − + − ⇒ = − − + = ⇔ =

 =

(31)

Để đồ thị hàm số g x có 2 đường tiệm cận đứng ⇔ phương trình

( )

2 ₀

h x m m− − = có 2 nghiệm phân biệt ⇔ phương trình

4 13 3 2 _{15 1}

m x= − x −x + x− có 2 nghiệm phân biệt.

Từ bảng biến thiên kết hợp thêm điều kiện m <0 ta có 35 1

3 m

− < < − .

(32)

Câu 1. Cho hàm số y f x=

( )

có đồ thị hàm số như sau:

-4

O ₁

Tìm m để đồ thị hàm số y

_{( )}

2 ₂

f x m

− có đúng ba đường tiệm cận đứng?

A.m = 1 B.m =2 C.m =0 D.m = ±2

Lời giải Chọn D

y = 4

O 1

Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận đứng khi phương trình _{f x}

( )

₋_m2 ₌₀_{có 3}

nghiệm phân biệt

⇔ Đồ thị hàm số y= f x

( )

và đường thẳng _{y m}₌ 2_{có 3 giao điểm.}

Dựa vào ĐTHS đã cho suy ra _{m =}2 ₄ _{⇔ = ±}_m ₂

(33)

Số giá trị nguyên của m∈ −

[

10;1

]

để đồ thị hàm số

( )

_{( )}

2 3

_{( )}

x x

g x

f x m f x

− +

− −

   

    có đúng bốn đường tiệm cận đứng là :

A. 9. B. 12. C.11. D. 10.

Lời giải

Chọn C

( )

(

)

(

( )

)

( )

_{( )}

2 1

* 3 2 0

* 1 0

x x

f x mf x m f x

f x
=

− _{+ = ⇔ }

=

=

− − = ⇔ 

=

Nhìn vào đồ thị hàm số ta có

( )

(

)

( )

1;2

1 ;2

2;3

x a

f x x b a

x c

= ∈



= ⇔_ = ∈ = ∈

.(có ba tiệm cận)

Suy ra đồ thị hàm số y g x=

( )

có đúng 4 tiệm cận đứng với m∈ −

[

10;1

]

là

[

10;0

]

m∈ −

Do đó số giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài tốn là 11 số.

(34)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn

[

−2019;2020

]

để đồ thị
hàm số _{y f x}₌

(

2₋₂_{x m m}₊

)

₋ _{có 5 đường tiệm cận?}

A. 4038. B. 2019. C. 2020. D. 4040.

Lời giải Chọn B

Từ đồ thị hàm số y f x=

( )

ta suy ra f x có tập xác định

( )

D =\ 1

{ }

± và các

giới hạn: lim 0

x→±∞ f x = , xlim_→−1+ f x

( )

= +∞ , _xlim_→−₁− f x

( )

= −∞ , lim_x_→₁+ f x

( )

= +∞ ,

( )

lim

x_→− f x = −∞.

Vì hàm số _{t x}₌ 2₋₂_{x m}₊ _{xác định trên  nên hàm số}_{y f x}₌

(

2₋₂_{x m m}₊

)

₋

xác định 2₂ 2 1

2 1

x x m

 − + ≠

⇔ 

− + ≠ −



Vì _lim

(

2 ₂

)

x→±∞ x − x m+ = +∞ nên

(

)

( )

lim 2 lim

x→±∞f x − x m m+ − =t→+∞f t m− = −m.

Do đó đồ thị hàm số _{y f x}₌

(

2₋₂_{x m m}₊

)

₋ _{có đúng một đường tiệm cận ngang là}

đường thẳng y= −m (về cả hai phía x → +∞ và x → −∞ ).

Để đồ thị hàm số _{y f x}₌

(

2₋₂_{x m m}₊

)

₋ _{có 5 đường tiệm cận thì nó phải có 4}

đường tiệm cận đứng.

Điều kiện cần: 2₂ 2 1

2 1

x x m

 − + =



− + = −

 phải có 4 nghiệm phân biệt

(

)

(

)

1 2

x m

 − = − +

⇔

 − = −



có 4 nghiệm phân biệt 2 0 0

− + >

⇔_{− >} ⇔ <

 .

Điều kiện đủ: Giả sử x1, x 2

(

x x1< 2

)

là hai nghiệm phân biệt của phương trình

2 ₂ ₁

x − x m+ = ; x , 3 x là hai nghiệm phân biệt của phương trình 4

2 ₂ ₁

x − x m+ = − .

Xét đường thẳng x x= ₁, ta có

(

)

( )

lim 2 lim

x x_→ f x − x m m+ − =t_→±f t m− = ±∞.

Suy ra đường thẳng x x= ₁ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

(

2 ₂

)

y f x= − x m m+ − .

Tương tự các đường thẳng x x= 2, x x= 3, x x= 4 cũng là các đường tiệm cận đứng

của đồ thị hàm số _{y f x}₌

(

2₋₂_{x m m}₊

)

₋ _.

Vậy để đồ thị hàm số _{y f x}₌

(

2₋₂_{x m m}₊

)

₋ _{có 5 đường tiệm cận thì}_{m <}₀_.

(35)

Câu 4. Cho hàm số y f x=

( )

có đồ thị như hình vẽ

Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số _y₌ _{f x}

(

₋_{16 10}

)

₊ ₋_m2

có tiệm cận ngang nằm phía dưới đường thẳng :d y =8 (không trùng với d).

A. 8 B. 2 C. 6 D.

Lời giải
Chọn C

Đồ thị hàm số _{g x}

( )

₌ _{f x}

(

₋_{16 10}

)

₊ ₋_m2_{có được bằng cách thực hiện liên tiếp}₂

phép tịnh tiến là tịnh tiến theo phương trục hoành sang phải 16 đơn vị và theo
phương trục tung

(

_{10 m}₋ 2

)

_{đơn vị.}

Từ hình vẽ: lim

(

)

lim

( )

x→±∞ f x− =x→±∞ f x = −

( )

lim 9

x→±∞g x m

⇒ = −

Do vậy đồ thị hàm số g x có một tiệm cận ngang là

( )

_y_{= −}₉ _m2_{, ta có 2 TH sau:}

+) TH 1: Nếu ₉₋_m2 _<₀_{thì tiệm cận ngang của đồ thị}_{y g x}₌

( )

_là_{y m}₌ 2_{− <}_{9 8}2

9 m 17⇒ < <

mà m∈ , nên m = ± 4

+) TH 2: Nếu ₉₋_m2 _≥₀_{thì tiệm cận ngang của đồ thị}_{y g x}₌ _{( )} _là_y_{= −}₉ _m2 _<₈
2

(36)

mà m∈, nên m = ±2, m = ±3

+) KL: có 6 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài ra.

Câu 5. Cho hàm số y f x=

( )

có đồ thị như sau

Tìm tất cả các số thực m để đồ thị hàm số y

_{( )}

1f x m=

− có hai tiệm cận đứng?

A. m =4 hoặc m < −5. B. m =4. C. m = −5. D.

5 m 4

− < < .

Lời giải

Chọn A

Ta có f x m

( )

− = ⇔0 f x

( )

=m.

Ta cần tìm m để phương trình trên có hai nghiệm thực. Dựa vào bảng biến thiên suy ra m = hoặc 4 m < − . 5

Câu 6. Cho hàm số y f x=

( )

có đồ thị như hình vẽ dưới. Hỏi có bao nhiêu giá trị của

tham số m để đồ thị hàm số _y₌ _{f x}₊3 ₈₋_m ₊ _m_{+ −}_{1 4} _{có đúng một tiệm cận}

ngang?

A. 0. B. 2. C. 3. D. Vô số.

Lời giải

O x

121−

5−

(37)

Chọn C

Để đồ thị hàm số _y₌ _{f x}

( )

₊3₈₋_m ₊ _m_{+ −}_{1 4} _{có đúng một tiệm cận ngang thì}

đồ thị hàm số _{y f x}₌

( )

₊3 ₈₋_m ₊ _m_{+ −}_{1 4}_{có hai tiệm cận ngang đối xứng}

nhau qua trục hồnh , khi đó từ đồ thị hàm số y f x=

( )

ta tịnh tiến xuống đúng 1 đơn vị. Vậy 3 ₈₋_m ₊ _m_{+ − = −}_{1 4} ₁_.

Giải 3 ₈₋_m ₊ _m_{+ =}_{1 3}_{ta đặt}_u₌3 ₈ _m

− ;v= m+1

(

v ≥ 0

)

Khi đó ta có hệ: ₃ ₂ ₃ ₂

(

)

3 3

9 6 0 ₃

v u u

u v

u v u u u _u

=

 = − ≤

+ =

 _ _

⇔ ⇒ =

  _

+ =  + − =

  _{ = −}_

tìm được ba giá trị m là 0; 8; 35.

Câu 7. Cho hàm số y f x=

( )

có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Tìm m để đồ thị hàm số _{y g x}₌

( )

₌ _{f x m}

(

₊

(

₊₁

)

₋_m2₊₂_m₊₂_{có tổng số tiệm}

cận ngang và tiệm cận đứng là nhiều nhất?

A. − < <2 m 0 _B.⇔ ≤ ≤1 m 3.

C. − < < −3 m 2. D. − < < −2 m 1.

Lời giải Chọn B

(38)

Vì đồ thị hàm số số _{g x}

( )

₌ _{h x m}

( )

₋ 2₊₂_m₊₂ _{bảo toàn số tiệm cận đứng của đồ}

thị hàm sốh x . Do đó dựa vào đồ thị hàm số

( )

h x thì đồ thị hàm số

( )

g x có 2

( )

tiệm cận đứng và có số tiệm cận ngang ≤1 ∀m

Vậy để đồ thị _{y g x}₌

( )

₌ _{f x m}

(

₊

(

₊₁

)

₋_m2₊₂_m₊₂ _{có tổng số tiệm cận}

ngang và tiệm cận đứng nhiều nhất là 3

⇔ g x

( )

có 2 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang

⇔ h x

( )

tịnh tiến xuống dưới không quá 1 đơn vị.

2 ₂ ₂ ₁

m m

⇔ − + + ≥ − 1⇔ ≤ ≤m 3

Câu 8. Cho hàm số y f x=

( )

có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Tìm m để đồ thị hàm số _{g x}

( )

₌ _{f x m}

(

₋ 2

)

₋₂₀₂₀_{nhận đường thẳng}_{x = làm}₅

tiệm cận đứng?

A. m = ± 2 B. 2

= ±

= ±

 .

C. m = ± 6. D. 2

=

 .

Lời giải Chọn B

(39)

Suy ra đồ thị hàm số _{u x}

( )

₌_{h x m}

(

₋ 2

)

₌ _{f x m}

(

₋ 2

)

_{nhận đường}

thẳng_{x m}₌ 2₊_1;_{x m}₌ 2₋₁_{làm tiệm cận đứng, đường thẳng}_{y = làm tiệm cận}₁

ngang.

Suy ra đồ thị hàm số g x

( )

=u x

( )

−2020 nhận đường thẳng_{x m}₌ 2₊_1;_{x m}₌ 2₋₁

làm tiệm cận đứng, đường thẳng y = −2019 làm tiệm cận ngang.

Theo đề bài, ta có 2₂ 1 5 261 5

= ±

 + = 

⇔

 

= ±

− = _



Câu 9. Cho hàm số y f x=

( )

có đạo hàm trên  và có đồ thị như hình vẽ

Với m_,n_{là hai số nguyên dương, khi hàm số}g x

( )

₍

_{( )}

n m

₎

f f x m

+ + −

+ có số tiệm cận lớn nhất là n hãy tính giá trị nhỏ nhất của _{S m n}₌ 2₊ 2

A. 14 . B. 74 . C.50 . D.3.Lời giải

Chọn C

Để hàm số có tiệm cận đứng thì điều kiện:

( )

f f x m_ + _=

( )

226

f x mf x mf x m

+ = −



⇔_ + =

 _{+ =}



( )

226

f x m

= − −



⇔_ = − +

 _{= − +}



(40)

6 2152

4152

2 2

mmmm

 − <



 − > −_



 − − > −

 − <_

=⇒  ₌



Xét _{h x}

( )

₌_x2₊₈_x₊ _{n m}₋ _có_{h x}_′

( )

₌₂_x₊₈

nên h x đồng biến trên khoảng

( )

(

− + ∞4;

)

Khi m =5 thì đường thẳng y = − gặp 7 f x tại điểm có hoành độ lớn hơn 4

( )

− .

