Đề bài
Tam giác \[ABC\] có \[AB = 9cm, AC = 12cm, BC = 15cm\]. Khi đó đường trung tuyến \[AM\] của tam giác có độ dài là:
A. \[8cm\] B. \[10cm\]
C. \[9cm\] D. \[7,5cm\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng công thức trung tuyến
\[m_a^2 = \frac{{2\left[ {{b^2} + {c^2}} \right] - {a^2}}}{4}\]
Lời giải chi tiết
Ta có:
\[\begin{array}{l}
A{M^2} = \frac{{2\left[ {A{B^2} + A{C^2}} \right] - B{C^2}}}{4}\\
= \frac{{2\left[ {{9^2} + {{12}^2}} \right] - {{15}^2}}}{4} = \frac{{225}}{4}\\
\Rightarrow AM = \sqrt {\frac{{225}}{4}} = \frac{{15}}{2} = 7,5\left[ {cm} \right]
\end{array}\]
Cách khác:
Tam giác ABC có:
\[\begin{array}{l}
A{B^2} + A{C^2} = {9^2} + {12^2} = 225\\
B{C^2} = {15^2} = 225\\
\Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}
\end{array}\]
Theo định lý Pitago đảo suy ra tam giác ABC vuông tại A.
Do đó \[AM = \frac{1}{2}BC = \frac{{15}}{2} = 7,5\left[ {cm} \right]\]
[trong tam giác vuông thì trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền]
Chọn D