Đề bài
Cho \[A[1; 2], \, \, B[-3; 1]\] và \[C[4; -2]\]. Tìm tập hợp điểm \[M\] sao cho \[M{A^2} + M{B^2} = M{C^2}\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
-Gọi \[[x; y]\] là tọa độ của điểm \[M\].
- Tính \[AM^2,BM^2,CM^2\] rồi thay vào đẳng thức đã cho tìm mối quan hệ x,y.
Lời giải chi tiết
Gọi \[[x; y]\] là tọa độ của điểm \[M\].
\[\begin{array}{l}
AM = \sqrt {{{\left[ {x - 1} \right]}^2} + {{\left[ {y - 2} \right]}^2}} \\
\Rightarrow A{M^2} = {\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2}\\
= {x^2} - 2x + 1 + {y^2} - 4y + 4\\
= {x^2} + {y^2} - 2x - 4y + 5\\
BM = \sqrt {{{\left[ {x + 3} \right]}^2} + {{\left[ {y - 1} \right]}^2}} \\
\Rightarrow B{M^2} = {\left[ {x + 3} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2}\\
= {x^2} + 6x + 9 + {y^2} - 2y + 1\\
= {x^2} + {y^2} + 6x - 2y + 10\\
CM = \sqrt {{{\left[ {x - 4} \right]}^2} + {{\left[ {y + 2} \right]}^2}} \\
\Rightarrow C{M^2} = {\left[ {x - 4} \right]^2} + {\left[ {y + 2} \right]^2}\\
= {x^2} - 8x + 16 + {y^2} + 4y + 4\\
= {x^2} + {y^2} - 8x + 4y + 20
\end{array}\]
Theo giả thiết, ta có:\[M{A^2} + M{B^2} = M{C^2}\]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow A{M^2} + B{M^2} = C{M^2}\\
\Leftrightarrow \left[ {{x^2} + {y^2} - 2x - 4y + 5} \right]\\
\,\, + \left[ {{x^2} + {y^2} + 6x - 2y + 10} \right]\\
\,\, = {x^2} + {y^2} - 8x + 4y + 20\\
\Leftrightarrow [2{x^2} + 2{y^2} + 4x - 6y + 15]\\
- \left[ {{x^2} + {y^2} - 8x + 4y + 20} \right] = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 12x - 10y - 5 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ {{x^2} + 12x + 36} \right] + \left[ {{y^2} - 10y + 25} \right] - 66 = 0\\
\Leftrightarrow {\left[ {x + 6} \right]^2} + {\left[ {y - 5} \right]^2} = 66
\end{array}\]
Vậy quỹ tích các điểm \[M\] thỏa mãn đẳng thức \[M{A^2} + M{B^2} = M{C^2}\]là đường tròn tâm \[I [-6; 5]\] và bán kính \[R = \sqrt{66}\].