Phương trình -- hệ phương trình, bất phương trình
|
Bất phương trình \(ax + b > 0\) vô nghiệm khi: Show
Tập nghiệm \(S\) của bất phương trình $5x - 1 \ge \dfrac{{2x}}{5} + 3$ là: Bất phương trình $\left( {m - 1} \right)x > 3$ vô nghiệm khi Tập nghiệm của bất phương trình \(4x - 5 \ge 3\) là Đầu chương trình đại số học kì 2 lớp 10, các bạn học sinh được tìm hiểu chương bất đẳng thức và bất phương trình. Tuy nhiên, việc giải bất phương trình đang là bài toán khiến nhiều bạn học sinh cảm thấy khó khăn vì ngoài các bất phương trình bất nhất, bậc hai thì còn xuất hiện nhiều bất phương trình chứa căn thức, chứa trị tuyệt đối. Hiểu được điều đó, Kiến Guru đã biên soạn các công thức giải bất phương trình lớp 10 để các em có thể vận dụng vào việc giải các bất phương trình từ đơn giản đến phức tạp một cách dễ dàng. Giải bất phương trình là một kĩ năng vô cùng quan trọng trong chương trình toán THPT vì lên lớp 11, 12 chúng ta còn sẽ gặp rất nhiều dạng toán mà muốn giải được thì cần có các kĩ năng giải bất phương trình. Hy vọng với các công thức giải bất phương trình mà Kiến Guru giới thiệu sẽ giúp các em giải quyết nhanh gọn tất cả các bài toán giải bất phương trình. I. Các công thức giải bất phương trình lớp 10:A/ Bất phương trình quy về bậc nhất:Trong phần A, chúng tôi sẽ giới thiệu các công thức giải bất phương trình lớp 10 dành cho các phương trình bậc nhất. Trước khi đi vào các công thức giải các em cần phải nắm vững bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất. 1. Giải và biện luận bpt dạng ax + b < 0 1.1. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩnMuốn giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ rồi lấy giao các tập nghiệm thu được. 1.2. Dấu nhị thức bậc nhất2. Bất phương trình tích∙ Dạng: P(x).Q(x) > 0 (1) (trong đó P(x), Q(x) là những nhị thức bậc nhất.) ∙ Cách giải: Lập bxd của P(x).Q(x). Từ đó suy ra tập nghiệm của (1). 3. Bất phương trình chứa ẩn ở mẫuChú ý: Không nên qui đồng và khử mẫu. 4. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ∙ Tương tự như giải pt chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta hay sử dụng định nghĩa và tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ. ∙ Dạng 1: B/ Bất phương trình quy về bậc hai:Trong phần B, chúng tôi sẽ giới thiệu các công thức giải bất phương trình lớp 10 dành cho các phương trình bậc hai và phương trình qui về bậc hai. Trước khi đi vào các công thức giải các em cần phải nắm vững bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất. 1. Dấu của tam thức bậc haiNhận xét: 2. Bất phương trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c > 0 (hoặc ≥ 0; < 0; ≤ 0)Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai. 3. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐĐể giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ. 4. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu cănTrong các dạng toán thì bất phương trình chứa căn được xem là dạng toán khó nhất. Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn ta cầ sử dụng kết hợp các công thức giải bất phương trình lớp 10 kết hợp với phép nâng luỹ thừa hoặc đặt ẩn phụ để khử dấu căn. II. Bài tập giải bất phương trình lớp 10Trong phần 2, chúng tôi xin giới thiệu các dạng bài tập vận dụng các công thức giải bất phương trình lớp 10. Các bài tập cũng được chia ra : bpt bậc nhất, bậc hai và các phương trình chứa dấu GTTĐ và chứa ẩn dưới dấu căn. 1. Bài tập về Bất Phương Trình:Bài 1/ BPT bậc nhất 1.1. Giải các bất phương trình sau: 1.2. Giải các bất phương trình sau: 1.3. Giải các bất phương trình sau: Bài 2/ BPT qui về bậc nhất Giải các bất phương trình sau: Bài 3/ BPT bậc hai Bài 4/ BPT qui về bậc hai có chứa dấu GTTĐ Giải các bất phương trình sau: Bài 5/ BPT qui về bậc hai có chứa căn thức Giải các phương trình sau: 2. Bài tập về Phương TrìnhBài 1: Giải các phương trình sau: (nâng luỹ thừa) Bài 2. Giải các phương trình sau: (biến đổi biểu thức dưới căn) Bài 4: Giải các phương trình sau: (nâng luỹ thừa) Bài 5: Giải các phương trình sau: 3. Bài tập tổng hợp các dạng:Trên đây là các công thức giải bất phương trình lớp 10 và kèm theo là các dạng bài tập giải bất phương trình lớp 10. Để làm tốt dạng toán giải bất phương trình, trước hết các em học sinh cần phải nắm vững các quy tắc xét dấu của tam thức bậc nhất và tam thức bậc hai. Sau đó, dựa vào các công thức mà tài liệu đã giới thiệu, các em có thể áp dụng để giải các bất phương trình phức tạp hơn. Giải bất phương trình là một dạng toán rất quan trọng và theo suốt chúng ta trong chương trình toán THPT. Do đó, nó luôn xuất hiện trong các bài kiểm tra một tiết và đề thi học kì lớp 10 nên các em cần đặc biệt lưu ý trong quá trình ôn tập. Hy vong, với các công thức mà Kiến Guru giới thiệu, các bạn học sinh lớp 10 sẽ thành thạo việc giải bất phương trình và đạt điểm cao trong các bài kiểm tra sắp tới.