Nên h x >

( )

0_,∀ ∈ − + ∞x

(

)

. Do đó 7450

= =

 ⇒minS =50
Phần 2: Biết BBT của hàm số y f x=

( )

Dạng 5: Biết BBT của hàm số y f x=

( )

, tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị
hàm số y f x=

( )

, trong bài tốn khơng chứa tham số.

Câu 1. Cho hàm số y f x=

( )

có bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là

A. Không tồn tại tiệm cận đứng. B. x = −2

C. x = 1 D. x = − và 2 x = 1

Lời giải

Chọn B

Vì ( )2

lim

x→ − + y= +∞ nên x = −2 là tiệm cận đứng

(41)

A. _{2 TCĐ và 2 TCN .} B. 3_{TCĐ và 2 TCN .}

C. _{2 TCĐ và 1 TCN .} D. _{3 TCĐ và 1 TCN .}Lời giải

Chọn C

Dựa vào bảng biến thiên ta có

( )

lim 1

x→+∞ f x = nên y = là TCN. 1

( )

lim

x_→−+ f x = −∞; _xlim_→−₁− f x

( )

= +∞ nên x = −1 là TCĐ.

( )

lim

x_→ + f x = +∞; _xlim_→₄− f x

( )

= −∞ nên x =4 là TCĐ.

Vậy có _{2 TCĐ và 1 TCN .}

Câu 3. Cho hàm số y f x=

( )

_{liên tục trên từng khoảng xác định và có bảng biến thiên}như sau:

x − ∞ 0 2 + ∞

( )

f x 0

( )

f x 3

− − ∞

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là:

A. 4. B. 1. C. 2. D. 3.

Lời giải Chọn D

+) Ta có

( )

lim

x_→ + f x = − ∞ ⇒ x = là đường TCĐ của đồ thị hàm số 0

+) lim

( )

x→−∞ f x = ⇒ y = 3 là đường TCN của đồ thị hàm số

+) lim

( )

(42)

Tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

A. _{4 .} B. _1. C. _3. D. _{2 .}

Lời giải Chọn C

Từ bảng biến thiên ta có:

lim

x_→− y= +∞ nên đường thẳng x =1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

lim 2

x→−∞y= , limx→+∞y=5 nên đường thẳng y = và 2 y = là các đường tiệm cận 5

ngang của đồ thị hàm số.

Tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là 3.

Câu 5. Cho hàm số y f x=

( )

có bảng biến thiên như sau

Hỏi đồ thị hàm số y f x=

( )

có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải Chọn B

Từ bảng biến thiên, ta có:

lim

x→+∞y= +∞. Vậy đồ thị hàm số y f x=

( )

khơng có tiệm cận ngang. 

3 



2 1



x _

(43)

lim

x_→ + y= −∞. Vậy x =2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x=

( )

lim

x_→+ y= +∞. Vậy x =1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x=

( )

Vậy đồ thị hàm số đã cho có đúng hai đường tiệm cận. Chọn B.

Câu 6. Cho hàm số y f x=

( )

liên tục trên các khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

A. 1. B. 3. C. 2 . D. 4 .

Lời giải Chọn C

Dựa vào bảng biến thiên, ta có

lim

x_→−− y= +∞, _xlim_→−₂+ y= −∞ suy ra x = −2 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm

số.

lim

x_→ +y= +∞ suy ra x =0 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị của hàm số có 2 đường tiệm cận đứng.

Câu 7. Cho hàm số y f x=

( )

xác định trên \ 0

{ }

, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

(44)

Lời giải

Chọn C

Từ bảng biến thiên ta có +) lim

x→+∞y= −∞;

+) lim 2x→−∞y= ;

lim

x_→ −y= −∞;

lim 2

x_→ +y= − .

Do đó đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x =0 và đường tiệm cận ngang 2

y = .

Câu 8. Cho hàm số y f x=

( )

có bảng biến thiên như sau

Đồ thị hàm số y f x=

( )

có tổng số bao nhiêu tiệm cận (chỉ xét các tiệm cận đứng và ngang)?

A. 2. B. 0 . C. 1. D. 3.

Lời giải Chọn A

Từ BBT ta có:

lim 1

x→−∞y= − . Vậy đường thẳng y = − là đường TCN của đồ thị hàm số 1 y f x=

( )

(

)

1 1

lim lim

x_→− y= +∞ x_→+ y= −∞ . Vậy đường thẳng x =1là đường TCĐ của đồ thị hàm số

( )

y f x= .

Vậy đồ thị hàm số đã cho có đúng 2 đường tiệm cận. Chọn A

(45)

Câu 1. Cho hàm số y f x=

( )

có bảng biến thiên như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang

A. Khơng có m . B. m =0. C. 1

m = − . D. 1

m = .

Lời giải

Chọn D

Từ BBT suy ra TCN của đồ thị hàm số là 12

y = và y m= ;

YCBT 1

⇔ = .

Câu 2. Cho hàm số y f x=

( )

có bảng biến thiên như hình vẽ.

Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m trên khoảng

(

−20;20

)

để đồ thị
hàm số y

_{( )}

f x m=

− có tiệm cận ngang.

A. 187 . B. −184. C. 186. D. −185.

Lời giải

x −∞ 1

2 +∞

y′ + +

y _+∞ _m

2 −∞

x −∞ 0 +∞

y′ + 0 −

y ₃

(46)

Chọn B

Đồ thị hàm số y

_{( )}

1f x m

− có tiệm cận ngang nếu phương trình f x

( )

=m có nghiệm.

Từ BBT suy ra m ≤ . 3

Kết hợp điều kiện m∈ −

(

20;20

)

_{, m Z}∈ ta có m∈ −

{

19; 18;...;3−

}

Vậy tổng các giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn đề bài là 184− .

Câu 3. Cho đồ thị hàm số y f x=

( )

có bảng biến thiên xác định như hình. Biết rằng đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x x= 0, tiệm cận ngang là y y= 0 và x y =0 0 16. Hỏi m

bằng?

A. m =8. B. m = −16. C. m =1. D. m =2.

Lời giải

Chọn D

Ta có: lim

x m_→ + y= −∞ nên x m= là tiệm cận đứng.

lim 8

x→+∞y= nên y = là tiệm cận ngang. o 8

Suy ra 8m=16⇔ =m 2.

Câu 4. Hàm số y f x=

( )

liên tục trên các khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới

(47)

Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x x= _o và tiệm cận ngang y y= _o sao cho 30

o o

x y < .

A. m < . 1 B. m <10. C. m <8. D. m >8.

Lời giải Chọn C

( )

lim 2

x→+∞ f x m= + suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y m= +2. Ta có

y = +m .

( )

lim

x_→ + f x = −∞ suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x =3. Ta có x = . o 3

(

)

30 3 2 30 8

o o

x y < ⇔ m+ < ⇔ <m .

Câu 5. Cho hàm số y f x=

( )

liên tục trên \ 1

{ }

và có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m∈

[ ]

0;3 để đồ thị hàm số y f x=

( )

có 3 đường tiệm cận?

A. 1. B. 2. C. 4. D. 3.

Lời giải Chọn D

Ta có

 lim

( )

x→−∞ f x = ⇒ =y 2 là một đường tiệm cận ngang.

 lim

( )

(48)



( )

lim

x_→− f x = −∞; lim_x_→₁+ f x

( )

= +∞⇒ =x 1 là một đường tiệm cận đứng.

Để đồ thị hàm số y f x=

( )

có 3 đường tiệm cận thì m ≠2. Vì m nguyên và

[ ]

0;3

m∈ nên m∈

{

0;1;3

}

Câu 6. Cho hàm số y f x=

( )

có bảng biến thiên:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m∈ −[ 4;4] để hàm số có 4 tiệm cận?

A. 5 . B. 6 . C. 7 . D. 8.

Lời giải Chọn C

+ Ta có

( )

lim

x_→ + f x = +∞ nên x = −2 là một tiệm cận đứng.

lim_x_→₁+ f x

( )

= −∞ nên x =1 là một tiệm cận đứng.

( )

4lim

x→−∞ f x = nên y = là một tiệm cận ngang. 4

( )

lim

x→+∞ f x =m nên 2

y m= _{là một tiệm cận ngang.}

+ Để hàm số có 4 tiệm cận thì _{m ≠ ⇔ ≠ ±}2 ₄ _m ₂ _mà _{m∈ −}

[

_4;4

]

nên

{

4; 3; 1;0

}

m∈ ± ± ±

Vậy có 7 giá trị m cần tìm.

Câu 7. Cho hàm số y f x=

( )

có bảng biến thiên sau:

Số tiệm cận của đồ thị hàm số y f x=

( )

là

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

x −∞ −2 ₀ 1 +∞

y′ − − + −

1−

−∞

4−

(49)

Lời giải ChọnC

Qua bảng biến thiên ta có lim

( )

x→−∞ f x = − và

( )

lim 1

x→+∞ f x =m ≠ − nên đồ thị hàm

số có hai đường tiệm cận ngang: y = − và 1 _{y m}₌ 2_.

Lại có

( )

lim

x_→− − f x = −∞ nên đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng x = − . 2

Vậy số tiệm cận của đồ thị hàm số y f x=

( )

là 3.

Câu 8. Cho hàm số

( )

2018

g x

h x m m

− − với

( )

4 3 2

h x =mx +nx +px +qx

(

m n p q ∈, , ,

)

. Hàm số y h x= ′

( )

có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Tìm các giá trị m nguyên để số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số g x

( )

là 2

A. 11. B. 10. C. 9. D. 20 .

Lời giải
Chọn B

Ta có _{h x}_′

( )

₌₄_mx3₊₃_nx2₊₂_{px q}₊ _{. Từ đồ thị ta có}

( )

150

h x x

= −

′ = ⇔ =

 =

và

(

m < . 0

)

Suy ra

( )

₄

(

₁

)

(

₃

)

₄ 3 ₁₃ 2 ₂ ₁₅

h x′ = m x+ _x− _ x− = mx − mx − mx+ m

  .

Suy ra

( )

4 13 3 2 ₁₅

h x =mx − mx mx− + mx C+ . Từ đề bài ta có C = . 0

Vậy

( )

4 13 3 2 ₁₅

h x =mx − mx mx− + mx.

Xét

( )

2 ₀ 4 13 3 2 _{15 1}

(50)

Xét hàm số

( )

4 3 2

( )

3 2

13 _{15 1} ₄ ₁₃ _{2 15 0} 5

3 4

f x x x x x f x x x x x

= −′

= − − + − ⇒ = − − + = ⇔ =

 =

Bảng biến thiên

Để đồ thị hàm số g x có 2 đường tiệm cận đứng ⇔ phương trình

( )

2 ₀

h x m m− − = có 2 nghiệm phân biệt ⇔ phương trình

4 13 3 2 _{15 1}

m x= − x −x + x− có 2 nghiệm phân biệt.

Từ bảng biến thiên kết hợp thêm điều kiện m <0 ta có 35 1

3 m

− < < − .

Do m nguyên nên m∈ −

{

11; 10;...; 2− −

}

. Vậy có 10 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 9. Cho hàm số y f x=

( )

có bảng biến thiên sau:

Tìm tổng số các giá trị nguyên dương của tham số m∈ −

(

10;10

)

để đồ thị hàm số

( )

y f x= có tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang là 4 .

A. 42. B. 45 . C. −3. D. 0 .

Lời giải Chọn A

Từ bảng biến thiên ta có lim

( )

x→−∞ f x = và xlim→+∞ f x

( ) (

= m−1 2

)(

−m

)

. Suy ra tiệm

cận ngang của đồ thị hàm số y f x=

( )

là y = và 0 y=

(

m−1 2

)(

−m

)

.
Lại có

( )

lim

x_→−− f x = −∞; _xlim_→−₂+ f x

( )

= +∞ suy ra tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

( )

(51)

Và

( )

lim

x_→ − f x = +∞; _xlim_→₂+ f x

( )

= −∞ suy ra tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

( )

y f x= là x = . 2

Đề đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang là 4
khi và chỉ khi

(

1 2

)(

)

0 1

m m

≠

− − _{≠ ⇔ }

≠

 .

Vì m∈ −

(

10;10

)

và m là số nguyên dương nên m∈

{

3;4;5;6;7;8;9

}

. Vậy 3 4 5 6 7 8 9 42+ + + + + + = .

Câu 10. Cho hàm số y f x=

( )

có bảng biến thiên sau:

Tìm số các giá trị nguyên âm của tham số m để đồ thị hàm số g x

( )

_{( )}

2019f x m

−có tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang là 3.

