Tổng các nghiệm của phương trình sinx + căn 3 cos x = 2 trên đoạn 0 4 pi

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sin x + \sqrt 3 \cos x = 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = 1\\ \Leftrightarrow \sin x\cos \dfrac{\pi }{3} + \cos x\sin \dfrac{\pi }{3} = 1\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow x + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vì \(x \in \left[ {0;4\pi } \right]\) nên \(0 \le \dfrac{\pi }{6} + k2\pi  \le 4\pi  \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{{12}} \le k \le \dfrac{{23}}{{12}}\).

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\}\).

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(x = \dfrac{\pi }{6}\) và \(x = \dfrac{{13\pi }}{6}\), tổng của chúng là \(\dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{13\pi }}{6} = \dfrac{{7\pi }}{3}\).

Chọn B.