Bài tập rút gọn biểu thức lượng giác lớp 10
Bài trước đã học công thức lượng giác, bài này sẽ giúp bạn sử dụng công thức một cách linh hoạt để biến đổi biểu thức lượng giác thông qua các ví du. Từ đó nhằm triệt tiêu các giá trị lượng giác của góc không đặc biệt và đưa về giá trị lượng giác đặc biệt.Thí dụ 1. Rút gọn biểu thức: A = cos10x + 2cos$^2$4x + 6cos3x.cosx - cosx - 8cosx.cos$^3$3x. Giải Biến đổi biểu thức về dạng: A = cos10x + 1 + cos8x - cosx - 2(4cos$^3$3x - 3cos3x)cosx \= 2cos9x.cosx + 1 - cosx - 2cos9x.cosx = 1 - cosx. Nhận xét: Như vậy, để rút gọn các biểu thức trên chúng ta sử dụng công thức hạ bậc dựa trên ý tưởng chủ đạo là biến đổi nó về dạng tổng. Thí dụ 2. Rút gọn các biểu thức:
Giải
Giải Ta lần lượt có: sinx + sin3x + sin5x = sinx + sin5x + sin3x \= 2sin3x.cos2x + sin3x = sin3x(2cos2x + 1). (1) cosx + cos3x + cos5x = cosx + cos5x + cos3x \= 2cos3x.cos2x + cos3x = cos3x(1cos2x - 1). (2) Từ (1) và (2) suy ra: A = $\frac{{\sin 3x}}{{\cos 3x}}$ = tan3x. Nhận xét: Đương nhiên, chúng ta có thể trình bày theo kiểu biến đổi đồng thời TS và MS. Cách trình bày như trên có tính minh hoạ để các em học sinh lấy nó áp dụng cho những biểu thức mà độ phức tạp trong các phép biến đổi cho TS và MS khác nhau. Thí dụ 4. Rút gọn các biểu thức:
Giải
Giải
Giải Ta có: $\frac{1}{{\sin {2^k}a}}$ = $\frac{{1 + \cos {2^k}a - \cos {2^k}a}}{{\sin {2^k}a}}$ = $\frac{{1 + \cos {2^k}a}}{{\sin {2^k}a}}$ - $\frac{{\cos {2^k}a}}{{\sin {2^k}a}}$ \= $\frac{{2{{\cos }2}{2{k - 1}}a}}{{2\sin {2^{k - 1}}a.\cos {2^{k - 1}}a}}$ - cot${2k}$a = cot2${k-1}$a - cot2${k}$a. Suy ra: A = cot$\frac{a}{2}$ - cota + cota - cot2a + ... + cot${2n-1}$a - cot$^{2n}$a = cot$\frac{a}{2}$ - cot2$^n$a. Thí dụ 7. Rút gọn biểu thức: A = tana.tan2a + tan2a.tan3a + ... + tan(n - 1)a.tanna. Giải Ta có: tana = tan[(k + 1) - k]a = $\frac{{\tan (k + 1)a - \tan ka}}{{1 + \tan (k + 1)a.\tan ka}}$ ⇔ tanka.tan(k + 1)a = $\frac{{\tan (k + 1)a - \tan ka}}{{\tan a}}$ - 1, do đó: tana.tan2a = $\frac{{\tan 2a - \tan a}}{{\tan a}}$ - 1; tan2a.tan3a = $\frac{{\tan 3a - \tan 2a}}{{\tan a}}$ - 1 ... tan(n - 1)a.tanna = $\frac{{\tan na - \tan (n - 1)a}}{{\tan a}}$ - 1 suy ra: A = $\frac{{\tan na - \tan a}}{{\tan a}}$ - (n - 1) = $\frac{{\tan na}}{{\tan a}}$ - n. Chú ý: Kết quả của bài toán trên được sử dụng để đơn giản biểu thức: A = $\frac{1}{{\cos a.