A. 14. B. 17. C. 15. D. 16.

Lời giải

Chọn A

Ta có lim

( )

lim

( )

lim

_{( )}

2019 0

x→±∞ f x = +∞ ⇒x→±∞g x =x→±∞ f x m− = . Suy ra tiệm cận ngang

của đồ thị hàm số g x

( )

là y =0.

Để đồ thị hàm số g x

( )

có ba đường tiệm cận thì đồ thị hàm số g x

( )

phải có hai
đường tiệm cận đứng ⇔ phương trình f x m

( )

− =0 có số nghiệm là 2 ⇔
phương trình f x

( )

=m có số nghiệm là 2.

Từ đồ thị hàm số y f x=

( )

suy ra phương trình f x

( )

=m có số nghiệm là 2 2

15 1

>

⇔ _{− < <}

 .

(52)

Câu 11. Cho hàm số y f x=

( )

có bảng biến thiên như hình dưới đây

Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y f x=

( )

có tổng số đường tiệm cận ngang và đứng là 3 ?

A. 2. B. 3. C. 1. D. vô số.

Lời giải

Chọn A

Điều kiện m ≠0
Ta có

( )

lim

x_→− f x = −∞ và _xlim_→₄+ f x

( )

= −∞ nên đồ thị hàm số y f x=

( )

có 2 đường

tiệm cận đứng (là hai đường thẳng x =1 và x =4)
Cũng từ bảng biến thiên ta có lim

( )

x→−∞ f x = m và xlim→+∞ f x

( )

=m với điều kiện

m ≠ .

Để đồ thị hàm số y f x=

( )

có tổng số đường tiệm cận ngang và đứng là 3
⇔ đồ thị hàm số y f x=

( )

có số đường tiệm cận ngang là 1

( )

lim lim

x→−∞ f x x→+∞ f x

⇔ = 1 _m _m2 ₁ _m ₁

⇔ = ⇔ = ⇔ = ± .

Vậy có 2 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 12. Cho hàm số y f x=

( )

có bảng biến thiên như hình vẽ. Định tham số m để giao
điểm của đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là điểm I −

(

1;1

)

∞∞

xy'

m +∞

A. Khơng có m . B. m =0. C. m = − . 1 D. m = . 1

Lời giải

x −∞ ₁ ₂ ₄ +∞

y′ − + ₀ − +

y _m1

−∞ −5

2−

− _−∞

(53)

Chọn D

Từ BBT suy ra TCĐ là x= −m, TCN là y m= ; nên giao điểm TCĐ và TCN là

(

;

)

I m m− .

YCBT

(

;

)

(

1;1

)

1 1

I m m I m

− = −

− ≡ − ⇔_{ =} ⇔ =

 .

Câu 13. Cho hàm số y f x=

( )

có bảng biến thiên như hình vẽ. Định tham số m để giao điểm của đường tiện cận đúng và tiệm cận ngang nằm trên đường thẳng

: 5

d y x= + _.

∞∞

xy'

2m +∞

m +∞

A. m =5. B. m = −5.

C. m =4. D. m = − . 4

Lời giải Chọn B

Từ BBT suy ra TCĐ là x=2m, TCN là y m= ; nên giao điểm TCĐ và TCN là

(

2 ;

)

I m m .

Giao điểm I m m

(

2 ;

)

∈d y x: = + ⇔ =5 m 2m+ ⇔ = −5 m 5.

(54)

∞∞

xy'

2-2m

n +∞

A. 28

3 . B. 23. C. 13. D. 73.

Lời giải Chọn A

Từ BBT suy ra TCĐ là x 2 2mn

−

= , TCN là y mn

= ;

YCBT: đường thẳng x=2,y=2 lần lượt là TCĐ và TCN nên

2 2 ₂ 2

2 2 2 2 2 2 ₃

2 2 0 1

m _m

m n m n

m m n m n _n

−

 ₌  ₌

 _ ₋ ₌ _ ₊ ₌ 

 _⇔ _⇔ _⇔

  ₌  ₋ ₌ 

 

 ₌  ₌

 

 

KL: vậy ₉ 2 ₆ ₃₆ 2 28

m + mn+ n = .

Dạng 7: Biết BBT của hàm số y f x=

( )

, tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị
hàm số y g x=

( )

, trong bài tốn khơng chứa tham số.

Câu 1. Cho hàm số y f x=

( )

có bảng biến thiên như sau :

Tính tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

( )

1ef x 3

y =

− .

(55)

Lời giải Chọn A

Từ bảng biến thiên của hàm số f x , ta suy ra:

( )

•

( )

2( ) 2_{( )}

2 1

lim lim lim e lim 0

e 3

f x

x→−∞ f x = −∞ ⇒ x→−∞ f x = +∞ ⇒ x→−∞ = +∞ ⇒ x→−∞ ₋ = .

•

( )

2( ) 2_{( )}

2 1

lim lim lim e lim 0

e 3

f x

x→+∞ f x = +∞ ⇒ x→+∞ f x = +∞ ⇒ x→+∞ = +∞ ⇒ x→+∞ ₋ = .

Do đó, đồ thị hàm số 2_{( )}

1ef x 3

y =

− có một đường tiệm cận ngang là đường thẳng

y = .

Xét phương trình: ef x2( ) _{− =}3 0 *

( )

_{. Ta có}

( )

2 ln 3 1

* ln 3

ln 3 2

f xf xf x =⇔ = ⇔ = −

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số f x , ta có:

( )

• Vì ln 3 1> nên phương trình

( )

1 có hai nghiệm phân biệt là x ∈1

( )

1;2 và

(

)

2 2;

x ∈ +∞ .

• Vì − ln 3 1< nên phương trình

( )

2 có một nghiệm là x ∈ −∞ . 3

(

)

Suy ra phương trình

( )

* có 3 nghiệm phân biệt là x x x . Khi đó: 1, ,2 3

( )

(

)

( )

( ) ( ) ( )212

2 2 ₁

1 1

lim e 3 0 ₁

lim

e 3

1 e 3 e 3 0

f xx x

f x f x

x x f x f x

++→→+ ₋ ₌ _⇒ _{= −∞}−

 → ⇒ < < ⇒ − < − =



Suy ra đường thẳng x x= 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

( )

1ef x 3

y =

− .

Tương tự, ta tính được: 2_{( )}2

1lim

ef x 3x x_→ + = +∞

− , 3 2( )

1lim

ef x 3x x_→ + = +∞

− .

Suy ra các đường thẳng x x x x= ₂, = ₃ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ( )

1ef x 3

y =

(56)

Vậy đồ thị hàm số 2_{( )}

1ef x 3

y =

− có 1 đường tiệm cận ngang và 3 đường tiệm cận đứng.

Câu 2. Cho hàm số y f x=

( )

có bảng biến thiên như sau :

Hỏi đồ thị hàm số

( )

4214xy g x

f x f x

−

= =

− có bao nhiêu tiệm cận đứng?

A. 5. B. 2 . C. 3. D. 4 .

Lời giải Chọn D

Xét phương trình

( )

(

)

(

)

, ; 1

0 1 ( )

4 0

1 ( )

x , 1;

ng képx a a

f x x

f x f x

xf xbng képb= ∈ −∞ −= _ =− = ⇒ ⇒_{ = −}= _= ∈ + ∞.

( )

( )(

)(

) (

)(

)

2 ₄ ₁ ₁

f x f x h x x a x x b x

⇒ − = − − − + _;h x ≠

( )

Do đó

( )

_{( )}

(

)(

)

(

)

( )(

)(

) (

)(

)

242 22

1 1 1

4 ₁ ₁

x x x

xy g x

f x f x h x x a x x b x

− + +−= = =− − − − +

( )(

)(

)

2 ₁1 1x

h x x a x x b x

+
=

− − − + .

Vậy đồ thị hàm số

( )

4214xy g x

f x f x

−

= =

− có 4 tiệm cận đứng.

(57)

x

y'

y

+ ∞

2 + ∞

- ∞

-1

-

-1

- ∞

Đặt

( )

2 3

f xg x

f x

−=

− . Tìm số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị
hàm số y g x=

( )

A. 4. B. 5. C. 6. D. 3.

Lời giải Chọn A

( )

_{( )}

( )

3 2. 1 3 5

_{( )}

( )

lim lim

1 1 1 2

x x

f xg x

f x

→+∞ →+∞

− − −

= = =

− − − ⇒ đường thẳng

y = là tiệm cận

ngang của đồ thị hàm số y g x=

( )

_{( )}

( )

3 2.2 3

lim lim 1

1 2 1

x x

f xg x

f x

→−∞ →−∞

− −

= = =

− − ⇒ đường thẳng y =1 là tiệm cận ngang
của đồ thị hàm số y g x=

( )

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

( )

(

)

(

)

x a af x

x b b

= <

= ⇔ 

= >

 .

( )

lim 1 0

x a_→ −f x − = và f x

( )

− > ∀ <1 0, x a

⇒ lim

( )

1 lim 2

( )

3 2.1 3 1 0x a_→ − f x = ⇒x a_→ − f x − = − = − <

⇒

( )

2 3

lim lim

x a x a

f xg x

f x

− −

→ →

−

= = −∞

− ⇒đường thẳng x a= là tiệm cận đứng của đồ
thị hàm số y g x=

( )

lim 1 0

x b_→ +f x − = và f x − <

( )

1 0 , x b∀ > .

(58)

⇒

( )

2 3

lim lim

x b x b

f xg x

f x

+ +

→ →

−

= = +∞

− ⇒đường thẳng x b= là tiệm cận đứng của đồ
thị hàm số y g x=

( )

Vậy đồ thị hàm số y g x=

( )

có 4 đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang .

Câu 4. Cho hàm số y f x=

( )

có bảng biến thiên như sau :

Đồ thị hàm số ₂ _{( )}1₁e f x 1y= ₋

− có bao nhiêu tiệm cận ngang và tiệm cận đứng?

A. 2 . B. 3. C. 4 . D. 5.

Lời giải Chọn D

Xét phương trình:

( ) ( )

_{( )}

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 1 2 1

; 2
1

1 0 1 2 1 0 2;1

f x f x

x a a

e e f x f x x b b

x c c

− −

 = ∈ −∞ −

− = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ∈ −



= ∈ +∞

.

⇒ Đồ thị hàm số ₂ _{( )}1₁e f x 1y= ₋

− có ba tiệm cận đứng là: x a x b x c= ; = ; = .
Từ bảng biến thiên ta có: lim

( )

; lim

( )

x→−∞ f x = −∞ x→+∞ f x = +∞.

Ta có: lim ₂ _{( )}1₁ _{lim 2}₍ 1_{( )} ₁₎ 1

1 x ₁

f x f x

x→−∞e − _e→−∞ −

= = −

− ₋ ; 2 ( ) 1 lim 2( ( ) 1)

1 1

lim 0

1 x ₁

f x f x

x→+∞e − _e→+∞ −

= =

− ₋

⇒ Đồ thị hàm số ₂ _{( )}1₁e f x 1

y= ₋

− có hai tiệm cận ngang là : y= −1;y=0.

Vậy đồ thị hàm số ₂ _{( )}1₁e f x 1

y= ₋

(59)

Câu 5. Cho hàm số y f x=

( )

liên tục trên từng khoảng xác định và có bảng biến thiên sau:

Tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số

( )

_{( )}

y g x

f x

= =

− là

A. 2 . B. 3. C. 4 . D. 5.

Lời giải Chọn D

Hàm số y g x=

( )

xác định khi f x xác định và

( )

f x ≠

( )

5 hay

(

)

(

)

112

xx a ax b b

 ≠

≠ <

 ≠ >

Lại có:

( )

lim

x_→+g x = −∞ vì

( )

lim1 1

lim 5 0, 5 khi 1

x f x f x x

++→+→=

− = < →

 

  



lim

( )

x a_→ +g x = +∞ vì

( )

lim1 1

lim 5 0, 5 khi

x f x f x x a

++→+→=

− = > →

 

  



lim

( )

x b_→ +g x = +∞ vì

( )

lim1 1

lim 5 0, 5 khi

x f x f x x b

++→+→=

− = > →

 

  



nên đồ thị hàm số y g x=

( )

có 3 đường tiệm cận đứng : x = , x a1 = , x b= .

Mặt khác: lim

( )

x→+∞g x = ,

( )

1lim

x→−∞g x = − nên đồ thị hàm số y g x=

( )

có 2 đường

tiệm cận ngang: y = , 0 17y = − .

Vậy tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số y g x=

( )

là 5.

(60)

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

( )

3 2

f x

−là

A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.

Lời giải Chọn D

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra: lim

( )

x→+∞ f x = , xlim→−∞ f x

( )

= +∞

Do đó: lim 3

( )

2 1

x→+∞ f x − = , xlim 3→−∞ f x

( )

−2= +∞

Suy ra:

( )

lim 2

3 2

x→+∞ f x − = ,

( )

lim 0

3 2

x→−∞ f x − =

Hay: Đồ thị hàm số

_{( )}

3 2

f x

− có 2 tiệm cận ngang là y = , 0 y = . 2

Dựa vào bảng biến thiên suy ra : Phương trình 3f x − =

( )

2 0 có 4 nghiệm thực phân biệt.

Giả sử 4 nghiệm đó là x ∈ −∞ −₁

(

; 1

)

, x ∈ −₂

(

1;0

)

, x ∈₃

( )

0;1 , x ∈ + ∞₄

(

)

. Dựa vào bảng biến thiên suy ra:

( )

lim 0

x x_→ + f x = ,

( )

2 _lim 2

3 x x 3 2

f x

→

< ⇒ = −∞

− .

Hay: x x= 1 là 1 tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=₃_{f x}

_{( )}

2 ₋₂.

Tương tự, ta có:

_{( )}

2lim

3 2

x x_→ + f x − = −∞,

( )

2lim

3 2

x x_→ + f x − = −∞,

( )

2lim

3 2

x x_→ + f x − = +∞

Suy ra đồ thị hàm số

( )

3 2

f x

− có 4 tiệm cận đứng là x x= 1 , x x= 2, x x= 3, 4

(61)

Vậy đồ thị hàm số

_{( )}

3 2

f x

− có tất cả 6 tiệm cận đứng và tiệm cận ngang .

Câu 7. Cho hàm số y f x=

( )

có bảng biến thiên sau:

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

_{( )}

( )

f xy

f x

− bằng

A. 4 . B. 3. C. 2 . D. 1.

Lời giải Chọn D

Đặt

( )

f xg x

f x

− .

Tập xác định: D = \ 1

{ }

( với mọi) Ta có:

+/ TCĐ : Do f x >

( )

2∀ x ∈\ 1

{ }

⇒ đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng.+/ TCN : Xét

( )

_{( )}

( )

lim lim

x x

f xg x

f x

→−∞ = →−∞ − = +∞;

( )

lim lim

2 3

x x

f xg x

f x

→+∞ = →+∞ − =

⇒ đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là đường thẳng 53

y = .

Vậy tổng số TCĐ và TCN của đồ thị hàm số bằng 1 .

Câu 8. Hàm số y f x=

( )

xác định trên \ 1;1

{

−

}

, có đạo hàm trên \ 1;1

{

−

}

và có bảng biến thiên như sau :

x

y′

y

−∞

−1

₀

1 +∞

0 −

+

+∞ _+∞ _+∞

−∞

0

Đồ thị hàm số

_{( )}

11y

f x=

− có bao nhiêu tiệm cận (tiệm cận đứng và tiệm cận ngang)?

(62)

Lời giải Chọn C

Nhìn vào bảng biến thiên ta có

( )

_{( )}

lim 0 lim 1

x→+∞ f x = ⇒x→+∞ f x − = − ;

( )

lim lim 0

1x→−∞ f x = +∞ ⇒x→−∞ f x − = .

⇒ đồ thị hàm số

_{( )}

yf x

− có hai tiệm cận ngang là hai đường thẳng y = − ; 10

y = .

( )

1 0 ; 1

x a af x

= < −

− = ⇔  ₌

 .

( )

_{( )}

0 0

lim 1 lim

x→ f x = ⇒ x→ f x − = +∞. Vì f x > khi

( )

1 x →0 .

Tương tự , lim

_{( )}

x a_→ + f x − = −∞ nên đồ thị hàm số

( )

f x

− có hai tiệm cận đứng là hai đường thẳng x a= ; x = . 1

Vậy hàm số

_{( )}

f x

− có 4 đường tiệm cận .

Câu 9. Cho hàm số bậc bốn y f x=

( )

có bảng biến thiên như sau :

Hỏi đồ thị

( )

(

)

2 2

2 ₂ ₂ 5 4 ₁₀ 3 ₅ 2 ₈ ₄

f x x x

f x f x x x x x x

 −  + − − + +

  có bao nhiêu tiệm

cận đứng và ngang?

A. 7 . B. 6 . C. 5. D. 4.

Lời giải Chọn C

(63)

Đặt

( )

(

)

( )

(

( )

)(

)

(

)

2 2 2

2 5 4 3 2 2 2

2 2 10 5 8 4 2 4 1 2 1

f x x x f x x x

g x

f x f x x x x x x f x x x x

+ += = −  + − − + + _ − _ − − + 

(

)(

)

( )

(

)(

)

(

)

( )

(

)(

)

2 2 2 2

2 2

1 2

2 2 1 2 1

2 4 1 2 1

ax x x x x ax x x

f x x x x

− − + +== =− + + + − − − +  _ _ 

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình f x = có 2 nghiệm

( )

2 x a

x b

= =

 trong

đó 0

2ab< >

Với điều kiện _x2_{+ ≥}_x ₀_{thì phương trình}

( )

(

)(

)

2 2 1 2 1 0

f x x x x

x ax b= − = −− + + + = ⇔   _{ =} =

Lại có

( )

(

)(

)

2 2

lim lim

2 2 1 2 1

x x

ax x xg x

f x x x x

→− →−

= = ∞

− + + +

 

  , suy ra có tiệm cận

đứng x = −2

( )

_{( )}

₍

2 2

₎₍

₎

1 1

lim lim

2 2 1 2 1

x x

ax x xg x

f x x x x

→− →−

= = ∞

− + + +

 

  , suy ra có tiệm cận đứng

x = −

( )

_{( )}

₍

2 2

₎₍

₎

lim lim

2 2 1 2 1

x a x a

ax x xg x

f x x x x

→ →

= = ∞

− + + +

 

  , suy ra có tiệm cận đứng

x a=

( )

_{( )}

₍

2 2

₎₍

₎

lim lim

2 2 1 2 1

x b x b

ax x xg x

f x x x x

→ →

= = ∞

− + + +

 

  , suy ra có tiệm cận đứng

x b=

⇒ Hàm số g x có 4 tiệm cận đứng.

( )

(64)

Ta suy ra: lim

( )

lim

_{( )}

₍

₎₍

₎

2 2 1 2 1

x x

ax x x

g x

f x x x x

→∞ →∞

= =

− + + +

 

 

⇒ Hàm số g x

( )

có 1 tiệm cận ngang y = 0

Câu 10. Cho hàm số y f x=

( )

_{xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau :}

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

( )

₍

₃ 1

₎

2 5

y g x

f x x

= =

+ − là

A. 2. B. 4. C. 3. D. 1.

Lời giải Chọn C

+ Ta có:

( )

(

)

lim lim 0

2 5

x→+∞g x =x→+∞ f x + x − = ;

( )

(

)

lim lim 0

2 5

x→−∞g x =x→−∞ f x + x − = .

Đồ thị hàm số y g x=

( )

có 1 tiệm cận ngang là đường thẳng y = . 0
+ Đặt _{u x}₌ 3₊₂_x_{, khi đó} _{f x}

(

3₊₂_x

)

_{− =}_{5 0}_{trở thành:}

( )

5 0

f u − = ⇔ f u

( )

(

)

u a au

= < −

⇔  ₌

 .

+ Với u a= _⇒_x3₊₂_{x a}₌

Xét hàm số _{h x}

( )

₌_x3₊₂_x_có_{h x}_′

( )

₌₃_x2_{+ >}_{2 0}_,_{∀ ∈ }_x _nên_{h x}

( )

_{đồng biến}

trên

(

−∞ + ∞;

)

, mà phương trình bậc ba có ít nhất 1 nghiệm nên phương trình

3 ₂

x + x a= có nghiệm duy nhất giả sử là x₁.

+ Với u =1 _⇒_x3₊₂_x₌₁_{do chứng minh trên nên phương trình cũng có 1}

(65)

+ Do x , 1 x không là nghiệm của tử số của 2 g x nên giới hạn của

( )

g x khi

( )

dần tới x và giới hạn của ₁ g x

( )

khi x dần tới x đều là vô cực. ₂

Suy ra đồ thị hàm số y g x=

( )

có 2 tiệm cận đứng là x x= ₁ và x x= ₂.

+ Vậy, tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y g x=

( )

là 3.

Câu 11. Cho hàm số đa thức bậc bốn y f x=

( )

có BBT như sau:

Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

( ) (

)

( )

1 3

x x

g x

f x f x

− +

+ là :

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

Lời giải Chọn C

Xét PT

( )

2 ₃ ₀ 0

f x

f x f x

f x

=

+ = ⇔ 

= −

 trong đó:

( )

(

)

0 1;

2 ( )

f x x x ng kép

x x

 = −

= ⇔_ = ∈

 = ∈ +∞

( )

(

)

(

)

1 ( )

3 ; 3 ( / 3)

ng kép

kox

f x x x do

x x

t m x

 =

= − ⇔_ = ∈ −∞ − ≥ −

 = ∈ +∞

Kiểm tra các giới hạn ta thấy đồ thị hàm số

( ) (

)

( )

1 3

x x

g x

f x f x

− +

+ có 5 tiệm cận đứng là

(66)

Câu 1. Cho hàm số y f x=

( )

có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số

( )

₂

_{( )}

( )

f x f x

y g x

f x

+ +

= =

− có tổng số tất cả các đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang là

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

Lời giải Chọn C

Ta có

( )

2 1

lim lim ₉ 1

x x

f x f xg x

f x

→−∞ →−∞

+ +

= =

− và

( )

2 1

lim lim ₉ 1

x x

f x f xg xf x→−∞ →−∞+ += =− .

Suy ra đường thẳng y = là tiệm cận ngang của đồ thị 1 y g x=

( )

₍

_{( )}

(

( )

₎

₍

_{( )}

)

₎

3 3

f xy g x

f x f x

= =

− + .

Dựa vào BBT ta có

( )

3 1

f x x a

x b

=

= ⇔_ = < − = >

Với x> ⇒0 f x

( )

<3,

( )

(

( )

)

( )

(

)

(

( )

)

20 01lim lim3 3x xf xg x

f x f x

+ +

→ →

= = −∞

− + suy ra đường thẳng x =0
là tiệm cận đứng.

Với x a> ⇒ f x

( )

<3,

( )

(

( )

)

( )

(

)

(

( )

)

21lim lim3 3

x a x a

f xg x

f x f x

+ +

→ →

= = −∞

− + suy ra đường thẳng x a=là tiệm cận đứng.

Với x b> ⇒ f x

( )

>3,

( )

(

( )

)

( )

21lim lim3 3

x b x a

f xg x

f x f x

+ +

→ →

= = +∞

− + suy ra đường thẳng x b= là tiệm cận đứng.

Dựa vào BBT ta có

( )

3 ,0 4

, 4

x c c

f x

x d d

= < <

= − ⇔  ₌ _>

(67)

Với x c> ⇒ f x

( )

< −3,

( )

₍

_{( )}

(

( )

₎

₍

_{( )}

)

₎

lim lim

3 3

x c x c

f xg x

f x f x

+ +

→ →

= = +∞

− + suy ra đường thẳng x c=là tiệm cận đứng.

Với x d> ⇒ f x

( )

> −3 ,

( )

(

( )

)

( )

(

)

(

( )

)

lim lim

3 3

x c x c

f xg x

f x f x

+ +

→ →

= = +∞

− + suy ra đường thẳng

x d= là tiệm cận đứng.

Vậy tổng số các đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị y g x=

( )

là 6.

Dạng 8: Biết BBT của hàm số y f x=

( )

, tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

( )

y g x= , trong bài toán tham số.

Câu 1. Cho hàm số y f x=

( )

bảng biến thiên như sau:

Số giá trị m∈ , m∈ −

[

10;10

]

để đồ thị hàm số

( )

_{( )}

( )

f xy g x

f x m

= =

− + có 4 đường tiệm cận là:

A. 5. B. 4. C. 10. D. 21.

Lời giải Chọn A

+ Ta có

( )

lim lim

1 6

x x

f xg x

f x m m

→−∞ = →−∞ − + = −

( )

_{( )}

( )

lim lim

1 3

x x

f xg x

f x m m

→+∞ = →+∞ − + = −

- Xét với m = thì đồ thị hàm số 6 y g x= ( )nhận đường thẳng có phương trình 23

y = − là TCN

Khi đó phương trình: f x

( )

= − =m 1 5 có 2 nghiệm phân biệt ⇒ ĐTHS có 2 TCĐ ⇒ ĐTHS có 3 đường tiệm cận ⇒m =6 (không thỏa mãn).

