Phương pháp hệ số bất định trong phương trình vi phân
|
PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH Ví dụ 1: x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 Nhận xét: các số 1, 3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên củng không có nghiệm hữu tỉ Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có:  Xét bd = 3 với b, d Z, b với b = 3 thì d = 1 hệ điều kiện trên trở thành Vậy: x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = (x2 – 2x + 3)(x2 – 4x + 1) Ví dụ 2: 2x4 – 3x3 – 7x2 + 6x + 8 Nhận xét: đa thức có 1 nghiệm là x = 2 nên có thừa số là x – 2 do đó ta có: 2x4 – 3x3 – 7x2 + 6x + 8 = (x – 2)(2x3 + ax2 + bx + c) = 2x4 + (a – 4)x3 + (b – 2a)x2 + (c – 2b)x – 2c Suy ra: 2x4 – 3x3 – 7x2 + 6x + 8 = (x – 2)(2x3 + x2 – 5x – 4) Ta lại có 2x3 + x2 – 5x – 4 là đa thức có tổng hệ số của các hạng tử bậc lẻ và bậc chẵn bằng nahu nên có 1 nhân tử là x + 1 nên 2x3 + x2 – 5x – 4 = (x + 1)(2x2 – x – 4) Vậy: 2x4 – 3x3 – 7x2 + 6x + 8 = (x – 2)(x + 1)(2x2 – x – 4) Ví dụ 3: 12x2 + 5x – 12y2 + 12y – 10xy – 3 = (a x + by + 3)(cx + dy – 1) = acx2 + (3c – a)x + bdy2 + (3d – b)y + (bc + ad)xy – 3 12x2 + 5x – 12y2 + 12y – 10xy – 3 = (4 x – 6y + 3)(3x + 2y – 1) BÀI TẬP: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: File PDF Xem thêm HOÁN VỊ, TỔ HỢP RelatedChuyên đề Hệ số bất định lớp 8 Nâng cao – áp dụng vào thực hành làm các dạng bài quen thuộc. Đây là một phương pháp cực kỳ hay được áp dụng trong các bài toán về tính số trị của biểu thức, hay đi tìm các hằng số a b c để biểu thức A bằng biểu thức B… Chúng ta cùng đi tìm hiểu chi tiết về dạng toán này. Dành cho các em chưa xem các tiết về rút gọn biểu thức: Hệ số bất định là gì? Hệ số thì chúng ta biết rồi, trong biểu thức chúng ta có các phần là [phần hệ số][phần biến]. Ví dụ như 5x thì hệ số là 5 và biến số là x. Bất định là gì, bất định là chưa xác định được. Vậy Hệ số bất định hiểu nôm na là phần hệ số chưa xác định. Vậy làm sao để chúng ta có thể xác định được phần hệ số này, thì dạng toán hệ số bất định này luôn đi kèm với dạng toán “Đồng nhất đathức”. Có thể hiểu như sau, đa thức A bằng đa thức B khi các hệ số cùng bậc của đa thức A bằng các hệ số cùng bậc của đa thức B. Ví dụ sau khi phân tích 1 bài tìm a,b chúng ta được: 5x + 6y = (1-a)x + (b+2)yThì (1-a) và (b+2) ở đây đóng vai trò như các hệ số bất định. Chúng ta đi đồng nhất đa thức thì:5x = (1-a)x và 6y = (b+2)y Hay 5 = 1- a và 6 = b+2.Đó chỉ là một ví dụ đơn giản để hiểu khái niệm về hệ số bất định, giờ chúng ta sẽ đi áp dụng vào xem các bài toán thực tế sẽ có dạng như nào nhé: 1. dạng toán phương pháp hệ số bất định lớp 8 nâng cao 2. Tiết số 13. Thời lượng: 30 phút4. Số lượng bài: 7 bài5. Mức độ: Khá – Giỏi
Trong bài này, để cụ thể, ta quan tâm trực tiếp đến phương trình vi phân cấp sau với điều kiện ban đầu . Trong đó là các hằng số thực. Để giải bài toán trên việc đầu tiên ta quan tâm đến phương trình thuần nhất . Theo lý thuyết phương trình vi phân thường, phương trình trên có không gian nghiệm là không gian hai chiều trên trường thực và nghiệm tổng quát có dạng với là các nghiệm độc lập tuyến tính, thường được tìm bằng phương trình đặc trưng. Từ đó người ta mới dẫn ra các phương pháp để tìm nghiệm tổng quát của phương trình bằng lưu ý nghiệm tổng quát nghiệm riêng nghiệm tổng quát . Dưới đây tôi sẽ trình bày việc tìm một nghiệm riêng của nhờ các nghiệm . Phương pháp hệ số bất định (undetermined coefficients) là phương pháp áp dụng cho trường hợp vế phải có dạng đặc biệt. Bạn đọc có thể xem qua trang web http://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_undetermined_coefficients Để minh họa phương pháp, tôi lấy ví dụ sau (trong bài giảng hôm 22/02/2012 cho lớp K55A3) . Ta tìm một nghiệm riêng của dạng . Thay vào có nên nghiệm tổng quát của . Thay vào có nên nghiệm của bài toán . Tuy nhiên với những vế phải không đặc biệt phương pháp hệ số bất định không còn hiệu quả. Phương pháp biến thiên hằng số (variation of parameters) giúp ta vượt qua khó khăn này. Các bạn có thể xem chi tiết ơ trang web http://en.wikipedia.org/wiki/Variation_of_parameters Phương pháp này cần khái niệm Wronskian . Ý tưởng của phương pháp bắt nguồn từ ý tưởng giải hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất bằng phương pháp Cramer. Để cụ thể tôi quay trở lại giải bài toán bằng phương pháp biến thiên hằng số (tôi còn để lại trong bài giảng ngày 22/02/2012 cho lớp K55A3). Ta sẽ tìm nghiệm của bài toán dạng . Tính toán được (ta cho phần đuôi này bằng ) . Thay vào phương trình có hệ , với . Khi đó giải hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất,với lưu ý định thức của ma trận tương ứng chính là , ta có , . Thay vào điều kiện ban đầu thuần nhất ta tính được . Các bạn tự tính xem có ra được . Công thức nghiệm này chính là công thức tìm được từ phương pháp DuHamel (xem http://en.wikipedia.org/wiki/Duhamel’s_principle) Phương pháp DuHamel được minh họa qua bài toán như sau. Với mỗi tìm nghiệm của bài toán . Tính toán một chút ta có nghiệm của bài toán . Nghiệm của bài toán thu được chính là công thức nghiệm cho bởi phương pháp biến thiên hằng số. Ta cũng nhìn thấy từ công thức này hàm Green: khi khi thỏa mãn bài toán . Ngoài ra để giải bài toán ta cũng có thể dùng phương pháp biến đổi Laplace như trong https://bomongiaitich.wordpress.com/2010/05/06/dao-d%e1%bb%99ng-c%e1%bb%a7a-r%e1%ba%a7m-nghi%e1%bb%87m-khong-tu%e1%ba%a7n-hoan-hi%e1%bb%87n-t%c6%b0%e1%bb%a3ng-c%e1%bb%99ng-h%c6%b0%e1%bb%9fng/ Các bạn có thể xem thêm về phép biến đổi Laplace ở trang http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform |
