Giải bài tập toán hình nâng cao 11 trang 91 năm 2024

Trong tài liệu giải bai Vecto trong không gian được cập nhật với đầy đủ danh sách các bài tập toán cũng như hệ thống bài giải bài tập toán lớp 11 bám sát chương trình sgk Toán lớp 11. Các em học sinh có thể tham khảo cũng như tìm hiểu rõ hơn về cách làm toán cũng như những kiến thức liên quan để củng cố trau dồi, hỗ trợ quá trình ôn luyện để chuẩn bị sẵn sàng cho các kì thi. Với tài liệu giải toán lớp 11 Vecto trong không gian các thầy cô cũng có thể sử dụng làm tài liệu hướng dẫn giảng dạy với những phương pháp làm toán khác nhau, đồng thời tạo cho các em thói quen học tập và làm bài về nhà bằng nhiều phương pháp góp phần nâng cao trình độ tốt hơn.

\=> Theo dõi tài liệu giải toán lớp 11 mới nhất tại đây: Giải toán lớp 11

Bài 6. Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau là phần học tiếp theo của Chương I Hình học lớp 11 cùng xem gợi ý Giải toán lớp 11 Bài 1, 2, 3 trang 23, 24 SGK Hình Học để nắm vững kiến thức cũng như học tốt Toán 11.

Sau bài Vecto trong không gian chúng ta sẽ tìm hiểu về giải bài hai đường thẳng vuông góc, các bạn hãy cùng tham khảo để biết thêm chi tiết nhé.

Trong chương trình học lớp 11 Hình học các em sẽ học Bài 1. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng Chương II cùng Giải toán lớp 11 Bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 trang 53, 54 SGK Hình Học - Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng để học tốt bài học này.

điều này chứng tỏ O, M, N thẳng hàng. Mặt khác M thuộc AC, N thuộc BD và O là giao điểm của AC và BD nên O, M, N thẳng hàng chỉ xảy ra khi O ≡ M ≡ N, tức O là trung điểm của AC và BD, hay ABCD là hình bình hành.

Ba vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) có đồng phẳng không nếu một trong hai điều sau đây xảy ra ?

1. Có một vecto trong ba vecto đó bằng \(\overrightarrow 0 \)

2. Có hai vecto trong ba vecto đó cùng phương.

Giải

1. Giả sử \(\overrightarrow a = \overrightarrow 0 .\) Áp dụng định lí 1 : \(\overrightarrow a = 0.\overrightarrow b + 0.\overrightarrow c \) nên \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng.

2. Giả sử \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) cùng phương, khi đó có số k sao cho \(\overrightarrow a = k\overrightarrow b \)

\( \Rightarrow \overrightarrow a = k\overrightarrow b + 0.\overrightarrow c \) do đó \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng.

Câu 2 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao

Cho hình chóp S.ABCD.

1. Chứng minh rằng nếu ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} \). Điều ngược lại có đúng không ?

2. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng tỏ rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO} \)

Giải

1. Ta có:

\(\eqalign{ & \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {SB} - \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SA} - \overrightarrow {SD} \Leftrightarrow \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {DA} \cr} \)

⇔ ABCD là hình bình hành.

2. Ta có:

\(\eqalign{ & \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO} \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OD} = 4\overrightarrow {SO} \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \,\,\left( * \right) \cr} \)

Nếu ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \) suy ra

\(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO} \) (do (*))

Ngược lại, giả sử \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO} ,\) ta có (*).

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD thì :

\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {ON} \)

Từ (*) suy ra \(2\left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} } \right) = \overrightarrow 0 ,\) điều này chứng tỏ O, M, N thẳng hàng

Mặt khác, M thuộc AC, N thuộc BD và O là giao điểm của AC và BD nên O, M, N thẳng hàng chỉ xảy ra khi O ≡ M ≡ N, tức O là trung điểm AC và BD, hay ABCD là hình bình hành.

Câu 3 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’, I là giao điểm của hai đường thẳng AB’ và A’B. Chứng minh rằng các đường thẳng GI và CG’ song song với nhau.

Giải

Đặt \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow c \)

Thì \(\overrightarrow {AG} = {1 \over 3}\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right),\overrightarrow {AI} = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\)

Do đó, \(\overrightarrow {GI} = \overrightarrow {AI} - \overrightarrow {AG} = {{3\overrightarrow a + \overrightarrow b - 2\overrightarrow c } \over 6}\)

Mặt khác : \(\overrightarrow {AG'} = {1 \over 3}\left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {AC'} } \right) = \overrightarrow a + {1 \over 3}\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {CG'} = \overrightarrow {AG'} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow a + {1 \over 3}\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) - \overrightarrow c \)

\(= {{3\overrightarrow a + \overrightarrow b - 2\overrightarrow c } \over 3}\)

Vậy \(\overrightarrow {CG'} = 2\overrightarrow {GI} .\) Ngoài ra, điểm G không thuộc đường thẳng CG’ nên GI và CG’ là hai đường thẳng song song.

