Đề bài
Cho đường tròn [O] đường kính AB vuông góc với dây CD tại E.
Chứng minh: \[C{D^2} = 4AE.BE\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Chứng minh tam giác ABC vuông tại C, sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính CE theo AE và BE.
+] Sử dụng quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung chứng minh E là trung điểm của CD \[ \Rightarrow CD = 2CE\].
Lời giải chi tiết
Ta có \[\widehat {ACB}\] là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \[ \Rightarrow \widehat {ACB} = {180^0} \Rightarrow \Delta ABC\] vuông tại C.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có: \[C{E^2} = AE.BE\].
Ta có: \[AB \bot CD\] tại E \[ \Rightarrow E\] là trung điểm của CD [Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung] \[ \Rightarrow CD = 2CE \]\[\Rightarrow C{D^2} = 4C{E^2} = 4AE.BE\] [đpcm].