\cos 2a}}$ + $\frac{1}{{\cos 2a.\cos 3a}}$ + ... + $\frac{1}{{\cos na.\cos (n + 1)a}}$. Thật vậy, nếu nhân cả hai vế của đẳng thức với cosa, ta được: B.cosa = $\frac{{\cos a}}{{\cos a.\cos 2a}}$ + $\frac{{\cos a}}{{\cos 2a.\cos 3a}}$ + ... + $\frac{{\cos a}}{{\cos na.\cos (n + 1)a}}$ \= $\frac{{\cos (2a - a)}}{{\cos a.\cos 2a}}$ + $\frac{{\cos (3a - 2a)}}{{\cos 2a.\cos 3a}}$ + ... + $\frac{{\cos [(n + 1)a - na]}}{{\cos na.\cos (n + 1)a}}$ \= 1 + tana.tan2a + 1 + tan2a.tan3a + ... + 1 + tanna.tan(n + 1)a \= n + tana.tan2a + tan2a.tan3a + ... + tanna.tan(n + 1)a \= n + $\frac{{\tan (n + 1)a}}{{\tan a}}$ - n - 1 = $\frac{{\tan (n + 1)a}}{{\tan a}}$ - 1. Tuy nhiên, có thể sử dụng sina để nhận được lời giải độc lập. Thí dụ 8. Rút gọn biểu thức A = tana + $\frac{1}{2}$tan$\frac{a}{2}$ + ... + $\frac{1}{{{2^n}}}$tan$\frac{a}{{{2^n}}}$. Giải Nhận xét rằng: cotx - tanx = $\frac{{{{\cos }2}x - {{\sin }^2}x}}{{\sin x.\cos x}}$ = $\frac{{2\cos 2x}}{{\sin 2x}}$ = 2cot2x ⇔ tanx = cotx - 2cot2x. Từ đó, ta có các kết quả: tana = cota - 2cot2a, $\frac{1}{2}$tan$\frac{a}{2}$ = $\frac{1}{2}$cot$\frac{a}{2}$ - cota, … $\frac{1}{{{2^n}}}$tan$\frac{a}{{{2^n}}}$ = $\frac{1}{{{2^n}}}$cot$\frac{a}{{{2^n}}}$ - $\frac{1}{{{2{n - 1}}}}$cot$\frac{a}{{{2^{n - 1}}}}$. Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được A = $\frac{1}{{{2^n}}}$cot$\frac{a}{{{2^n}}}$ - 2cot2a. Thí dụ 9. Rút gọn biểu thức A = $\frac{{\sqrt {1 + \sin 2x} + \sqrt {1 - \sin 2x} }}{{\sqrt {1 + \sin 2x} - \sqrt {1 - \sin 2x} }}$, với - $\frac{\pi }{4}$ < x < 0. Giải Biến đổi biểu thức về dạng: A = $\frac{{{{(\sqrt {1 + \sin 2x} + \sqrt {1 - \sin 2x} )}2}}}{{(\sqrt {1 + \sin 2x} - \sqrt {1 - \sin 2x} )(\sqrt {1 + \sin 2x} + \sqrt {1 - \sin 2x} )}}$ \= $\frac{{1 + \sin 2x + 2\sqrt {1 - {{\sin }^2}2x} + 1 - \sin 2x}}{{1 + \sin 2x - 1 + \sin 2x}}$ \= $\frac{{1 + \sqrt {{{\cos }^2}2x} }}{{\sin 2x}}$ = $\frac{{1 + |\cos 2x|}}{{\sin 2x}}$$\mathop = \limits{ - \frac{\pi }{4} < x < 0} $$\frac{{1 + \cos 2x}}{{\sin 2x}}$ = $\frac{{2{{\cos }^2}x}}{{2\sin x.\cos x}}$ = cotx. Chú ý: Người ta có thể sử dụng kết quả của ví dụ trên để tạo ra những yêu cầu khá thú vị, để minh hạo ta xét đòi hỏi: “Cho t ∈ [-1; 1]\{0} và thoả mãn tanx = $\frac{{\sqrt {1 + t} + \sqrt {1 - t} }}{{\sqrt {1 + t} - \sqrt {1 - t} }}$. Chứng minh rằng t = sin2x”. Trước hết: tanx = $\frac{{{{(\sqrt {1 + t} + \sqrt {1 - t} )}^2}}}{{(\sqrt {1 + t} - \sqrt {1 - t} )(\sqrt {1 + t} + \sqrt {1 - t} )}}$ = $\frac{{1 + \sqrt {1 - {t^2}} }}{t}$. Mặt khác: sin2x = $\frac{{2\tan x}}{{1 + {{\tan }^2}x}}$ = $\frac{{2.