Câu 4 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và DD’; G và G’ lần lượt là trọng tâm của các tứ diện A’D’MN và BCC’D’. Chứng minh rằng đường thẳng GG’ và mặt phẳng (ABB’A’) song song với nhau.

Giải

Đặt \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow c .\)

Vì G’ là trọng tâm tứ diện BCC’D’ nên \(\overrightarrow {AG'} = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {AD'} } \right)\)

Và G là trọng tâm tứ diện A’D’MN nên

\(\eqalign{ & \overrightarrow {AG} = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AD'} + \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} } \right) \cr & \Rightarrow \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {AG'} - \overrightarrow {AG} \cr& = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {A'B} + \overrightarrow {D'C} + \overrightarrow {MC'} + \overrightarrow {ND'} } \right) \cr & = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow c + \overrightarrow a - \overrightarrow c + {1 \over 2}\overrightarrow a + \overrightarrow c + {1 \over 2}\overrightarrow c } \right) \cr & = {1 \over 8}\left( {5\overrightarrow a - \overrightarrow c } \right) = {1 \over 8}\left( {5\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AA'} } \right) \cr} \)

Do đó \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {GG'} \) đồng phẳng. Mặt khác, G không thuộc mặt phẳng (ABB’A’) nên đường thẳng GG’ và mặt phẳng (ABB’A’) song song với nhau.

Câu 5 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao

Trong không gian cho tam giác ABC.

1. Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc mp(ABC) thì có ba số x, y, z mà x + y + z = 1 sao cho \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {xOA} + \overrightarrow {yOB} + \overrightarrow {zOC} \) với mọi điểm O.

2. Ngược lại, nếu có một điểm O trong không gian saao cho \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {xOA} + \overrightarrow {yOB} + \overrightarrow {zOC} ,\) trong đó x + y + z = 1 thì điểm M thuộc mp(ABC).

Giải

1. Vì \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) là hai vecto không cùng phương nên điểm M thuộc mp(ABC) khi và chỉ khi có \(\overrightarrow {AM} = l\overrightarrow {AB} + m\overrightarrow {AC} \)

hay \(\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OA} = l\left( {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} } \right) + m\left( {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OA} } \right)\) với mọi điểm O

tức là \(\overrightarrow {OM} = \left( {1 - l - m} \right)\overrightarrow {OA} + l\overrightarrow {OB} + m\overrightarrow {OC} \)

đặt \(1 - l - m = x,l = y,m = z\) thì \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow {OA} + y\overrightarrow {OB} + z\overrightarrow {OC} \) với \(x + y + z = 1.\)

2. Giả sử \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow {OA} + y\overrightarrow {OB} + z\overrightarrow {OC} \) với \(x + y + z = 1,\) ta có :

\(\eqalign{ & \overrightarrow {OM} = \left( {1 - y - z} \right)\overrightarrow {OA} + y\overrightarrow {OB} + z\overrightarrow {OC} \cr & hay\,\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OA} = y\overrightarrow {AB} + z\overrightarrow {AC} \cr & \text{ tức là }\overrightarrow {AM} = y\overrightarrow {AB} + z\overrightarrow {AC} \cr} \)

Mà \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) không cùng phương nên M thuộc mặt phẳng (ABC)

Câu 6 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao

Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho SA = aSA’, SB = bSB’, SC = cSC’, trong đó a, b, c là các số thay đổi. Chứng minh rằng mặt phẳng (A’B’C’) đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a + b + c = 3.

Giải

Ta có: \(\overrightarrow {SA} = a\overrightarrow {SA'} ,\;\overrightarrow {SB} = b\overrightarrow {SB'} ,\;\overrightarrow {SC} = c\overrightarrow {SC} .\)

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì

\(\eqalign{ & \overrightarrow {SG} = {1 \over 3}.\left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} } \right) \cr & Vay\,\overrightarrow {SG} = {a \over 3}\overrightarrow {SA'} + {b \over 3}\overrightarrow {SB'} + {c \over 3}\overrightarrow {SC'} \cr} \)

Mặt phẳng (A’B’C’) đi qua G khi và chỉ khi 4 điểm G, A’, B’, C’ đồng phẳng, nên theo kết quả bài tập 5 (SGK trang 91) , điều đó xảy ra nếu và chỉ nếu \({a \over 3} + {b \over 3} + {c \over 3} = 1\) , tức là: a + b + c = 3.