Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song

Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 5\), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \(d:2x + y + 7 = 0\).

A.

\(2x + y + 1 = 0\) hoặc \(2x + y - 1 = 0\).

B.

\(2x + y = 0\) hoặc \(2x + y - 10 = 0\).

C.

\(2x + y + 10 = 0\) hoặc \(2x + y - 10 = 0\).

D.

\(2x + y = 0\) hoặc \(2x + y + 10 = 0\).

1. Phương pháp giải

– Xác định tâmIvà bán kínhRcủa đường tròn(C)

– DoΔ∥d:Ax+By+C=0⇒Δ:Ax+By+c=0(c≠C)

–Δtiếp xúc với(C)⇔d(I,Δ)=R

Giải phương trình này ta tìm đượcc.

Hình minh họa

Ví dụ áp dụng

Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn(C):(x−1)2+(y+3)2=16 biết tiếp tuyến song song với đường thẳngd:6x−8y+2019=0.

Giải
(C)có tâmI(1;−3)và bán kínhR=4.

Tiếp tuyếnΔsong song vớidnên có phương trình dạng6x−8y+c=0,(c≠2019).

Δtiếp xúc với(C)⇔d(I,Δ)=R⇔|30+c|100√=4

Giải phương trình này ta đượcc=10hoặcc=−70.

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán với phương trình tương ứng là

6x−8y+10=0;6x−8y−70=0

Ngoài dạng bài tập phương trình tiếp tuyến của đường tròn song song với đường thẳng, chúng ta còn có hai dạng bài tập khác:

Dạng 1: Tiếp tuyến tại một điểm M(x0; y0) thuộc đường tròn. Ta dùng công thức tách đôi toạ độ.

- Nếu phường trình đường trong là: x2 + y2 - 2ax – 2by +c = 0 thì phương trình tiếp tuyến là: xx0 + yy0 – a(x + x0) – b(y + y0) + c = 0

-Nếu phương trình đường tròn là: (x – a)2 + (y – b)2 = R2thì phương trình tiếp tuyến là: (x – a)(x0 – a) + (y – b)(y0 – b) = R2

Dạng 2: Tiếp tuyến vẽ từ một điểm I(x0; y0) cho trước ngoài đường tròn.

Viết phường trình của đường thẳng d qua I(x0; y0) :

y – y0 = m(x – x0) ⇔ mx – y – mx0+ y0 = 0 (1)

Cho khoảng cách từ tâm I của đường tròn (C) tới đường thẳng d bằng R, ta tính được m; thay m vào (1) ta được phường trình tiếp tuyến.

Ghi chú: Ta luôn luôn tìm được hai đường tiếp tuyến

2. Bài tập vận dụng

Bài 1.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn(C):x2+y2−4x+8y−5=0 biết tiếp tuyến song song với đường thẳngd:2x−3y+5=0.

Bài 2.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn(C):x2+y2+2x−2y−15=0 biết tiếp tuyến song song với đường thẳngd:y=4x−2019.

Bài 3.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn(C):(x+5)2+(y+2)2=36 biết tiếp tuyến song song với đường thẳngd:y=−5x+13.

Bài 4.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn(C):2x2+2y2−4x+12y+18=0 biết tiếp tuyến song song với đường thẳngd:−3x+4y+2018=0.

Bài 5.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn(C):(x−1)2+(y−3)2=22 biết tiếp tuyến song song với đường thẳngd:y= −2018x+35

Dưới đây là một số kiến thức bổ sung để bạn đọc hiểu rõ thêm về tiếp tuyến của đường tròn.

1. Tiếp tuyến là gì?

Tiếp tuyến của một đường cong tại mộtđiểmbất kỳ thuộc đường cong có nghĩa là một đường thẳng chỉchạmvào đường cong tại điểm đó.

2. Tiếp tuyến của đường tròn là gì?

Tiếp tuyến của đường tròn là mộtđường thẳngđi qua một điểm của đường tròn và vuông góc vớibán kínhđi qua điểm đó.

3. Tính chất của tiếp tuyến

- Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

- Đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc với đường tròn thì qua tâm.

- Từ một điểm nằm ngoài đường tròn luôn vẽ được hai tiếp tuyến với đường tròn.

- 2 tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại điểm bất kỳ, điểm đó sẽ có khoảng cách cách đều 2 tiếp điểm.