- Xét m = ⇒3 ĐTHS y g x=

( )

nhận đường thẳng có phương trình 53

(68)

Khi đó phương trình: f x

( )

= − =m 1 2 có 1 nghiệm ⇒ ĐTHS có 1 TCĐ ⇒ ĐTHS có 2 đường tiệm cận ⇒m = (không thỏa mãn). 3

- Với m ≠3 và m ≠6 thì đồ thị hàm số y g x=

( )

nhận 2 đường thẳng có phương trình 5

− ;

− là TCN

Xét phương trình: f x m

( )

− + = ⇔1 0 f x

( )

= −m 1

( )

Để ĐTHS y g x=

( )

có 4 đường tiệm cận thì

( )

* có 2 nghiệm phân biệt

( ) { }

2;3 4

[

)

⇒ ∈ _ _ + ∞

Do ĐK nên m∈

( ) { } (

2;3 _ 4 _ 6;+ ∞

)

Vậy m∈

( ) { } (

2;3 _ 4 _ 6;+ ∞

)

_{do m∈ ,}m∈ −

[

10;10

]

nên m∈

{

4;7;8;9;10

}

Câu 2. Cho hàm số y f x=

( )

có bảng biến thiên như sau

Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số y g x

( )

_{( )}

f x2

( )

f x m

= =

− có đúng 3 tiệm cận đứng.

A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 .

Lời giải Chọn B

Ta có:

( )

_{( )}

( )

2 2

lim lim

x x

f xg x

f x m

− −

→ = → − = +∞ nên m∀ , đồ thị hàm số y g x=

( )

ln có một tiệm cận đứng

x = .

Mặt khác, từ bảng biến thiên của hàm số y f x=

( )

thì phương trình f x m

( )

− =0 tối đa 2
nghiệm. Vậy để đồ thị hàm số y g x=

( )

có đúng 3 tiệm cận đứng thì điều kiện cần là phương
trình f x

( )

=m có đúng 2 nghiệm phân biệt x1, x khác 2 2 ⇔ < <3 m 6.

Khi đó

( )

1 1

lim lim

x x x x

f xg x

f x m

+ +

→ = → − = +∞,

( )

2 2

lim lim

x x x x

f xg x

f x m

+ +

→ = → − = +∞ nên đồ thị hàm số

( )

(69)

Vậy với 3< <m 6 thì đồ thị hàm số y g x=

( )

có đúng 3 tiệm cận đứng. Do m nguyên nên có 2 giá trị của m thỏa mãn bài toán là m = và 4 m = . 5

Câu 3. Cho hàm số y f x

( )

ax bx c2dx e

+ +

= =

+ có bảng biến thiên như sau:

3 +∞ +∞

∞ ∞

+11

+ 0 0

∞ +∞

yy'

Có bao nhiêu số m nguyên thuộc khoảng

(

−10;10

)

để đồ thị hàm số

( )

x 1
y g x

f x m+

= =

− có đúng 3 đường tiệm cận?

A. 15. B. 6. C. 7. D. 14.

Lời giải Chọn C

•_{Ta có} x + có nghĩa khi 1 x ≥ −1.
• Từ bảng biến thiên suy ra lim

( )

x→+∞g x = ⇒ đồ thị hàm số y g x=

( )

ln có duy nhất 1

đường tiệm cận ngang là y =0, ∀ ∈ m .

•

( )

lim 0

x_→ +g x =

• Khi đó, để đồ thị hàm số y g x=

( )

có đúng 3 đường tiệm cận thì nó phải có 2 đường tiệm cận đứng

⇒ phương trình f x

( )

=m phải có 2 nghiệm phân biệt ∈ − + ∞

[

)

Từ bảng biến thiên suy ra m∈

(

3;+ ∞ ∪ −

) { }

1 _{}m∈,m∈ −[ 10;10]_{→ ∈ −}_m

{

_{1;4;5;6;7;8;9}

}

Vậy, có tất cả 7 giá trị của m thỏa mãn.

Câu 4. Cho hàm số y f x=

( )

xác định trên \ 0

{ }

và có bảng biến thiên

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

(

)

( )

3 2

2 2

x x x

x f x m

+ +

+ _ − _ có đúng ba đường tiệm cận.

(70)

C. m ≤ . 2 D. m < . 2

Lời giải Chọn D

Điều kiện xác định của hàm số

₍

₎

( )

3 2

2 2

x x x

x f x m

+ +

+ _ − _ là:

( )

f x m

>

 _≠

 .

Ta có lim 0

x→+∞y= ⇒ đồ thị hàm số

(

)

( )

3 2

2 2

x x x

x f x m

+ +

+ _ − _ ln có tiệm cận ngang y = . 0

Để đồ thị hàm số

₍

₎

( )

3 2

2 2

x x x

x f x m

+ +

+ _ − _ có đúng ba đường tiệm cận thì đồ thị hàm số

(

)

( )

3 2

2 2

x x x

x f x m

+ +

+ _ − _ có đúng hai tiệm cận đứng.

Suy ra phương trình f x m

( )

− =0 có đúng hai nghiệm phân biệt trên

(

0;+∞ .

)

Từ bảng biến thiên suy ra m < . 2

Câu 5. Cho hàm số y f x=

( )

xác định trên _\ 2

{ }

− , liên tục trên từng khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau

Có bao nhiêu giá trị m nguyên, khác 0 để đồ thị hàm số

( )

f x mg x

f x m

−=

+ có tiệm cận ngang mà khơng có tiệm cận đứng

A. 2. B. 3. C. 8 . D. 4.

Lời giải Chọn A

- TXĐ: D=

{

x∈_| f x

( )

≠ −m

}

- Với m ≠ , 0 lim

( )

lim

( )

x→+∞g x =x→−∞g x = nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y =1, và nghiệm 0

x (nếu có) của phương trình f x

( )

= −m khơng thể là nghiệm của phương trình f x

( )

=m.
- Do đó đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng khi phương trình f x

( )

= −m vô nghiệm⇔

2 m 2

(71)

Câu 6. Hàm số y f x=

( )

_{xác định trên  có bảng biến thiên như hình vẽ sau}

Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số

( )

(

)

1y g x

f x m

= =

− có đúng 2 tiệm cận đứng. Chọn đáp án đúng

A. 0< <m 1. B. 0< ≤m 1. C. m = .0 D. m =1.

Lời giải

Chọn A

Xét phương trình

(

f x

( )

)

2− = ⇔m 0

(

f x

( )

)

2 =m

( )

TH1: nếu m <0 thì phương trình

( )

* vơ nghiệm nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng.

TH2: nếu m =0 thì phương trình

( )

* ⇔ f x

( )

=0 vơ nghiệm. Nên đồ thị hàm số khơng có
tiệm cận đứng.

TH3: nếu m > 0 thì phương trình

( )

( ) 1*

( ) 2

f x m

 =

⇔

 = −

Với

( )

1 : khi 0< <m 1 thì

( )

1 có 2 nghiệm; m = thì 1

( )

1 có nghiệm duy nhất
Với

( )

2 : do m >0 nên − m< ⇒0 f x

( )

= − m vô nghiệm.

Vậy để đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng thì 0< <m 1. Chọn đáp án A

Câu 7. Cho hàm số _{y ax bx cx d}₌ 3₊ 2₊ ₊ _{có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi}_S_{là tập hợp chứa tất cả}

các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số

( )

m x

f x m

−=

(72)

A. 3. B. 4. C. 1. D. 2 .

Lời giải Chọn D.

Với điều kiện x m≤ và lim 0

x→−∞y= thì đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang y = . 0

Để đồ thị hàm số y

_{( )}

m xf x m

−=

− có 4 đường tiệm cận thì đồ thị phải có 3 đường tiệm cận
đứng, suy ra phương trình f x m

( )

− =0 có 3 nghiệm phân biệt x thỏa mãn x m≤ .

Từ đồ thị, phương trình f x

( )

=m có 3 nghiệm khi 1< <m 5. Do m∈ ⇒ ∈_ m

{

2;3;4

}

.
+ Trường hợp 1: Với m = : Từ đồ thị, phương trình 2 f x − = có 3 nghiệm

( )

2 0

1 2 2 3

x x< < <x , suy ra m =2 không thỏa mãn.

+ Trường hợp 2: Với m∈

{ }

3;4 : Từ đồ thị, phương trình f x m

( )

− =0 có 3 nghiệm

1 2 3 3

x x< <x < , suy ra m = , 3 m = thỏa mãn. 4Vậy tập S gồm 2 phần tử.

Câu 8. Cho hàm số y f x=

( )

liên tục trên mỗi khoảng

(

−∞;1

)

(

1;+ ∞

)

và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới.

Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số

( )

2 ₄ 2

f x my g x

f x m

= =

− có duy nhất một tiệm cận đứng và khơng có tiệm cận ngang.

A. m = . 2 B. 2

= = −

 . C. m =1. D.

= = −

 .

(73)

Xét hàm số

( )

₂

_{( )}

( )

₂4

f x m
y g x

f x m

= =

− .

Điều kiện cần:

Nếu m ≠ ±1 thì lim

( )

lim ₂

_{( )}

( )

₂4

x x

f x mg x

f x m

→±∞ →±∞+=− 224 4mm+=−

⇒đồ thị hàm số

( )

₂

_{( )}

( )

₂4

f x my g x

f x m

= =

− có tiệm cận ngang là đường thẳng 2

24 4mym+=− .

Do đó, điều kiện cần để đồ thị hàm số

( )

2 ₄ 2

f x my g x

f x m

= =

− không có tiệm cận ngang là 11mm= = − .

Điều kiện đủ: Phương trình

( )

2 ₄ 2 ₀ 2 1

2 2

f x m

=

− = ⇔ 

= −

+) Với m = , phương trình 1

( )

1 vơ nghiệm, phương trình

( )

2 có nghiệm duy nhất x x= ₀ >1.

( )

_{( )}

( )

0 0 2 2

lim lim

x x x x

f x mg x

f x m

→ →

− = +∞ −∞

( )

(do f x

( )

0 + = − = − ≠m m 1 0)

⇒đồ thị hàm số

( )

₂

_{( )}

( )

₂4

f x my g x

f x m

= =

− có đúng 1 tiệm cận đứng là đường thẳng x x= 0.

+) Với m = −1, phương trình

( )

2 vơ nghiệm, phương trình

( )

1 có nghiệm duy nhất x x= ₀ >1.

( )

_{( )}

( )

0 0 2 2

lim lim

x x x x

f x mg x

f x m

→ →

− = +∞ −∞

( )

(do f x

( )

0 + = − = ≠m m 1 0)

⇒đồ thị hàm số

( )

₂

_{( )}

( )

₂4

f x my g x

f x m

= =

− có đúng 1 tiệm cận đứng là đường thẳng x x= 0.

Vậy 1

1mm= = −

 thỏa mãn bài tốn.

(74)

Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc [−10;10

]

của m để đồ thị hàm số y

_{( )}

₂3

f x m

− có 4 tiệm cận đứng.

A. 5. B. 2 . C. 3. D. 4 .

Lời giải Chọn C

Đồ thị hàm số y

_{( )}

₂3

f x m

− có 4 tiệm cận đứng khi phương trình

( )

f x =m có 4 nghiệm x phân biệt.

Đặt _{t x}₌ 2_,_{t ≥}₀_{. Từ bảng biến thiên của hàm số}_{y f x}₌

( )

_{ta thấy, phương trình} _{f t}

( )

₌_m_có

2 nghiệm dương t phân biệt khi 1− < <m 3.

Với mỗi giá trị t >0 cho ta 2 giá trị đối nhau của x, nên với điều kiện − < <1 m 3, phương
trình _{f x}

( )

2 ₌_m_{có 4 nghiệm}_x_{phân biệt.}

Vậy đồ thị hàm số y

_{( )}

₂3

f x m

− có 4 tiệm cận đứng khi 1− < <m 3.
Vì m∈ nên m∈

{

0;1;2

}

Câu 10. Cho hàm số y f x=

( )

có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.

Số giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số

( )

y g x

f x m

= =

− có đúng 5 tiệm cận là

A. 3. B. 2. C. 1. D. 0.

Lời giải Chọn C

Xét PT f x m

( )

− =0 có nhiều nhất là 3 nghiệm khi 1< <m 3 và y g x=

( )

có tử số bằng 1
ln khác 0 với mọi giá trị của m nên đồ thị y g x=

( )

có nhiều nhất là 3 TCĐ

Có lim

( )

x→+∞g x = và

( )

1lim

x→−∞g x = −m nên đồ thị y g x=

( )

có 2 TCN nếu m ≠1, 1 TCN nếu

m = .

