LIVESTREAM 2K4 ÔN THI THPT QUỐC GIA 2022
ĐỒNG ĐẲNG, ĐỒNG PHÂN VÀ DANH PHÁP ESTE - 2k5 - Livestream HÓA cô THU
Hóa học
LÝ THUYẾT ESTE [khái niệm + danh pháp] - 2K5 - Livestream HÓA cô HUYỀN
Hóa học
LIVE ÔN THI VÀO 10 - CHỮA ĐỀ THI THỬ PGD BA ĐÌNH HÀ NỘI - 2k7 - Livestream TOÁN thầy QUANG HUY
Toán
MỞ ĐẦU KIẾN THỨC 12 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ - 2k5 - Livestream TOÁN thầy THẾ ANH
Toán
UNIT 1 LANGUGE - NGỮ PHÁP TRỌNG TÂM - 2k5 Livestream TIẾNG ANH cô QUỲNH TRANG
Tiếng Anh [mới]
ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA - 2K5 Livestream LÝ THẦY TUYÊN
Vật lý
CHỮA ĐỀ THI HỌC KÌ II - TRƯỜNG THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - - 2k5 - Livestream TOÁN thầy THẾ ANH
Toán
Xem thêm ...
Hàm số nào dưới đây có giá trị nhỏ nhất trên tập xác định?
Hàm số \[y = \sin x\] có tập xác định là:
Tập giá trị của hàm số \[y = \sin x\] là:
Hàm số \[y = \cos x\] nghịch biến trên mỗi khoảng:
Đồ thị hàm số \[y = \tan x\] luôn đi qua điểm nào dưới đây?
Hàm số nào sau đây không là hàm số lẻ?
Hàm số nào sau đây có đồ thị không là đường hình sin?
Đường cong trong hình có thể là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
Hàm số \[y = \dfrac{{1 - \sin 2x}}{{\cos 3x - 1}}\] xác định trên:
Tìm chu kì của hàm số \[y = f\left[ x \right] = \tan 2x\].
Tìm chu kì của các hàm số sau \[f\left[ x \right] = \sin 2x + \sin x\]
Tìm chu kì của các hàm số sau \[y = \tan x.\tan 3x\].
Tìm chu kì của các hàm số sau \[y = \sin \sqrt x \]
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hàm số nào sau đây không chẵn, không lẻ?
Hàm số nào trong các hàm số sau có đồ thị nhận \[Oy\] làm trục đối xứng ?
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = 2{\cos ^2}x + \sin 2x\] là
Cho hàm số lượng giác \[f[x] = \tan x - \dfrac{1}{{\sin x}}\].
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Với Phương pháp tính giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác môn Toán lớp 11 sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm các dạng bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 11.
1. Lý thuyết
a] Cho hàm số y = f[x] xác định trên miền D ⊂ R .
- Số thực M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f[x] trên D nếu
- Số thực m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f[x] trên D nếu
b] Tính bị chặn của hàm số lượng giác:
-1 ≤ sin x ≤ 1∀x ∈ R
-1 ≤ cos x ≤ 1∀x ∈ R
2. Các dạng bài tập
Dạng 1. Sử dụng tính bị chặn của hàm số lượng giác
Phương pháp giải:
-1 ≤ sin [u[x]] ≤ 1; 0 ≤ sin2[u[x]] ≤ 1; 0 ≤ |sin[u[x]]| ≤ 1
-1 ≤ cos [u[x]] ≤ 1; 0 ≤ cos2[u[x]] ≤ 1; 0 ≤ |cos[u[x]]| ≤ 1
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số:
a] y = sin2x + 3
b] y = 4sin2xcos2x +1
c] y = 5 – 3cos23x
Lời giải
a] Ta có: -1 ≤ sin 2x ≤ 1 ∀x ∈ R
⇔ 2 ≤ sin 2x + 3 ≤ 4 ∀x ∈ R
Vậy hàm số y = sin2x + 3 có giá trị lớn nhất là 4 và giá trị nhỏ nhất là 2.
b] y = 4sin2xcos2x +1 = 2sin4x + 1
Ta có: -1 ≤ sin 4x ≤ 1 ∀x ∈ R
⇔ -2 ≤ 2sin 4x ≤ 2 ∀x ∈ R
⇔ -1 ≤ 2sin 4x + 1 ≤ 3 ∀x ∈ R
Vậy hàm số y = 4sin2xcos2x +1 có giá trị lớn nhất là 3 và giá trị nhỏ nhất là -1.
c] Ta có: 0 ≤ cos23x ≤ 1 ∀x ∈ R
⇔ 0 ≤ 3cos23x ≤ 3 ∀x ∈ R
⇔ -3 ≤ -3cos23x ≤ 0 ∀x ∈ R
⇔ 2 ≤ 5 - 3cos23x ≤ 5 ∀x ∈ R
Vậy hàm số y = 5 – 3cos23x có giá trị lớn nhất là 5 và giá trị nhỏ nhất là 2.