\frac{{1 + \sqrt {1 - {t^2}} }}{t}}}{{1 + {{\left( {\frac{{1 + \sqrt {1 - {t^2}} }}{t}} \right)}^2}}}$ = $\frac{{2(1 + \sqrt {1 - {t^2}} )t}}{{2(1 + \sqrt {1 - {t^2}} )}}$ = t. Chú ý: Trong các bài toán thi chúng ta thường gặp phải yêu cầu "Chứng minh đẳng thức lượng giác độc lập với biến số". Thí dụ 10. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: A = cos$^2$(x - $\frac{\pi }{3}$) + cos2x + cos2(x + $\frac{\pi }{3}$). Giải Ta có thể lựa chọn một trong hai cách biến đổi sau: Cách 1: Ta biến đổi: A = (cosx.cos$\frac{\pi }{3}$ + sinx.sin$\frac{\pi }{3}$)2 + cos2x + (cosx.cos$\frac{\pi }{3}$ - sinx.sin$\frac{\pi }{3}$)2 \= ($\frac{1}{2}$cosx + $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$sinx)2 + cos2x + ($\frac{1}{2}$cosx - $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$sinx)2 \= $\frac{1}{2}$cos$^2$x + $\frac{3}{2}$sin$^2$x + cos$^2$x = $\frac{3}{2}$(sin$^2$x + cos$^2$x) = $\frac{3}{2}$. Vậy, biểu thức A không phụ thuộc vào x. Cách 2: Ta biến đổi: A = $\frac{1}{2}$[1 + cos(2x - $\frac{{2\pi }}{3}$)] + cos2x + $\frac{1}{2}$[1 + cos(2x + $\frac{{2\pi }}{3}$)] \= 1 + cos2x + $\frac{1}{2}$[cos(2x + $\frac{{2\pi }}{3}$) + cos(2x - $\frac{{2\pi }}{3}$)] \= 1 + cos2x + cos2x.cos$\frac{{2\pi }}{3}$ = 1 + cos2x - $\frac{1}{2}$(2cos2x - 1) = $\frac{3}{2}$. Thí dụ 11. Xác định a ∈ (0; $\frac{\pi }{2}$) để biểu thức sau không phụ thuộc vào x: A = cosx + cos(x + 2a) + cos(x + 4a) + cos(x + 6a). Giải Ta biến đổi: A = cosx + cos(x + 6a) + cos(x + 2a) + cos(x + 4a) \= 2cos(x + 3a).cos3a + 2cos(x + 3a).cosa = 2(cos3a + cosa)cos(x + 3a). Để biểu thức không phụ thuộc vào x điều kiện là: cos3a + cosa = 0 ⇔ cos3a = cos(π - a) = 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}3a = \pi - a + 2k\pi \\3a = - \pi + a + 2k\pi \end{array} \right.$ ⇔ $\left[ \begin{array}{l}a = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\\a = - \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.$ $\mathop \Leftrightarrow \limits^{a \in (0,\,\frac{\pi }{2})} $ a = $\frac{\pi }{4}$. Vậy, với a = $\frac{\pi }{4}$ biểu thức không phụ thuộc vào x. |