Lý thuyết về giới hạn của hàm số - lý thuyết về giới hạn của hàm số

Lý thuyết về giới hạn của hàm số.

Tóm tắt lý thuyết

1. Giới hạn hữu hạn

+) Cho khoảng \(K\) chứa điểm \(x_0\) và hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \(K\) hoặc trên \(K\backslash {\{x_0}\rm{\} }.\)

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim} f(x) = L\) khi và chỉ khi với dãy số \((x_n)\)bất kì, \(x_n K\backslash {\rm{\{ }}{x_0}{\rm{\} }}\)và \(x_n\rightarrow x_0\),ta có
\(\lim f(x_n)=L\).

+) Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((x_0;b)\).

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}^{+}}{\lim} f(x) = L\) khi và chỉ khi dãy số \((xn) bất kì, \(x_0

+) Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a; x_0)\).

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}^{-}}{\lim} f(x) = L\) khi và chỉ khi với dãy số \((x_n)\)bất kì, \(a \(\limf(x_n)= L\).

+) Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a; +)\).

\(\underset{x\rightarrow+\infty }{\lim} f(x) = L\) khi và chỉ khi với dãy số \((x_n)\)bất kì, \(x_n>a\), \(x_n\rightarrow +\infty\)thì \(limf(x_n)= L\).

+) Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((-; a)\).

\(\underset{x\rightarrow-\infty }{\lim} f(x) = L\) khi và chỉ khi với dãy số \((x_n)\)bất kì, \(x_n

2. Giới hạn vô cực

Sau đây là hai trong số nhiều loại giới hạn vô cực khác nhau:

+) Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a; +)\), \(\underset{x\rightarrow+\infty }{\lim} f(x) = -\) khi và chỉ khi với dãy số \((x_n)\)bất kì, \(x_n>a\), \(x_n\rightarrow +\infty\)thì ta có \(\limf(x_n) = -\)

+) Cho khoảng \(K\) chứa điểm \(x_0\) và hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \(K\) hoặc trên \(K\backslash {\{x_0}\rm{\} }.\)

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim} f(x)= +\) và chỉ khi với dãy số \((x_n)\)bất kì, \(x_n K\backslash {\rm{\{ }}{x_0}{\rm{\} }}\)và \(x_n\rightarrow x_0\)thì ta có:\(\limf(x_n)= +\).

Nhận xét:\(f(x)\) có giới hạn \(+ \) khi và chỉ khi \(-f(x)\) có giới hạn \(-\).

3. Các giới hạn đặc biệt

a)\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim} x = x_0\);

b)\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim}c = c\);

c)\(\underset{x\rightarrow \pm \infty }{\lim} c = c\);

d)\(\underset{x\rightarrow \pm \infty }{\lim}\)\(\frac{c}{x} = 0\) (\(c\) là hằng số);

e)\(\underset{x\rightarrow+\infty }{\lim} x^k=+\), với \(k\) nguyên dương;

f)\(\underset{x\rightarrow-\infty }{lim} x^k= -\), nếu \(k\) là số lẻ;

g)\(\underset{x\rightarrow-\infty }{lim}x^k= +\) , nếu \(k\) là số chẵn.

4. Định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí 1.

a) Nếu\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim} = L\) và\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim}\) \(g(x) = M\) thì:

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim} [f(x) + g(x)] = L + M\);

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim} [f(x) - g(x) = L - M\);

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim} [f(x) . g(x)] = L.M\);

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim}\)\(\frac{f(x)}{g(x)}\)= \(\frac{L}{M}\)(nếu \(M 0\)).

b) Nếu \(f(x) 0\) và\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim} f(x) = L\), thì \(L 0\) và\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim}\sqrt {f(x)} = \sqrt L\)

Chú ý: Định lí 1 vẫn đúng khi \(x_n\rightarrow +\infty\)hoặc\(x_n\rightarrow -\infty\).

Định lí 2.

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim} f(x) = L\) khi và chỉ khi\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}^{+}}{lim}\)f(x) =\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}^{-}}{\lim} f(x) = L\).

5. Quy tắc về giới hạn vô cực

a) Quy tắc giới hạn của tích \(f(x).g(x)\)

+ Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \pm \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = L \ne 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]\) được cho trong bảng sau:

b) Quy tắc tìm giới hạn của thương\(\dfrac{f(x)}{g(x)}\)

+ Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L \ne 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 0\) và \(g\left( x \right) > 0\) hoặc \(g\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in J\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\), trong đó \(J\) là một khoảng nào đó chứa \({x_0}\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) được cho trong bảng sau: