Lý thuyết tính chất chia hết của một tổng là gì? Mời các bạn đọc giả của GiaiNgo cùng tìm câu trả lời qua bài viết sau đây!
Trong Toán học lớp 6, chúng ta đã được học về lý thuyết tính chất chia hết của một tổng. Vậy tính chất chia hết của một tổng là gì? Có những dạng bài tập nào về tính chất chia hết của một tổng? GiaiNgo sẽ giúp các bạn trả lời ngay sau đây!
Lý thuyết tính chất chia hết của một tổng
Nhắc lại về quan hệ chia hết
Số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b khác 0 nếu có một số tự nhiên k sao cho a = b . k
Kí hiệu:
- a chia hết cho b được kí hiệu là: a ⋮ b
- a không chia hết cho b được kí hiệu là: a ⋮̸ b
Lý thuyết tính chất chia hết của một tổng
Với a, b , m ∈ N, m ≠ 0 ta có:
Tính chất 1
Nếu tất cả các số hạng trong một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó.
a ⋮ m, b ⋮ m, c ⋮ m => [a + b + c] ⋮ m
Ví dụ: Không thực hiện phép tính, xét xem biểu thức [120 + 48 + 270] có chia hết cho 3 không?
Ta có, vì 120 ⋮ 3, 48 ⋮ 3, 270 ⋮ 3 cho nên biểu thức [120 + 48 + 270] ⋮ 3.
Tính chất 2
Nếu trong tổng có một số hạng không chia hết cho số tự nhiên m, còn các số hạng khác đều chia hết cho m thì tổng đó không chia hết cho m.
a ⋮ m, b ⋮ m, c ⋮̸ m => [a + b + c] ⋮̸ m
Ví dụ: Không thực hiện phép tính, xét xem biểu thức [145 + 60 + 23] có chia hết cho 5 không?
Ta có, vì 145 ⋮ 5, 60 ⋮ 5, 23 ⋮̸ 5 cho nên biểu thức [145 + 60 + 23] không chia hết cho 5.
Lưu ý:
- Tính chất 1 và tính chất 2 cũng đúng với trường hợp có hai hay nhiều số hạng.
- Tính chất 1 cũng đúng với một hiệu [a ≥ b].
a ⋮ m và b ⋮ m ⇒ [a − b] ⋮ m
Ví dụ: Ta có: [245 − 120] ⋮ 5 vì 245 ⋮ 5 và 120 ⋮ 5.
- Tính chất 2 cũng đúng với một hiệu [a > b].
a ⋮ m và b ⋮̸ m ⇒ [a−b] ⋮̸ m
Ví dụ: Ta có [246 − 136] ⋮̸ 3 vì 246 ⋮ 3 và 136 ⋮̸ 3.
Mở rộng tính chất chia hết của một tổng
- Nếu a ⋮ m ⇒ k . a ⋮ m [k ∈ N].
- Nếu trong một tích chỉ có một thừa số chia hết cho m thì tích đó cũng chia hết cho m.
Chủ đề liên quan:
- Tính chất kết hợp của phép cộng? Lời giải bài tập trong SGK
Bài tập tính chất chia hết của một tổng
Các dạng toán cơ bản về tính chất chia hết của một tổng
Dạng 1: Xét tính chia hết của một tổng hoặc một hiệu
Phương pháp giải:
Áp dụng tính chất 1 và tính chất 2 về sự chia hết của một tổng.
Ví dụ: Tổng 40 + 72 có chia hết cho 8 không?
Ta có: Vì 40 ⋮ 8 và 72 ⋮ 8 nên tổng 40 + 72 chia hết cho 8.
Dạng 2: Tìm điều kiện của một số hạng để tổng hoặc hiệu chia hết cho một số nào đó
Phương pháp giải:
Áp dụng tính chất 1 và tính chất 2 về sự chia hết của một tổng để tìm điều kiện của số hạng chưa biết.
Ví dụ: Tìm điều kiện của số tự nhiên a để tổng N = 8 + 24 + 12 + a chia hết cho 4?
Ta có: Vì 8 ⋮ 4, 24 ⋮ 4, 12 ⋮ 4 nên để tổng N chia hết cho 4 thì a phải chia hết cho 4.
