Đề bài
Cho tam giác vuông \[ABC\] [\[\widehat A = 90^\circ \]]. Dựng \[AD\] vuông góc với \[BC\] [\[D\] thuộc \[BC\]]. Đường phân giác \[BE\] cắt \[AD\] tại \[F\] [h.29].
Chứng minh: \[\displaystyle {{FD} \over {FA}} = {{EA} \over {EC}}\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
-Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
-Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn ấy.
Lời giải chi tiết
\[\Delta ABC\] có \[BE\] là tia phân giác của góc \[ABC\] nên ta có:
\[\displaystyle {{EA} \over {EC}} = {{AB} \over {BC}}\] [tính chất đường phân giác của tam giác] [1]
\[\DeltaADB\] có \[BF\] là tia phân giác của góc \[ABD\] nên ta có:
\[\displaystyle {{FD} \over {FA}} = {{BD} \over {BA}}\] [tính chất đường phân giác của tam giác] [2]
Xét \[ ABC\] và \[ DBA\] có:
\[\widehat {BAC} = \widehat {BDA} = 90^\circ \]
\[\widehat B\] chung
\[ \Rightarrow ABC\backsim DBA\] [g.g]
\[ \Rightarrow\displaystyle {{BD} \over {BA}} = {{AB} \over {CB}}\] [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra: \[\displaystyle {{FD} \over {FA}} = {{EA} \over {EC}}\].