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số:
a] y =
b] y = cos2x + 4sinx - 5
c] y = 4|cos[3x-1]| + 1
Lời giải
a] Điều kiện xác định: 2 - sin2x ≥ 0 ⇔ sin 2x ≤ 2 [Luôn đúng với mọi x]
Tập xác định D = R.
Ta có: -1 ≤ sin 2x ≤ 1 ∀x ∈ R
⇔ -1 ≤ -sin 2x ≤ 1 ∀x ∈ R
⇔ 1 ≤ 2 - sin 2x ≤ 3 ∀x ∈ R
⇔ 1 ≤
Vậy hàm số y =
b] y = cos2x + 4sinx – 5
= 1 – 2sin2x + 4sinx – 5
= -2sin2x + 4sinx – 4
= -2[sin2x – 2sinx + 1] – 2
= -2[sinx – 1]2 – 2
Ta có: -1 ≤ sinx ≤ 1 ∀x ∈ R
⇔ -2 ≤ sinx - 1 ≤ 0 ∀x ∈ R
⇔ 0 ≤ [sinx - 1]2 ≤ 4 ∀x ∈ R
⇔ -8 ≤ -2[sinx - 1]2 ≤ 0 ∀x ∈ R
⇔ -10 ≤ -2[sinx - 1]2 - 2 ≤ -2 ∀x ∈ R
Vậy hàm số y = cos2x + 4sinx – 5 có giá trị lớn nhất là -2 và giá trị nhỏ nhất là -10.
c] Ta có: 0 ≤ |cos[3x-1]| ≤ 1 ∀x ∈ R
⇔ 0 ≤ 4|cos[3x-1]| ≤ 4 ∀x ∈ R
⇔ 1 ≤ 4|cos[3x-1]| + 1≤ 5 ∀x ∈ R
Vậy hàm số y = 4|cos[3x-1]| + 1 có giá trị lớn nhất là 5 và giá trị nhỏ nhất là 1.
Dạng 2. Hàm số có dạng y = asinx + bcosx + c [với a, b khác 0]
Phương pháp giải:
Bước 1: Ta đưa hàm số về dạng chỉ chứa sin[u[x]] hoặc cos[u[x]]:
y = asinx + bcosx + c =
Bước 2: Đánh giá -1 ≤ sin [x + α] ≤ 1 ∀x ∈ R
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
a] y = sin2x - √3cos2x + 1
b] y = 3sinx + 4cosx + 6
Lời giải
Vậy hàm số y = sin2x - √3cos2x + 1 có giá trị lớn nhất là 3 và giá trị nhỏ nhất là -1.
b] y = 3sinx + 4cosx + 6 =
Đặt
Ta được: y = 5[sinxcosα + cosxsinα] + 6 = 5[sinx + α] + 6
Ta có: -1 ≤ sin [x + α] ≤ 1 ∀x ∈ R
⇔ -5 ≤ 5sin [x + α] ≤ 5 ∀x ∈ R
⇔ 1 ≤ 5sin [x + α] + 6 ≤ 11 ∀x ∈ R
Vậy hàm số y = 3sinx + 4cosx + 6 có giá trị lớn nhất là 11 và giá trị nhỏ nhất là 1.
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số √3sin2x + sin2x - cos2x + 1
Lời giải
y = √3sin2x + sin2x - cos2x + 1
Vậy hàm số có giá trị lớn nhất là 3 và giá trị nhỏ nhất là -1.
Dạng 3: Hàm số có dạng
Lý thuyết: Phương trình asinx + bcosx = c có nghiệm khi a2 + b2 ≥ c2 [Lý thuyết có trong phần 7]
Phương pháp giải:
Bước 1: Điều kiện xác định: a2sinx + b2cosx = c2 ≠ 0
Bước 2:
⇔ [ya2 - a1]sinx + [yb2 - b1]cosx = -yc + c1 [*]
Bước 3: Để phương trình [*] có nghiệm x thì [ya2 - a1]2 + [yb2 - b1]2 ≥ [-yc + c1]2
Tìm đoạn chứa y, sau đó đưa ra kết luận về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
Lời giải
Điều kiện xác định: sinx + cosx + 2 ≠ 0
Ta có: sinx + cosx + 2 =
Do đó sinx + cosx + 2 ≠ 0 ∀x∈ R
Tập xác định: D = R.
Ta có
⇔ ysinx + ycosx + 2y = sinx + 2cosx + 1
⇔ [y - 1]sinx + [y - 2]cosx = 1 - 2y [*]
Để phương trình [*] có nghiệm x thì [y - 1]2 + [y - 2]2 ≥ [1 - 2y]2
⇔ y2 - 2y + 1 + y2 - 4y + 4 ≥ 1 - 4y + 4y2
⇔ 2y2 + 2y - 4 ≤ 0
⇔ 2[y - 1][y + 2] ≤ 0
Vậy hàm số có giá trị lớn nhất là 1 và giá trị nhỏ nhất là -2.
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
Lời giải
Điều kiện xác định: sinx – cosx + 3 ≠ 0
Ta có: sinx – cosx + 3
Do đó sinx – cosx + 3 ≠ 0 ∀x ∈ R
Tập xác định: D = R.
Ta có:
⇔ ysinx - ycosx + 3y = 2sinx - 2cosx
⇔ [y - 2]sinx - [y + 2]cosx = - 3y [*]
Để phương trình [*] có nghiệm x thì [y - 2]2 + [y + 2]2 ≥ [-3y]2
⇔ y2 - 4y + 4 + y2 + 4y + 4 ≥ 9y2
⇔ 7y2 ≤ 8
Vậy hàm số có giá trị lớn nhất là
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=2sin5x – 1
A. min y = -3, max y = 3 B. min y = -1, max y = 1
C. min y = -1, max y=3 D. min y = -3, max y = 1
Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 1 + cos
A. min y = -2, max y = 4 B. min y = 2, max y = 4
C. min y = -2, max y = 3 D. min y = -1, max y = 4
Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
A. max y = 1, min y = 0 B. max y = 2, min y = 0
C. max y = 1, min y = -1 D. max y = 2, min y = 1
Câu 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
A. min y = 2, max y = 5 B. min y = 1, max y = 4
C. min y = 1,max y = 5 D. min y = 1, max y = 3
Câu 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
A. max y = √5, min y = 1 B. max y = √5 , min y = 2√5
C. max y = √5, min y = 2 D. max y = √5 , min y = 3
Câu 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
A. min y = 3 + 2√2 , max y = 3 + 2√3 B. min y = 2 + 2√2 , max y = 3 + 2√3
C. min y = 3 - 2√2 , max y = 3 + 2√3 D. min y = 3 + 2√2 , max y = 3 + 3√3
Câu 7. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3 – 2cos23x
A. min y = 1, max y = 2 B. min y = 1, max y = 3
C. min y = 2, max y = 3 D. min y = -1, max y = 3
Câu 8. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin2x – 4sinx + 5
A. max y = 9, min y = 2 B. max y = 10, min y = 2
C. max y = 6, min y = 1 D. max y = 5, min y = 1
Câu 9. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = cos2x + 4cosx – 2
A. max y = 3, min y = -7 B. max y = -1, min y = -5
C. max y = 4, min y = -1 D. max y = 3, min y = -5
Câu 10. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3sin x + 4cosx + 1
A. max y = 6, min y = -2 B. max y = 4, min y = -4
C. max y = 6, min y = -4 D. max y = 6, min y = -1
Câu 11. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = √3 cosx + sinx + 4
A. min y = 2, max y = 4 B. min y = 2, max y = 6
C. min y = 4, max y = 6 D. min y = 2, max y = 8
Câu 12. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 4sin 6x + 3cos 6x
A. min y = -5, max y = 5 B. min y = -4, max y = 4
C. min y = -3, max y = 5 D. min y = -6, max y = 6
Câu 13. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2sin2x + 3sin2x – 4cos2x
A. min y = -3√2 - 1, max y = 3√2 + 1 B. min y = -3√2 - 1, max y = 3√2 - 1
C. min y = -3√2, max y = 3√2 - 1 D. min y = -3√2 - 2, max y = 3√2 - 1
Câu 14. Giá trị lớn nhất của hàm số
A. 1 B. √2 C.
Câu 15. Gọi M, m lần lượt là giá trị nhỏ nhất của hàm số
Bảng đáp án
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
D |
A |
D |
C |
A |
A |
B |
B |
D |
C |
B |
A |
B |
A |
B |
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
ham-so-luong-giac.jsp