Bài tập tính chất chia hết của một tổng
Bài tập 1:
a] Viết hai số chia hết cho 6. Tổng của chúng có chia hết cho 6 không?
b] Viết hai số chia hết cho 7. Tổng của chúng có chia hết cho 7 không?
Lời giải:
a] Hai số chia hết cho 6 là 36 và 72.
36 + 72 = 108 có chia hết cho 6.
b] Hai số chia hết cho 7 là 49 và 91.
49 + 91 = 140 có chia hết cho 7.
Bài tập 2:
Áp dụng tính chất chia hết, xét xem mỗi tổng sau có chia hết cho 8 hay không:
a] 48 + 56 ; b] 80 + 17
Lời giải
a] 48 ⋮ 8 và 56 ⋮ 8 ⇒ [48 + 56] ⋮ 8 [tính chất 1].
b] 80 ⋮ 8 và 17 ⋮̸ 8 ⇒ [ 80 + 17] ⋮̸ 8 [tính chất 2].
Bài tập 3:
Cho ví dụ hai số a và b, trong đó a không chia hết cho 3, b không chia hết cho 3 nhưng a+b chia hết cho 3.
Lời giải
Ta có: Số a không chia hết cho 3 là 5. Số b không chia hết cho 3 là 10.
Tổng a + b = 5 + 10 chia hết cho 3.
Bài tập 4:
Khi chia số tự nhiên a cho 12, ta được số dư là 8. Hỏi số a có chia hết cho 4 không? Có chia hết cho 6 không?
Lời giải:
Gọi q là thương trong phép chia a cho 12.
Ta có a = 12q + 8 [Số bị chia = Thương . Số chia + Số dư].
Vì 12 ⋮ 4 nên 12q chia hết cho 4 mà 8 chia hết cho 4.
Suy ra: 12q + 8 chia hết cho 4.
Vậy a chia hết cho 4.
Tương tự, a=12q+8.
Vì 12 ⋮ 6 nên 12q chia hết cho 6 nhưng 8 không chia hết cho 6.
Suy ra 12q+8 không chia hết cho 6.
Vậy a không chia hết cho 6.
Như vậy, qua bài viết trên chúng ta đã biết được tính chất chia hết của một tổng cũng như các bài tập toán sử dụng lý thuyết này. Hi vọng bài viết của GiaiNgo sẽ giúp các bạn củng cố thêm được kiến thức Toán học của mình. Chúc các bạn đọc giả học tập thật tốt!
Kiến thức hữu ích:
Cho hai số tự nhiên a và b [b ≠ 0].
- Ta nói a chia hết cho b nếu có số tự nhiên q sao cho a = b.q.
- Khi a chia hết cho b, ta nói a là bội của b, b là ước của a.
Phép chia \[a\] cho \[b\] có số dư là \[r\].
- Nếu \[r=0\] thì a chia hết cho b, kí hiệu \[a⋮b.\]
- Nếu \[r\ne0\] thì a không chia hết cho b, kí hiệu \[a\] \[⋮̸\]\[b\].
Ví dụ 1: Trong các số sau, số nào chia hết cho 4, số nào không chia hết cho 4: 0, 4, 15, 20, 26?
Giải:
- Do \[0=4.0\] nên 0 ⋮ 4.
- Do \[4=4.1\] nên 4 ⋮ 4.
- Do \[15:4=3\] [dư 3] nên 15 \[⋮̸\]4.
- Do \[20=4.5\] nên 20 ⋮ 4.
- Do \[26:4=6\] [dư 2] nên 26 \[⋮̸\]4.
Ví dụ 2: a] Chỉ ra ba số là bội của 5.
b] Chỉ ra ba số là ước của 18.
Giải:
a] Ta có: 0 : 5 = 0, 5 : 5 = 1, 10 : 5 = 2.
Do đó, 0, 5, 10 là ba bội của 5.
b] Ta có: 18 = 1.18, 18 = 2.9.
Do đó, 18, 1, 2 là ba ước của 18.
Với a là số tự nhiên khác 0 thì:
- a là ước của a;
- a là bội của a;
- 0 là bội của a;
- 1 là ước của a.
@232909@@232985@
Để tìm các bội của n [n ∈ \[\mathbb{N^*}\]] ta có thể lần lượt nhân n với 0, 1, 2, 3, ...
Khi đó, các kết quả nhận được đều là bội của n.
Ví dụ 1: a] Hãy tìm 5 bội của 9.
b] Hãy tìm các bội nhỏ hơn 100 của 25.
Giải:
a] Lần lượt lấy 9 nhân với 0, 1, 2, 3, 4 ta được 5 bội của 9 là 0, 9, 18, 27, 36.
b] 0 : 25 = 0, 25 : 25 = 1, 75 : 25 = 3.
Vậy 0, 25, 75 là các bội nhỏ hơn 100 của 25.
Để tìm các ước của số tự nhiên \[n\] lớn hơn 1 ta có thể lần lượt chia \[n\] cho các số tự nhiên từ 1 đến \[n\].
Khi đó, các phép chia hết cho ta số chia là ước của \[n\]
Ví dụ 2: Hãy chỉ ra ước của 12.
Giải:
Thực hiện phép chia số 12 lần lượt cho các số tự nhiên từ 1 đến 12.
Ta được các phép chia hết là: 12 : 1 = 12, 12 : 2 = 6, 12 : 3 = 4, 12 : 4 = 3, 12 : 6 = 2; 12 : 12 =1.
Vì vậy, các ước của 12 là 1, 2, 3, 4, 6 và 12.
II. TÍNH CHẤT CHIA HẾT
1. Tính chất chia hết của một tổng
Nếu tất cả các số hạng của tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó.
Nếu a ⋮ m và b ⋮ m thì [a + b] ⋮ m.
Khi đó ta có [a + b] : m = a : m + b : m.
Lưu ý: Nếu trong một tổng có một số hạng không chia hết cho một số, những số còn lại đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đó.
Nếu a \[⋮̸\]m và b ⋮ m thì [a + b] \[⋮̸\]m.
Ví dụ: Không tính tổng, xét xem:
a] \[\text{A = 25 + 10 + 95 }\] có chia hết cho 5 hay không? Vì sao?
c] \[\text{B = 16 + 64 + 30 }\] có chia hết cho 8 hay không? Vì sao?
Giải:
a] Các số 25, 10, 95 đều chia hết cho 5 nên B chia hết cho 5.
b] Các số 16, 64 đều chia hết cho 8, nhưng 30 không chia hết cho 8.
Vì vậy B không chia hết cho 8.
@233956@@234041@
Nếu số bị trừ và số trừ đều chia hết cho cùng một số thì hiệu chia hết cho số đó.
Với \[a\ge b\]:
Nếu \[a\] ⋮ \[m\] và \[b\] ⋮ \[m\] thì \[\left[a-b\right]⋮m\].
Khi đó ta có: \[\left[a-b\right]:m=a:m-b:m.\]
Lưu ý: Tương tự như tính chất chia hết của một tổng, ta cũng có với \[a\ge b\]:
- Nếu \[a\] ⋮ \[m\] và \[b\] \[⋮̸\]\[m\] thì \[\left[a-b\right]⋮̸̸\]\[m.\]
- Nếu \[a\] \[⋮̸\] \[m\] và \[b\] ⋮ \[m\] thì \[\left[a-b\right]⋮̸\]\[m\].
Ví dụ: Không tính hiệu, xét xem:
a]\[\text{ A = 360 - 68 }\] có chia hết cho 4 hay không? Tại sao?
b] \[\text{B = 2 021 - 39}\] có chia hết cho 3 hay không? Tại sao?
Giải:
a] Các số 360 và 68 đều chia hết cho 4 nên A chia hết cho 4.
b] 2 022 không chia hết cho 3, nhưng 39 chia hết cho 3.
Vì vậy B không chia hết cho 3.
@234322@@234411@
Nếu một thừa số của tích chia hết cho một số thì tích chia hết cho số đó.
Nếu a ⋮ m thì [a.b] ⋮ m với mọi số tự nhiên b.
Ví dụ: Không tích tích, hãy xét xem:
a] \[\text{A = 39.5 555}\] có chia hết cho 13 hay không?
b] \[\text{B = 72.56 798}\] có chia hết cho 9 hay không?
Giải:
a] Vì 39 = 3.13 nên 39 chia hết cho 13.
Do đó, tích \[\text{A = 39.5 555}\] chia hết cho 13.
b] Vì 72 = 9.8 nên 72 chia hết cho 9.
Do đó tích \[\text{B = 72.56 798}\] chia hết cho 9.
@234486@