Vậy đồ thị y g x=

( )

có đúng 5 TC khi 1< <m 3. Kết hợp m Z∈ được m =2. Suy ra có 1 giá trị nguyên của m tmđb.

Phần 3: Biết giới hạn của hàm số y f x=

( )

tại một điểm hoặc tại vô cực.

x −∞ 0 1 +∞

( )

f x′ + + ₀ −

( )

(75)

Dạng 9: Biết giới hạn của hàm số y f x=

( )

tại một điểm hoặc tại vơ cực, tìm tiệm cận đứng, tiệm
cận ngang của đồ thị hàm số y f x=

( )

, trong bài tốn khơng chứa tham số.

Câu 1. Cho hàm số y f x=

( )

có lim

( )

x→+∞ f x = , xlim→−∞ f x

( )

= +∞. Khẳng định nào sau đây là khẳng

định đúng?

A. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang.

B. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang phân biệt.

C. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng x =2.

D. Đồ thị hàm số đã cho khơng có tiệm cận ngang

Lời giải Chọn B

Áp dụng định nghĩa về tiệm cận ngang ta suy ra được A là đáp án đúng.

Câu 2. Cho hàm số y f x=

( )

có tập xác định là D =

(

0;+ ∞

)

và

lim

x_→ + y= −∞, lim_x_→+∞y= +∞. Mệnh đề

nào sau đây đúng?

A. Đồ thị hàm số y f x=

( )

khơng có tiệm cận đứng và có tiệm cận ngang.

B. Đồ thị hàm số y f x=

( )

có tiệm cận đứng và có tiệm cận ngang.

C. Đồ thị hàm số y f x=

( )

có tiệm cận đứng và khơng có tiệm cận ngang.

D. Đồ thị hàm số y f x=

( )

khơng có tiệm cận đứng và khơng có tiệm cận ngang.

Lời giải Chọn C

Do x₌0+_{là một đầu mút của tập xác định và}0

lim

x_→ + y= −∞ nên đường thẳng x =0( hay là trục

Oy ) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Với D =

(

0;+ ∞

)

, ta kiểm tra được giới hạn của hàm số tại +∞ (khơng có giới hạn tại −∞ ). Theo giả thiết, lim

x→+∞y= +∞ nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang.

Câu 3. Cho hàm số y f x=

( )

có đồ thị là đường cong

( )

C và các giới hạn

( )

lim 1

x_→ + f x = ;

( )

lim 1

x_→ − f x = ; _xlim_→−∞ f x

( )

=2; _xlim_→+∞ f x

( )

=2. Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Đường thẳng y = là tiệm cận ngang của 2

( )

C .

B. Đường thẳng y = là tiệm cận ngang của 1

( )

C .

C. Đường thẳng x = là tiệm cận ngang của 2

( )

C .

D. Đường thẳng x =2 là tiệm cận đứng của ( )C .

(76)

Ta có:

( )

lim 2lim 2xxf xf x→−∞→+∞==

 ⇒ đường thẳng y = là tiệm cận ngang của 2

( )

C .

Câu 4. Cho hàm số y f x=

( )

_{liên tục trên  thỏa mãn} lim

( )

x→−∞ f x = , xlim→+∞ f x

( )

=1. Tổng số đường

tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

A. 2 . B. 1. C. 3. D. 0 .

Lời giải
Chọn A

Do hàm số y f x=

( )

liên tục trên  nên đồ thị hàm số khơng có đường tiệm cận đứng.

Do lim

( )

x→−∞ f x = , xlim→+∞ f x

( )

=1 nên y =0, y =1 là các đường tiệm cận ngang.
Câu 5. Cho hàm số y f x=

( )

có lim

( )

x→+∞ f x = và xlim→−∞ f x

( )

= −1. Khẳng định nào sau đây là khẳng

định đúng?

A. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là x = và 1 x = −1.

B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang.

C. Đồ thị hàm số đã cho khơng có tiệm cận ngang.

D. Đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang là y = và 1 y = − . 1

Lời giải Chọn D

Hàm số y f x=

( )

có lim

( )

x→+∞ f x = và xlim→−∞ f x

( )

= −1 suy ra đồ thị hàm số đã cho có hai

đường tiệm cận ngang là y = và 1 y = − . 1

Câu 6. Cho hàm số y f x=

( )

liên tục, không âm trên R và thỏa mãn lim

( )

x→−∞ f x = , xlim→+∞ f x

( )

=2 .

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2 2 1.

( )

x f x

+ +

+ là:

A. 3. B. 2. C. 0. D. 1

Lời giải Chọn A

( )

2 2 1 1₂. 1

2 1. 1

lim lim lim ₃ 2

3 ₁

x x x

f x

x f x _x _x

yxx→−∞ →−∞ →−∞− + ++ += = = −

+ ₊ ⇒ = −y 2 là tiệm cận ngang

( )

2 2 1 1₂. 1

2 1. 1

lim lim lim ₃ 4

3 ₁

x x x

f x

x f x _x _x

yxx→+∞ →+∞ →+∞+ ++ += = =

+ ₊ ⇒ =y 4 là tiệm cận ngang

( )

( 3) ( 3) ( 3)

2 1. 1 2 10. 3 1

lim lim lim

3 3

x x x

x f x f

yx x+ + +→ − → − → −+ + − += = = ±∞+ +

( )

( 3) ( 3) ( 3)

2 1. 1 2 10. 3 1

lim lim lim

3 3

x x x

x f x f

(77)

⇒ = − là tiệm cận đứng.

Câu 7. Cho hàm số y f x=

( )

liên tục trên  ; ( ) 0f x > , x∀ ∈  và lim

( )

x→−∞ f x = và xlim→+∞ f x

( )

= +∞

Số tiệm cận của hàm số

( )

1 2019

g x

f x x

= +

+ là

A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4.

Lời giải Chọn B

Ta có: + y f x=

( )

_{liên tục trên  và} f x >

( )

0, x∀ ∈  + _{x + > , x}2 _{1 0} _{∀ ∈ }

 Tập xác định của hàm số g x : D = 

( )

1 2019 1 2019

lim lim lim 0

1 1

x→+∞ f x x x→+∞ f x x→+∞x

 

+ = + =

 

 ₊  ₊

  ⇒ y = là tiệm cận ngang 0

. lim

_{( )}

1 2019₂ lim

_{( )}

1 lim 2019 1₂ 0

1 1 2

x→−∞ f x x x→−∞ f x x→−∞x

 

+ = + = +

 

 ₊  ₊

  ⇒

y = là tiệm cận ngang

Vậy có 2 đường tiệm cận.

Câu 8. Cho hàm số y f x=

( )

_{xác định và liên tục trên  . Biết}lim

( )

x→−∞ f x = , ₃

( )

lim 1

f x

 → _{ }

= và hàm

số

( )

(

)

5 1

1 2 3

f xy g x

f x x

−

= =

 +  −

  . Trong các khẳng định sau về đồ thị hàm số y g x=

( )

, khẳng định nào đúng:

A. Đồ thị hàm số y g x=

( )

khơng có tiệm cận ngang và tiệm cận đứng.

B. Đồ thị hàm số y g x=

( )

có tiệm cận ngang y = và khơng có tiệm cận đứng. 2

C. Đồ thị hàm số y g x=

( )

có tiệm cận ngang y = và tiệm cận đứng 0 3
2

x = .

D. Đồ thị hàm số y g x=

( )

có tiệm cận ngang y =2 và tiệm cận đứng 32

x = .

Lời giải Chọn C

(78)

( )

(

)

( )

225 115 1

lim lim lim 0

2 31 2 3

x x x

f x
f xf x

g x

f x x

→−∞ →−∞ →−∞− + − _ _= = =− +  −

  suy ra đường thẳng y = là 0

tiệm cận ngang của đồ thị y g x=

( )

(

)

( )

3 3 3

2 2 2

5 1

lim lim lim

2 3

1 2 3

x x x

f xf xf x

g x

f x x

+ + +     → _{ } → _{ } → _{ }− + − _ _= = = +∞− +  −

  suy ra đường thẳng

x = là tiệm cận đứng của đồ thị y g x=

( )

Câu 9. Cho hàm số y f x=

( )

xác định trên

(

1;+ ∞

)

và thỏa mãn lim

( )

2x→+∞ f x = .

Xét hàm số

( )

1 2 1

(

)

f x x

y g x

+ +

 

 

= = −

− . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Đường thẳng y = − là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 1 y g x=

( )

B. Đường thẳng y =5 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y g x=

( )

C. Đường thẳng y =2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y g x=

( )

D. Đường thẳng y = là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 3 y g x=

( )

Lời giải Chọn D

Ta có

( )

1 2 1

(

)

( )

lim lim 3 lim ₁ 3

2 1

x x x

f x x f x

g x _x

xx→+∞ →+∞ →+∞  +  +   +   = _ − _= _ − _−−    + 

( )

lim 1 _{2 1}

lim 3 3 3

1 1

lim

2 1 2

xxxf xxx→+∞→+∞→+∞+  ₊ = ₋ − = − =+

Vậy đường thẳng y = là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 3 y g x=

( )

Câu 10. Cho hàm số y f x=

( )

xác định, liên tục trên  và có lim

( )

x→+∞ f x = +∞, xlim→−∞ f x

( )

= +∞.

Phương trình

( )

f x = có ba nghiệm phân biệt. Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của

đồ thị hàm số

( )

2 1

f x=

− là:

A. 4. B. 3. C. 1. D. 2.

Lời giải Chọn A

Đặt

( )

2 1

h x

f x=

(79)

*) Tiệm cận ngang:

Ta có:

( )

lim lim 0

2 1

x→+∞h x =x→+∞ f x − = .

( )

_{( )}

lim lim 0

2 1

x→−∞h x =x→−∞ f x − = .

Suy ra đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang y =0. *) Tiệm cận đứng:

Xét phương trình: 2f x − =

( )

1 0

( )

f x

⇔ = .

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình

( )

f x = có ba nghiệm phân biệt a b c, , thỏa mãn a b c< < .

Đồng thời lim

( )

lim

( )

lim

( )

x a_→ +h x =x b_→ −h x =x c_→ +h x = +∞ nên đồ thị hàm số y h x=

( )

có ba đường tiệm

cận đứng là x a= , x b= và x c= .

Vậy tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y h x=

( )

là bốn.

Câu 11. Cho hàm số y f x=

( )

liên tục trên khoảng 1 ;2 _{+ ∞}

 

  và có xlim_→1+ f x

( )

= +∞, _xlim_→+∞ f x

( )

=3.

Xét hàm số

( )

3 1

f xg x

f x f x

−
=

− .

Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

A. Đồ thị hàm số y g x=

( )

có hai tiệm cận đứng là đường thẳng 0; 12

x= x= .

B. Đồ thị hàm số y g x=

( )

có tiệm cận ngang là đường thẳng 815

y = .

C. Đồ thị hàm số y g x=

( )

có tiệm cận ngang là đường thẳng y =3.

D. Đồ thị hàm số y g x=

( )

có đúng một tiệm cận đứng là đường thẳng x = . 1

Lời giải Chọn B

Ta có

( )

3 1 1 1

2 1

f xg x

f x f x

−

= = +

−−

( )

_{( )}

1 1

lim lim 0

2 1

x_→+g x x_→+ f x f x

 

= _ + _=

−

(80)

( )

_{( )}

1 1 1 8

lim lim

2 1 3 5 15

x→+∞g x x→+∞g x f x f x

 

= =__ + __= + =

−

  nên đồ thị có tiệm cận ngang là

đường thẳng 815

y = .

Câu 12. Cho hàm số y f x=

( )

xác định trên , thỏa mãn lim

( )

x→−∞ f x = −∞,xlim→+∞ f x

( )

=1 và f x < ,

( )

∀ ∈  . Xét hàm số

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

3 2

2 2 1

4 5 2

f x f x f x

g x

f x f x f x

+ − −

− + − . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

A. Đồ thị hàm số hàm số g x có các đường tiệm cận ngang là

( )

y =2 và y =0.

B. Đồ thị hàm số hàm số g x có các đường tiệm cận ngang là

( )

y = −2 và y =0.

C. Đồ thị hàm số hàm số g x chỉ có một đường tiệm cận ngang là

( )

y =2.

D. Đồ thị hàm số hàm số g x chỉ có một đường tiệm cận ngang là

( )

y = −2.

Lời giảiChọn C

Tập xác định của hàm số g x là

( )

.

