Bài 14 trang 225 sách bài tập hình học lớp 12 nâng cao

LG 1

Tim toạ độ giao điểmAcủadvà (P).

Lời giải chi tiết:

Phương trình tham số củad:\(\left\{ {\matrix{ {x = {\rm{ }} - 1{\rm{ }} + {\rm{ }}2t} \hfill \cr {y = {\rm{ }} - 1{\rm{ }} + t} \hfill \cr {z{\rm{ }} = {\rm{ }}3{\rm{ }} + t.} \hfill \cr } } \right.\)

Toạ độ giao điểmAcủa đường thẳngdvới mp(P) thoả mãn hệ :

\(\left\{ {\matrix{ {x = - 1{\rm{ }} + {\rm{ }}2t} \hfill \cr {y{\rm{ }} = - 1{\rm{ }} + t} \hfill \cr {\;z = {\rm{ }}3{\rm{ }} + t} \hfill \cr {x{\rm{ }} + 2y - z + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0} \hfill \cr } } \right. \)

\(\Rightarrow t = {1 \over 3} \Rightarrow A = \left( { - {1 \over 3}; - {2 \over 3};{{10} \over 3}} \right).\)

LG 2

Tính góc \(\alpha \) giữa đường thẳngdvà mp(P).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\alpha \)là góc giữa đường thẳngdvà mp(P).dcó vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}} (2;1;1),\)(P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_p}} (1;{\rm{ }}2;{\rm{ }} - {\rm{ }}1)\)nên

\(\sin \alpha = {{\left| {\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|}} = {{\left| {2 + 2 - 1} \right|} \over {\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }}={1 \over 2}\)

\(\Rightarrow \alpha = {30^ \circ }.\)

LG 3

Viết phương trình mp(Q)chứa đường thẳngdvà vuông góc với mp(P).

Lời giải chi tiết:

Vì (Q) là mặt phẳng chứadvà vuông góc với mp(P) nên mp(Q) chứa điểm \(\left( { - 1{\rm{ }};{\rm{ }} - 1{\rm{ }};{\rm{ }}3} \right) \in d\) và có vectơ pháp tuyến là

\(\left[ {\overrightarrow {{n_d}} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = {\rm{ }}\left( { - 3{\rm{ }};{\rm{ }}3{\rm{ }};{\rm{ }}3} \right)\)

Suy ra phương trình mp(Q) là: \(x - y - z + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

LG 4

Viết phương trình hình chiếu vuông gócd'củadtrên mp(P).

Lời giải chi tiết:

d' chính là đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).Vì vậy, điểm \((x{\rm{ }};{\rm{ }}y;{\rm{ }}z) \in d'\)khi và chỉ khi \(\left( {x;y;z} \right)\) thoả mãn hệ

\(\left\{ {\matrix{ {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2y{\rm{ }} - {\rm{ }}z{\rm{ }} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0} \hfill \cr {x - y - z + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0,} \hfill \cr } } \right.\)

hayd' có phương trình tham số là :

\(\left\{ \matrix{ x = - {{11} \over 3} + t \hfill \cr y = - {2 \over 3} \hfill \cr z = t. \hfill \cr} \right.\)

LG 5

Viết phương trình đường thẳng nằm trong mp(P)chứaAvà vuông góc với đường thẳngd.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng nằm trong mpc(P), đi qua điểm \(A\left( { - {1 \over 3}; - {2 \over 3};{{10} \over 3}} \right)\) và vuông góc với đường thẳngd.Khi đó, \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = {1 \over 3}\left[ {\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( { - 1{\rm{ }};{\rm{ }}1{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right)\) nên \(\Delta \) có phương trình chính tắc là

\({{x + {1 \over 3}} \over { - 1}} = y + {2 \over 3} = z - {{10} \over 3}.\)

LG 6

Viết phương trình mặt cầu có tâmInằm trên đường thẳngd,tiếp xúc với mp(P) và có bán kính \(R = \sqrt 6 .\)

Lời giải chi tiết:

Vì \(I \in d\)nên \(I = {\rm{ }}\left( { - 1 + 2t; - 1{\rm{ }} + {\rm{ }}t;3 + {\rm{ }}t} \right).\)

Mặt cầu tâmItiếp xúc với mp(P) và có bán kính \(R{\rm{ }} = \sqrt 6 \).Và khi và chỉ khi \(d\left( {I,\left( P \right)} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\sqrt 6 \)hay

\({{\left| { - 1{\rm{ }} + 2t{\rm{ }} - 2{\rm{ }} + 2t{\rm{ }} - 3{\rm{ }} - t{\rm{ }} + 5} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {\rm{ }}{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \sqrt 6 \)

\( < = > \left| {3t - 1} \right|{\rm{ }} = {\rm{ }}6 \Rightarrow \left[ \matrix{ 3t - 1 = 6 \hfill \cr 3t - 1 = - 6 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left[ \matrix{ t = {7 \over 3} \hfill \cr t = - {5 \over 3} \hfill \cr} \right. \)

\(\Rightarrow \left[ \matrix{ I = \left( {{{11} \over 3};{4 \over 3};{{16} \over 3}} \right) \hfill \cr I = \left( { - {{13} \over 3};{{ - 8} \over 3};{4 \over 3}} \right). \hfill \cr} \right.\)

Vậy có hai mặt cầu thoả mản yêu cầu đặt ra là:

\( \left( {{S_1}} \right):{\left( {x - {{11} \over 3}} \right)^2} + {\left( {x - {4 \over 3}} \right)^2} + {\left( {x - {{16} \over 3}} \right)^2} = 6,\)

\(\left( {{S_2}} \right):{\left( {x + {{13} \over 3}} \right)^2} + {\left( {x + {8 \over 3}} \right)^2} + {\left( {x - {4 \over 3}} \right)^2} = 6. \)

LG 7

Viết phương trình mp(R) chứa đường thẳngdvà tạo với mp(P) một góc nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết:

Cách 1.Ta tìm hai điểm phân biệt thuộc đường thẳngd.