Hàm Solve Giải các phương trình (bất phương trình) đại số bằng hàm Solve[] tham số thứ nhất là phương trình (hoặc danh sách phương trình) dạng biểu-thức-trái == biểu-thức-phải chú ý dấu ==, tham số thứ 2 chỉ ra rõ ràng tên biến cần tìm nghiệm như x hay {x, y ...}, nếu cần thì tham số thứ ba chỉ ra miền của biến (Reals, Complexes ...) Ví dụ giải phương trình \(x^2 - 2 x - 3 = 0\) In[1]:= Solve[x^2 - 2 x - 3 == 0, x] Giải nhiều phương trình (hệ phương trình) thì chỉ ra danh sách các phương trình {f1, f2, ...} hoặc dùng ký hiệu && dạng: f1 & f2 ... Giải hệ phương trình: In[1]:= Solve[{a x + 2 y == 7, 3 b x - y == 1}, {x, y}] Nếu viết Solve[a x + 2 y == 7 && 3 b x - y == 1, {x, y}] kết quả tương tự. Để tìm miền xác định của một hàm số, dùng hàm FunctionDomain[f, x] Hàm Reduce Khi giải phương trình (bất phương trình) thì hàm Solve phù hợp với các bài toán lớn, phức tạp. Khi bài toán nếu đánh giá không quá phức tạp thì có thể dùng hàm Reduce Ví dụ phương trình \(x^2 - 3 x - 4 = 0\), lấy các nghiệm lớn hơn 0. In[1]:= Reduce[x^2 - 2 x - 3 == 0 && x > 0, x] Giải hệ 2 bất phương trình \(3 x+4>0; 2 x^2+5 x+3<0\)<> In[1]:= Reduce[3 x + 4 > 0 && 2 x^2 + 5 x + 3 < 0, x] Hàm FindRoot Nếu muốn giải phương trình với nghiệm số cụ thể hàm FindRoot sẽ tiến hảnh giải gần đúng (thử). Tìm nghiệm gần điểm x = -3 của phương trình \(x^2 - 2 x - 4 = 0 \) In[1]:= FindRoot[x^2 - 3 x - 3 == 0, {x, -3}] TÌM PHƯƠNG TRÌNH KHI BIẾT NGHIỆMNếu có một số số đại số (số là nghiệm của một đa thức mà các hệ số là số nguyên - các số hữu tỉ là số đại số), để tìm phương trình có nghiệm là số đó thì dùng hàm MinimalPolynomial Ví dụ, tìm một phương trình với biến số là x, có nghiệm bằng \(\sqrt{2}+1\) In[1]:= phuongtrinh = MinimalPolynomial[Sqrt[2] + 1, x] Nếu một số nhập vào không phải là số đại số thì không tìm được, ví dụ tìm phương trình có nghiệm bằng 3.5 Khi giải sẽ có thông báo MinimalPolynomial::nalg: 3.5` is not an explicit algebraic number. Lúc này có thể chuyển số 3.5 thành dạng số hữu tỷ (số đại số) bằng hàm Rationalize[3.5] In[1]:= so = Rationalize[3.5] BIẾN ĐỔI BIỂU THỨCĐơn giản hóa biểu thức Khi có một biểu thức đại số với các ký hiệu đại diện và bạn muốn chuyển nó sang một dạng khác. Phổ biến đó là việc đơn giản hóa biểu thức. Có hai hàm để đơn giản hóa biểu thức là Simplify và FullSimplify, chúng đều cố gắng biến đổi biểu thức về dạng đơn giản nhất (sử dụng ít ký hiệu đại diện trong công thức). FullSimplify thì chạy chậm hơn, do Mathematica xây dựng hàm này dùng nhiều thuật toán phức tạp để tìm giải pháp. Ví dụ sử dụng hai hàm này để biến đổi một biểu thức, trong đó có sử dụng hàm Timing[] để đo hoảng thời gian mà mỗi hàm hoàn thành, bạn sẽ thấy thời gian (theo giây) thi hành của một hàm. In[1]:= f = Sin[(x + y + z) ^ 2] Cos [(x + y + z) ^2] Out[1]:= \(\sin \left((x+y+z)^2\right) \cos \left((x+y+z)^2\right)\) Out[2]:= \(\left\{0.576425,\frac{1}{2} \sin \left(2 (x+y+z)^2\right)\right\}\) Out[3]:= \(\left\{29.6506,\frac{1}{2} \sin \left(2 (x+y+z)^2\right)\right\}\) Kết quả nhiều trường hợp là giống nhau nhưng FullSimplify mất nhiều thời gian thi hành hơn rất nhiều, tuy vậy nhiều trường hợp thì FullSimplify sẽ cho kết quả tốt hơn Nhóm bằng quy đồng với Together In[1]:= Together[3 x / (2 x + 6) + 4 /(x^2 - 9)] Chuyển biểu thức thành tổng các tỷ số In[1]:= Apart[2/((1 + x) (1 - x))] Ngoài ra còn các hàm khác như Factor, Expand ... xem thêm tại Biến đổi biểu thức trong Mathematica CHIA ĐA THỨC CHO ĐA THỨCChia 2 đa thức lấy phần nguyên (bỏ phần dư) In[1]:= PolynomialQuotient[x^3 + x^2 - x + 1 , x + 1, x] Chia 2 đa thức lấy phần dư (bỏ phần nguyên) In[1]:= PolynomialRemainder[x^3 + x^2 - x + 1 , x + 1, x] Chia 2 đa thức, lấy cả nguyên và dư In[1]:= PolynomialQuotientRemainder[x^3 + x^2 - x + 1 , x + 1, x]
(Bài tiếp) Giới hạn hàm số |