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

2 2 1

lim lim

4 5 2

x x

f x f x f x

g x

f x f x f x

→−∞ →−∞+ − −=− + −

( )

2 32 3

1 2 1

lim ₄ ₅ ₂ 2

f x f x f x

→−∞

+ − −

= =

− + − vì xlim→−∞ f x

( )

= −∞.

⇒đường thẳng y =2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số hàm số g x .

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

3 2

2 1 1 1

2 2 1

lim lim lim

4 5 2 ₁ ₂

x x x

f x f x f x

g x

f x f x f x _{f x} _{f x}

→+∞ →+∞ →+∞+ + −     + − − _ _{ } _{ } _= =− + − __ ₋ _{ }_{ } ₋ __

( )

2 1 1

lim

1 2

f x f x

→+∞+ +      = = + ∞− −   

    vì xlim→+∞f x

( )

=1 và f x

( )

< ∀ ∈  . 1 x

Vậy đồ thị hàm số hàm số g x chỉ có một đường tiệm cận ngang là

( )

y =2.

Câu 13. Cho y f x=

( )

là hàm số bậc ba, liên tục trên .

Đồ thị hàm số ₃ 1

3 1

g x

f x x

+ − có nhiều nhất bao nhiêu đường tiệm cận.

(81)

Lời giải Chọn A

Đặt _{t x}₌ 3₊₃_x _{⇒ =}_t_′ ₃_x2_{+ > ∀ ∈  .}_{3 0,} _x

Ta có bảng biến thiên:

 Xét _{f x}

(

3₊₃_x

)

_{− =}_{1 0}_{. Vì}_{y f x}₌

( )

_{là hàm số bậc ba nên phương trình} _{f t = có nhiều nhất}

( )

₁

3 nghiệm t.

Từ bảng biến thiên ta suy ra với mỗi giá trị t có đúng một giá trị x.
Khi đó phương trình _{f x}

(

3₊₃_x

)

₌₁_{có nhiều nhất}_{3 nghiệm}_x_.

Do đó đồ thị hàm số y g x=

( )

có nhiều nhất 3 tiệm cận đứng.
 Xét

( )

(

)

lim lim

3 1

x→±∞g x =x→±∞ f x + x −

( )

lim 0

1t→±∞ f t

= =

− ( vì =tlim→±∞ f t

( )

= ±∞ ).

Suy ra đồ thị hàm số y g x=

( )

có 1 tiệm cận ngang là y =0.
Vậy đồ thị hàm số y g x=

( )

có nhiều nhất 4 đường tiệm cận.

Câu 14. Cho hàm sô _{y f x}₌

( )

₌ _x2₊₂_x₊₃_{. Hàm số}

( )

y g x f

f x

 

= _{= }_ __

  có bao nhiêu tiệm cận?.

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3

Lời giải

Chọn B

+) Hàm số y f x=

( )

có tập xác định D = 

+) Ham số

( )

_{( )}

1 ₂ 1 ₂ 2 3

2 3 ₂ ₃

y g x f

f x x x _x _x

 

= = _ _= + +

+ + ₊ ₊

  có tập xác định: D = 

Ta có lim

( )

lim

( )

3x→−∞g x =x→+∞g x =

Vây có 1 tiệm cận ngang.

(82)

( )

_{( )}

( )

2 3

_{( )}

( )

3 ... 2020 2020

_{( )}

( )

2020

2 3 2020

f x f x f x

y g x

f x f x f x

+ + +

= = + + + +

+ + + .

A. 0. B. 2. C. 2019. D. 2021

Lời giải Chọn D

TXĐ: D =_\ 3; 4; 5;...; 2021

{

− − − −

}

+) Với x ∈ − − −i

{

3; 4; 5;....; 2021−

}

ta có lim

( )

; lim

( )

i i

x x_→ +g x = +∞ x x_→ −g x = −∞. Ta có đồ thị hàm số

( )

y g x= có 2019 tiệm cận đứng.

+) Ta có: lim k

_{( )}

( )

1 lim

( )

2020

x x

f x k

g xf x k

→+∞ →+∞+= ⇒ =+ ;

( )

lim 1,lim 2lim 1,kkxxkkx

f x k

k chanf x k

g xf x k

k lef x k

→−∞→−∞→−∞ ₊ =+⇒ =+= − ₊

=> có 2 tiệm cận ngang Vây tổng số tiệm cận là 2021

Dạng 10: Biết giới hạn của hàm số y f x=

( )

tại một điểm hoặc tại vơ cực, tìm tiệm cận đứng, tiệm
cận ngang của đồ thị hàm số y f x=

( )

, trong bài toán chứa tham số.

Câu 1. Cho hàm số f x liên tục trên  và

( )

lim

( )

x→−∞ f x = ; xlim→+∞ f x

( )

= +∞. Có bao nhiêu giá trị

nguyên của tham số m thuộc

[

−2020;2020

]

để đồ thị hàm số

( )

x x x

g x

f x f x m

+ +=

− +

có tiệm cận ngang nằm bên dưới đường thẳng y = −1.

A. 4041. B. 2019. C. 1. D. 10.

Lời giải Chọn C

Do lim

( )

x→+∞ f x = +∞ nên khi x →+ ∞ thì

( )

2 f x − f x → −∞ vì vậy _{2 f x}

( )

₋ _{f x}2

( )

_khơng

có nghĩa nên không tồn tại lim

( )

x→+∞g x .

Xét lim

( )

x→−∞g x

Trước hết lim

( )

x→−∞ f x = nên

( )

2 2

lim 2 lim 2 1

(83)

(

)

(

)(

)

3 3

lim 3 lim

x x

x x x x x x

x x x

→−∞ →−∞+ + + −+ + =+ −3 3lim231 1xxxx→−∞= = − − _ − + _ 

Từ đó có lim

( )

2 2

x→−∞g x m

−=

+ nên đồ thị hàm số g x có tiệm cận ngang là đường thẳng

( )

32 2ym−=+ .

Để tiệm cận ngang tìm được ở trên nằm dưới đường thẳng y = − thì điều kiện cần và đủ là 1

3 ₁

2m 2− _{< −}

3 ₁

2m 2

⇔ >

3 2 2

2 2 0

> +

⇔  _{+ >}

⇔ − < < Tức có duy nhất giá trị nguyên 0

m = thỏa mãn bài toán.

Câu 2. Cho hàm số f x

( )

liên tục trên  có lim

( )

lim

( )

x→−∞ f x =x→+∞ f x = . Gọi S là tập hợp các giá trị

của tham số m để đồ thị của hàm số

( )

(

₍

)

₎

( )

2 2

1 3

2 1 2

x f x

g x

x m x m

 

− _ + _

+ − + − có tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang bằng 2. Tính tổng các phần tử của S.

A. 1

− B. −2. C. −3. D. 3

Lời giải Chọn A

( )

(

)

( )

(

)

2 2

lim li 1 0

2 2

m 3

x x

x f x

g x

x m x m

→+∞ →+∞ − _ + _=+ − + −

= ,

( )

(

)

( )

(

)

22 2

lim li 1 0

2 2

m 3

x x

x f x

g x

x m x m

→−∞ →−∞ − _ + _=+ − + −=

nên đồ thị hàm số g x

( )

có một tiệm cận ngang là đường thẳng y =0.
Đặt _{h x}

( )

₌_x2₊₂

(

_m₋₁

)

_x₊_m2₋₂_.

Yêu cầu của bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi đồ thị hàm số g x có đúng một tiệm cận

( )

đứng, điều này xảy ra khi và chỉ khi h x =

( )

0 có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm 1

x = hoặc h x = có nghiệm kép.

( )

(

)

(

)

(

)

2 ₂

1 2 0

1 2 1 2 0

1 0302m mm mhm

 − −_ − >′

 ∆ >_ _

 _{ +}_ _{− +} _{− =}
⇔_ = ⇔ __{∆ =}_′  _ =31231; 33322m _mmm mmm

 _< 

_ _{ =}_ ⇔_ = = − ⇔_ = −  =  =.

Vậy, tổng các phần tử của S là 12− .

Câu 3. Cho hàm số f x

( )

liên tục trên  , có lim

( )

x→+∞ f x = +∞; xlim→−∞ f x

( )

= −∞. Tập hợp tất cả các giá

trị thực của tham số m để đồ thị hàm

( )

21. 2f xg x

m f x

(84)

A. \ 0

{ }

(

0;+∞

)

(

−∞;0

)

{ }

Lời giải Chọn B

TH1: m = 0

( )

lim lim2x xf xg x→±∞ →±∞+= = ±∞

Suy ra đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang. TH2: m <0

( )

lim

x→±∞ f x = +∞

Suy ra _lim

(

_. 2

( )

₂

)

x→±∞ m f x + = −∞

Suy ra lim

( )

x→±∞g x không tồn tại.

TH3: m >0

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

22 21 11 11 1

lim lim lim lim

2 2

. 2

x x x x

f x

f x f x

f xg x

m f x _{f x} _m _m

f x f x

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞   + +   + _ _ _ _= = = =+ ₊ ₊

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

22 21 11 11 1

lim lim lim lim

2 2

. 2

x x x x

f x

f x f x

f xg x

m f x _{f x} _m _m

f x f x

→−∞ →−∞ →−∞ →−∞   + − +   + _ _ _ _= = = = −+ ₊ ₊

Đồ thị hàm số g x có hai tiệm cận ngang là hai đường thẳng

( )

y 1m

= , y 1

= − .

Tóm lại, tập hợp cần tìm là (0;+ ∞ .

)

Câu 4. Cho hàm số f x

( )

liên tục trên  , lim

( )

x→+∞ f x = +∞, xlim→−∞ f x

( )

= −∞. Có bao nhiêu giá trị

nguyên của m trong

(

−2019;2019

)

để đồ thị hàm số

( )

24036 23f xg xmf x+=

+ có hai đường tiệm cận ngang.

A. 0 . B.2018 . C. 4036 . D. 25 .

Lời giải Chọn B

-Với m <0 ta có _lim 2

( )

₃

x→±∞mf x + = −∞, tức xlim→±∞g x

( )

không tồn tại. Đồ thị hàm số g x

( )

(85)

-Với m = thì 0 lim

( )

lim 4036

(

( )

)

x→±∞g x =x→±∞ f x + = ±∞. Đồ thị hàm số g x

( )

khơng có tiệm cận

ngang.

-Với m > , tập xác định của hàm số 0 g x là D =  .

( )

Khi đó:

( )

_{( )}

( )

2 22 24036 40364036

lim lim lim

3 3

x x x

f x

f x f x

g x

f x m m

f x f x

→+∞ →+∞ →+∞ + +  = = =+ +.

( )

_{( )}

( )

2 22 24036 40364036

lim lim lim

3 3

x x x

f x

f x f x

g x

f x m m

f x f x

→−∞ →−∞ →−∞ + +  = = = −− + − +

Đồ thị hàm số g x có 2 tiệm cận ngang là hai đường thẳng

( )

y 4036m

= , y 4036

= − .

Từ tất cả ở trên ta có

(

)

02019;2019mmm> ∈ − ∈ 

{

1;2;3;...;2018

}

⇔ ∈ .

Vậy, có 2018 giá trị nguyên của m.

Câu 5. Cho hàm số f x

( )

đồng biến trên  thỏa mãn lim

( )

x→−∞ f x = và xlim→+∞ f x

( )

= +∞. Có bao nhiêu

số nguyên dương m để đồ thị hàm số

( )

(

)

( )

(

)

( )

3 1 2

4 1

x f x

g x

x x m f x

+ −=

− + + có đúng 2 đường tiệm cận.

A. 0 . B. 2. C. 3. D. Vô số.

Lời giải Chọn B

Điều kiện xác định của hàm số g x :

( )

1; 42 ₀

x≥ − x − x m+ ≠ .

Vì 1

x ≥ − nên không tồn tại giới hạn lim

( )

x→−∞g x .

Vì hàm số f x đồng biến trên  và

( )

lim

( )

x→−∞ f x = ⇒ f x

( )

> ∀ ∈  . 1, x

Ta có:

( )

(

)

( )

(

)

2 2

. 3 1 2

lim lim

1. 4

x x

f x x

g x

f x x x m

→+∞ →+∞

+ −=

(86)

( )

3 4 2

3 1 2

lim . lim ₄ 1.0 0

1 ₁

x x

x x x

mx xf x

→+∞ →+∞

+ −

= = =

− +
+

⇒ Đường thẳng y =0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số g x .

( )

Ta có

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

) ( )

(

)

(

)

( )

2 2 2 2

3 1 2 _{3 3}

4 1 4 3 1 2 1

x f x _x _{f x}

g x

x x m f x x x m x f x

+ − ₋

= =

− + + − + + + + .