Chot= 0, ta được \(M( - 1;{\rm{ }} - 1{\rm{ }};{\rm{ }}3) \in d,{\rm{ }}t = {\rm{ }}1,\)ta được \(N\left( {{\rm{ }}1{\rm{ }};{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ }}4} \right) \in d.\)

Giả sử mặt phẳng (R)cần tìm có phương trìnhAx+By+Cz+D= 0 với \({A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0.\)

Vì M, N \( \in \) mp(R)

\(\left\{ \matrix{ - A - B + 3C + D = 0 \hfill \cr A + 4C + D = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ C = - (2A + B) \hfill \cr D = {\rm{ }}7A{\rm{ }} + {\rm{ }}4B. \hfill \cr} \right.\)

Do đó \(\overrightarrow {{n_R}} = {\rm{ }}\left( {A{\rm{ }};{\rm{ }}B; - 2A - {\rm{ }}B} \right).\)

Ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = {\rm{ }}\left( {1{\rm{ }};2; - 1} \right).\)

Gọi \(\varphi \) góc giữa hai mặt phẳng (R) và (P) \((0^\circ \le \varphi \le 90^\circ )\) thì:

\(\cos \varphi = {{\left| {A + 2B + 2A + B} \right|} \over {\sqrt 6 \sqrt {{A^2} + {B^2} + {{\left( {2A + B} \right)}^2}} }} = {3 \over {\sqrt 6 }}{{\left| {A + B} \right|} \over {\sqrt {5{A^2} + 2{B^2} + 4AB} }}.\)

Trường hợpA + B= 0, ta có \(\varphi \)=90°là góc lớn nhất trong các góc có thể có giữa hai mặt phẳng (P) và (R), loại.

Trường hợp \(A + B \ne 0\), ta có

\(\cos \varphi = {3 \over {\sqrt 6 }}\sqrt {{{{{\left( {A + B} \right)}^2}} \over {2{{\left( {A + B} \right)}^2} + 3{A^2}}}} \)

\(= {3 \over {\sqrt 6 }}\sqrt {{1 \over {2 + 3{{\left( {{A \over {A + B}}} \right)}^2}}}} \le {3 \over {\sqrt 6 }}.\sqrt {{1 \over 2}} = {{\sqrt 3 } \over 2},\)

suy ra \(\varphi \ge 30^\circ .\)

Dấu = xảy ra khiA= 0. Khi đóB\( \ne \) 0 (vì nếuB= 0 thì C = 0, vô lí).

Ta chọnB= 1 thì \(C = - (2A + B) = - 1,D{\rm{ }} = {\rm{ }}7A{\rm{ }} + {\rm{ }}4B{\rm{ }} = {\rm{ }}4{\rm{ }}.\)

Vậy mp(R) chứa đường thẳngdvà tạo với mp(P) một góc nhỏ nhất (bằng 30°) có phương trình là :

\(y{\rm{ }} - {\rm{ }}z{\rm{ }} + 4{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

Cách 2. (h. 117)

Xét mặt phẳng (Q) thay đổi đi qua đường thẳngd, cắt mp(P) theo giao tuyến \(\Delta '.\) Vì \(A{\rm{ }} = {\rm{ }}d{\rm{ }} \cap {\rm{ }}\left( P \right)\) nên \(A{\rm{ }} \in \Delta '\).

Lấy một điểmKcố định trênd(K\( \ne \)A). GọiHlà hình chiếu củaKtrên mp(P),Ilà hình chiếu củaHtrên \(\Delta \)' thìHIvàKIcùng vuông góc với \(\Delta \)'

nên là góc giữa mp(P) và mp(Q).

Ta có tan màKHkhông đổi khi (Q) thay đổi và \(HI \le HA\) nên

nhỏ nhất <=> tan nhỏ nhất <=>HIlớn nhất <=>ItrùngAhay \(\Delta ' \bot d\) tạiA, tức là \(\Delta \)' trùng \(\Delta \) (\(\Delta \) nói ở câu 5).

Vậy mp(R) chứa đường thẳngdvà tạo với mp(P) một góc nhỏ nhất khi và chỉ khi mp(R) chứadvà \(\Delta \) (\(\Delta \) nằm trên (P), đi quaAvà vuông góc vớid.

Ta có \(\left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right] = \left( {0; - {\rm{ }}3;3} \right)\) nên (R) có vectơ pháp tuyến là \(\left( {0{\rm{ }};{\rm{ }}1{\rm{ }};{\rm{ }} - 1} \right).\)

Vì mp(R) đi qua \(A\left( { - {1 \over 3}; - {2 \over 3};{{10} \over 3}} \right)\) nên có phưomg trình là

\(y + {2 \over 3} - \left( {z - {{10} \over 3}} \right) = 0\) hay \(y{\rm{ }} - {\rm{ }}z{\rm{ }} - {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

.com