Đề bài
Chứng minh rằng: Trong tam giác, trung điểm các cạnh, chân các đường cao cùng thuộc một đường tròn \[[\omega ]\] và đường tròn \[[\omega ]\] cũng đi qua trung điểm của các đoạn thẳng nối mỗi đỉnh với trực tâm tam giác [đường tròn chín điểm hay đường tròn Ơ-le của tam giác].
Lời giải chi tiết
Giả sử tam giác \[ABC\] có \[AA' \bot BC\] và \[M, N\] là trung điểm của \[BC\] và \[AC.\]
Vẽ đường tròn \[[\omega ]\] đi qua \[A, M, N\] nếu \[A\] khác \[M\], hoặc \[[\omega ]\] đi qua \[N\] và tiếp xúc với \[BC\] tại \[M\] nếu \[A\] trùng với \[M\]. Lấy giao điểm thứ hai \[B\] của \[[\omega ]\] và \[AC.\]
Khi đó \[\overrightarrow {CA'} .\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {CN} .\overrightarrow {CB'} \] hay\[\dfrac{1}{2}\overrightarrow {CA'} .\overrightarrow {CB} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB'} \], suy ra \[\overrightarrow {CA'} .\overrightarrow {CB} = \overrightarrow {CB'} .\overrightarrow {CA} \].
Vậy bốn điểm \[B, A, B, A\] cùng thuộc một đường tròn. Trong đường tròn này \[\widehat {AB'B} = \widehat {AA'B} = {90^0}\], vậy \[[\omega ]\] đi qua chân đường cao \[B\] hạ từ đỉnh \[B\] của tam giác \[ABC.\]
Đặt \[K\] là gao điểm thứ hai của \[[\omega ]\] với \[AA,\] ta có \[\overrightarrow {AK} .\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {AN} \].
Ta lại có \[\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {AC} \] [do \[HBCA\] nội tiếp được].
Từ đó suy ra \[\overrightarrow {AK} .\overrightarrow {AA'} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {AC} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {AA'} \]. Do đó \[\overrightarrow {AK} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AH} \].Vậy \[[\omega ]\] đi qua trung điểm \[K\] của \[AH.\]
Gọi \[P\] là trung điểm của \[AB,\] ta có \[KP// BB\] và \[MP// AC,\] suy ra \[\widehat {KPM} = {90^0}\].
Tương tự cũng có \[\widehat {KNM} = {90^0}\] nên \[P\] nằm trên đường tròn \[[\omega ]\] đi qua \[M, N, K.\]
Lí luận tương tự như trên ta được chân đường cao \[C\] hạ từ đỉnh \[C\] và trung điểm các đoạn \[HB, HC\] đều thuộc đường tròn \[[\omega ]\].