Đồ thị hàm số g x có đúng hai tiệm cận khi và chỉ khỉ nó có đúng một tiệm cận đứng, tức là

( )

phương trình _x2₋₄_{x m}_{+ =}₀_{có nghiệm kép}

0, 0 1₃

x x ≥ − hoặc có hai nghiệm phân biệt x x ₁, ₂trong đó ₁ 1, ₂ 1, ₂ 1

x = x ≠ x ≥ − hoặc có hai nghiệm phân biệt x x trong đó ₃, ₄

3 1₃, 4 1₃, 4 1

x < − x ≥ − x ≠ .

Xét bảng biến thiên của hàm số _{h x}

( )

_{= − +}_x2 ₄_x_:

Ta có _x2₋₄_{x m}_{+ = ⇔ = − +}₀ _m _x2 ₄_x

( )

₁ _.

Từ bảng biến thiên suy ra

139

m
mm

 =

=

< −

. Do m là số nguyên dương nên m∈

{ }

3;4 .

Câu 6. Cho hàm số y f x=

( )

liên tục trên  và lim

( )

x→+∞ f x = +∞ , xlim→−∞ f x

( )

= −∞ . Trên đoạn

[

−2020; 2020

]

có bao nhiêu số nguyên m để đồ thị hàm số

( )

(

) ( )

21 . 2020

f xg x

m f x

+ + có

hai tiệm cận ngang.

A. 2020 . B. 2021. C. 4041. D. 2000 .

(87)

Chọn B

Nếu m + < thì 1 0 2020

( )

2020

1 f x 1 x

m m

− − < < − ∀ ∈

+ +  , điều này mâu thuẫn với giả thiết.
Nếu m + = thì 1 0 lim

( )

lim

( )

2020x xf xg x→±∞ →±∞+

= = ±∞. Tức đồ thị hàm số g x khơng có tiệm cận

( )

ngang.

Nếu m+ > ⇔ > −1 0 m 1 thì

( )

(

) ( )

( )

_{( )}

( )

_{( )}

2212lim lim2020

1 . 2020 _. ₁

x x

f x

f xf x

m f x _{f x} _m

f x→+∞ →+∞ + + _ _=+ + _{+ +}

( )

211lim2020 11xf xmmf x→+∞+=++ +

. Do đó đường thẳng 11

+ là tiệm cận ngang của ĐTHS.

Và

( )

(

) ( )

( )

_{( )}

( )

_{( )}

2212lim lim2020

1 . 2020 _. ₁

x x

f x

f xf x

m f x _{f x} _m

f x→−∞ →−∞ + + _ _=+ + ₋ _{+ +}

( )

211lim2020 11xf xmmf x→−∞+−= =+− + +

Do đó đường thẳng 11

−=

+ là tiệm cận ngang của ĐTHS.
Vậy trên đoạn

[

−2020;2020

]

có 2021 số nguyên mthỏa mãn.

Phần 4: Biết biểu thức hoặc đồ thị hoặc BBT của hàm số y f x= '

( )

_{, tìm tiệm cận của hàm số}

( )

y g x= _.

Dạng 11: Biết biểu thức hoặc đồ thị hoặc BBT của hàm số y f x= '

( )

, tìm tiệm cận của hàm số

( )

y g x= _.

Câu 1. Cho hàm số y f x=

( )

liên tục trên  và y f x= ′

( )

có bảng biến thiên như sau.

Đồ thị hàm số g x

( )

_{( )}

2020f x m

− có nhiều nhất bao nhiêu đường tiệm cận đứng ?

(88)

Lời giải Chọn D

Để đồ thị hàm số g x

( )

_{( )}

2020
f x m

− có đường tiệm cận đứng thì phương trình f x m

( )

− =0phải có nghiệm.

Từ bbt của hàm số y f x= ′

( )

suy ra tồn tại a b, sao cho

_{( )}

1 a 1

_{( )}

b ₀

f a f b

− < < <

 ′ = ′ =



Từ đó ta có bbt của hàm số y f x=

( )

như sau

Suy ra phương trình f x m

( )

− =0có nhiều nhất là 4 nghiệm phân biệt.

Vậy đồ thị hàm số g x

( )

_{( )}

2020f x m

− có nhiều nhất 4 đường tiệm cận đứng.

Câu 2. Cho hàm số ( ) 2019₂
( )

g x

h x m m

− − với

4 3 2

( ) ( , , , ), (0) 0

h x =mx +nx +px +qx m n p q∈_ h = . Hàm số y h x= '( ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới :

Có bao nhiêu giá trị nguyên của mđể đồ thị hàm số ( )g x có 2 tiệm cận đứng ?

A. 2 . B. 10. C. 71. D. 2019 .

Lời giải Chọn B

(89)

Ta được _{( )} 4 13 3 2 ₁₅

h x =m x_ − x −x + x_

 .

Đồ thị g x( )có 2đường tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình _{h x}_{( )}₌_{m m}2₋ _có₂_nghiệm

phân biệt .

4 13 3 2

( ) 15 1

f x x x x x m

⇔ = − − + = + có 2nghiệm phân biệt.

Ta có bảng biến thiên của ( )f x .

Do đó 1 32;0 35; 1

3 3

m+ ∈_− _⇔ ∈m _− − _

   . Vậy có 10 số nguyên m.

Câu 3. Cho hàm số y f x=

( )

có đạo hàm liên tục trên  và đồ thị hàm số y f x= ′

( )

như hình vẽ sau:

Xét hàm số 1 ₂

( )2yxf x=−

. Đặt

( )

g x = f x − , tìm điều kiện để đồ thị hàm số

21( )2yxf x=−

có 4 đường tiệm cận đứng.

( )

0 01 0gg><

 . B.

( )

( ) ( )

0 0

1 0

1 . 2 0

ggg g><

 _{− >}



. C.

( )

0 02 0gg>− >

 . D.

(90)

Lời giải Chọn B

Đồ thị hàm số 1 ₂( )

xf x

−

có 4 đường tiệm cận đứng ⇒ Phương trình ( ) 2 02

f x − = phải

có 4 nghiệm phân biệt ⇔ Đồ thị hàm số

( )

= ( )− 22

g x f x cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.

Ta có: g x′

( )

= f x x′

( )

− .

( )

0 0 0

g′ = f′ − = , g′

( )

1 = f′

( )

1 1 0− = , g′

( )

− =2 f′

( )

− + =2 2 0.
Từ đồ thị hàm số y f x= ′

( )

suy ra

• f x′

( )

< ∀ ∈x x,

( ) (

0;1 ∪ −∞ − ⇒; 2

)

g x′

( )

< ∀ ∈0, x

( ) (

0;1 ∪ −∞ −; 2

)

.
• f x′

( )

> ∀ ∈x x;

(

1;+ ∞ ∪ −

) (

2;0

)

⇒g x′

( )

> ∀ ∈0, x

(

1;+ ∞ ∪ −

) (

2;0 .

)

.
Bảng biến thiên của hàm số y g x=

( )

Từ bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số y g x=

( )

cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt

( )

0 0

1 0 .

2 0

ggg

>

⇔_ <

 − <

Vậy chọn B.

(91)

Giá trị của m đề đồ thị hàm số

( )

( ) 20( )

−=

−

f xg x

f x m có 4 tiệm cận là

A. m f< (3). B. f

( )

3 < <m f

( )

−1 .

C. m f> ( 1)− . D. f(3)≤ ≤m f( 1).− .

Lời giải Chọn B

Ta có bảng biến thiên

ĐK: ( ) ≠f x m

Nếu m ≠20 thì đồ thị hàm số khơng có tiệm cận. Nếu m ≠20 thì

( ) 20

lim 1

( )
x

f xf x m

→±∞

−

= ⇒

− Đường thẳng y = là TCN của đồ thị hàm số. 1Phương trình ( ) 20f x = có một nghiệm x a= >3 vì ( 1) 20f − < _.

Suy ra đồ thị hàm số ( )g x có 4 tiệm cận khi phương trình ( )f x m= có 3 nghiệm phân biệt khác a_.

Suy ra (3)f < <m f( 1)− .

Câu 5. Cho hàm số y f x=

( )

là hàm đa thức liên tục trên R thỏa mãn 3 (1) 2 0f − < và

(92)

Đồ thị hàm số

( )

1 ₃

3 ( 2) 3

+ − +

xg x

f x x x có có số tiệm cận đứng là

A. 0. B. 2. C. 1. D. 3.

Lời giải Chọn B

Phương trình ( ) 20f x = có một nghiệm x a= >3 vì ( 1) 20f − < .
Từ đồ thị f x′

( )

_{suy ra} _{f x}

( )

_{là đa thức bậc 6 và}_{lim ( )}

x→±∞ f x = +∞.

ĐK: _{h x}_{( ) 3 (}₌ _{f x}_{+ −}₂₎ _x3₊₃_x_≠₀_.

Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm ( )g x bằng số nghiệm của ( )h x khác −1. Ta đi tìm số nghiệm của phương trình ( ) 0.h x =

'( ) 3 '( 2) 3 3

h x = f x+ − x + . Đặt_{t x}_{= + ⇒}₂ _{h x}_{'( )}₌_{k t}_{( ) 3( '( )}₌ _{f t t}_{− + −}2 _{4 3)}_t _.

Khi đó _{k t}_{( ) 3( '( )}₌ _{f t t}_{− + − = ⇔}2 _{4 3) 0}_t _{f t}_{'( )}_{= − +}_t2 _{4 3(*)}_t

(93)

Ta có: _h_{( 1) 3 (1) 2 0; ( ) 3 ( )}_{− =} _f _{− <} _{h b} ₌ _{f a a}₋ 3₊₃_a_>_0;_a_>₂_.

Dựa vào bảng biến thiên của ( )h x ta thấy ( ) 0h x = có 2 nghiệm phân biệt khác−1. Vậy ( )g x có 2 tiệm cận đứng.

Câu 6. Cho hàm số y f x=

( )

có đạo hàm liên tục trên đoạn

[

−3;3

]

và đồ thị hàm số y f x= '

( )

như
hình vẽ. Đặt

( )

_{( )}

3 ₂ .

2 4

h x

f x x

+ + Biết rằng f

( )

1 = −24. Hỏi trên đoạn [−3;3

]

đồ thị hàm
sốy h x=

( )

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng ?

A. 1. B. 4. C. 2 . D. 0 .

Lời giải Chọn D.

Xét hàm số

( )

(

( )

)

( )

2 4 ' 2. ' 0 ' 1 .

g x f x x g x f x x f x x x

= −

= + + ⇒ = + = ⇔ = − ⇔_ =

(94)

Gọi a là nghiệm của phương trình f x ='

( )

0. Ta có:

( )

(

( )

)

( )

' ' 3 3 3 3 3 3 .

f x dx f x dx f a f f f a f f g g

−

< ⇔ − − < − − ⇔ − > ⇔ − >

∫

Lại có: 3

( )

( ) ( )

( )

' 4 3 1 4 3 1 4 3 39 3 0.

g x dx< ⇔g −g < ⇔g <g + ⇔g < − ⇒g <

∫

ABCD

S là diện tích hình chữ nhật giới hạn bởi 4 đường thẳng: x= −3;x=1;y= −5;y= . 3

Mặt khác: 1

(

( )

)

( )

' ABCD 32 3 1 32 3 11.

g x dx S g g g

−

− < = ⇔ − − < ⇔ − < −

∫

Do đó phương trình g x = vơ nghiệm, vậy đồ thị hàm số đã cho khơng có tiệm cân đứng.

( )

Câu 7. Cho hàm số y f x= ( )có đạo hàm trên R, thỏa (1) 0f = và đồ thị của hàm số y f x= '( ) có dạng như hình vẽ bên. Hỏi đồ thị hàm số ( ) ₂ 2020

( ) ( )

xg x

f x f x

+ có bao nhiêu tiệm cận đứng?

A.3. B.2. C.5. D.4.

Lời giải Chọn C

2_{( )} _{( ) 0} ( ) 0

( ) 1

f xf x f x

f x

=

− _{= ⇔ }

= −

Từ đồ thị hàm số '( )f x ta có:

2'( ) 0 1

f x x

x= −= ⇔_ =

 =

, '( ) 0 2

1 2

xf x

< −> ⇔  _{< <}



(95)

Từ bảng biến thiên ta có:

Phương trình f x =( ) 0 có 3 nghiệm phân biệt khác 0 Phương trình f x = −( ) 1 có hai nghiệm phân biệt khác 0

Vậy đồ thị hàm số ( ) ₂ 2020( ) ( )

xg x

f x f x

+ có 5 tiệm cận đứng

Hỏi Đáp Bao nhiêu