+ Tia kẻ từ điểm cắt nhau đi qua tâm đường tròn được gọi là tia phân giác góc tạo bởi 2 tiếp tuyến.

+ Tia kẻ từ tâm đi qua điểm cắt nhau được gọi là tia phân giác của 2 bán kính đi qua các tiếp điểm.

- Nếu 2 tiếp tuyến tại A và B với đường tròn tâm O cắt nhau tại P thì góc BOA và góc BPA bù nhau.

4. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

- Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

- Nếu một đường thẳng và một đường tròn chỉ có một điểm chung thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

- Nếu khoảng cách từtâmcủa một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

02:26:5928/09/2021

Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn song song với đường thẳng cho trước cũng tương tự như viết PTTT của đường tròn vuông góc với đường thẳng, là một dạng toán về phương trình đường tròn mà chúng ta thường gặp.

KhoiA.Vn sẽ giới thiệu với các em cách viết viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với đường thẳng cho trước qua bài này một cách ngắn gọn, chi tiết và đẩy đủ để các em tham khảo.

I. Cách viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn song song với đường thẳng

Giả sử đường tròn (C) có tâm I(a; b); bán kính R và và đường thẳng (d) cho trước

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng (d):

Để viết phương trình tiếp tuyến Δ của đường tròn (C) song song với đường thẳng (d): Ax + By + C = 0 ta thực hiện như sau:

- Bước 1: Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn (C).

- Bước 2: Vì Δ // (d): Ax + By + C = 0 nên Δ có vectơ pháp tuyến là vectơ pháp tuyến của (d): 

 Khi đó phương trình tiếp tuyến Δ có dạng: Ax + By + c1 = 0 (c1 ≠ C)

- Bước 3: Vì Δ tiếp xúc với đường tròn (C) nên d(I,Δ) = R. Giải phương trình này ta tìm được c1.

II. Bài tập vận dụng viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn song song với đường thẳng

* Bài tập 1: Cho đường tròn (C) có phương trình: (x - 3)2 + (y + 1)2 = 5. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng (d): 2x + y + 9 = 0.

> Lời giải:

- Đường tròn (C) có tâm I(3; -1) và bán kính R = √5

- Vì tiếp tuyến Δ cần tìm song song với đường thẳng (d): 2x + y + 9 = 0 nên 

Khi đó phương trình tiếp tuyến của ∆ có dạng: 2x + y + c = 0 với c ≠ 9.

- Vì đường thẳng Δ tiếp xúc với đường tròn (C) nên có: d(I,Δ) = R

Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến thỏa điều kiện bài toán là:

2x + y = 0  và 2x + y - 10 = 0.

* Bài tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x2 + y2 - 2x + 6y - 6 = 0. Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): 6x - 8y - 3 = 0

> Lời giải:

- Ta có: x2 + y2 - 2x + 6y - 6 = 0

⇔ x2 - 2x + 1 + y2 + 2.3y + 9 = 16

⇔ (x - 1)2 + (y + 3)2 = 16

- Đường tròn (C) có tâm I(1; -3) bán kính R = 4.

- Vì tiếp tuyến Δ cần tìm song song với đường thẳng (d): 6x - 8y - 3 = 0 nên

Khi đó phương trình tiếp tuyến của ∆ có dạng: 3x - 4y + c = 0 với c ≠ 3.

- Vì đường thẳng Δ tiếp xúc với đường tròn (C) nên có: d(I,Δ) = R

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán là:

 3x - 4y + 5 = 0 và 3x - 4y - 35 = 0.

* Bài tập 3: Cho đường tròn (C): x2 + y2 + 2x - 6y + 5 = 0 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng d: x + 2y - 7 = 0.

> Lời giải:

- Ta có: Đường tròn ( C) có tâm I(-1;3) và bán kính

- Vì tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng (d): x + 2y - 7 = 0 nên  

Khi đó, tiếp tuyến ∆ có dạng: x + 2y + c = 0 (c ≠ -7).- Vì đường thẳng Δ tiếp xúc với đường tròn (C) nên có: d(I,Δ) = R

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

x + 2y = 0 và x + 2y - 10 = 0.

Trên đây KhoiA.Vn đã giới thiệu với các em về cách viết về cách viết phương trình tiếp tuyến của đương tròn song song với đường thẳng, hy vọng giúp các em hiểu bài hơn. Nếu có câu hỏi hay góp ý các em hãy để lại bình luận dưới bài viết nhé, chúc các em thành công.