Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] vuông cân tại \[A,\] \[BC= 2 cm.\] Ở phía ngoài tam giác \[ABC,\] vẽ tam giác \[ACE\] vuông cân tại \[E.\]
\[a]\] Chứng minh rằng \[AECB\] là hình thang vuông
\[b]\] Tính các góc và các cạnh của hình thang \[AECB.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng định nghĩa:
+] Hình thang là tứ giác có hai cạnh song song.
+] Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông.
+] Hai góc kề một cạnh bên của hình thang bằng \[180^0.\]
+] Sử dụng định lí: Py - ta - go.
Lời giải chi tiết
\[a]\] \[ ABC\] vuông cân tại \[A\]
\[\Rightarrow \widehat {ACB} = {45^0}\]
\[ EAC\] vuông cân tại \[E\]
\[ \Rightarrow \widehat {EAC} = {45^0}\]
Suy ra: \[\widehat {EAC} = \widehat {ACB}\]
\[ AE // BC\] [vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau]
nên tứ giác \[AECB\] là hình thang có \[\widehat E = {90^0}\]. Vậy \[AECB\] là hình thang vuông
\[ b]\] \[\widehat E = \widehat {ECB} = {90^0},\widehat B = {45^0}\]
Vì \[AE // BC\] nên \[\widehat B + \widehat {EAB} = {180^0}\][hai góc trong cùng phía bù nhau]
\[ \Rightarrow \widehat {EAB} = {180^0} - \widehat B\]\[ = {180^0} - {45^0} = {135^0}\]
\[ ABC\] vuông tại \[A.\] Theo định lí Py-ta-go ta có:
\[A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\] mà \[AB= AC \;\;[gt]\]
\[\Rightarrow 2A{B^2} = B{C^2} = {2^2} = 4 \]
\[ A{B^2} = 2 \Rightarrow AB = \sqrt 2 [cm] \]
\[\Rightarrow AC = \sqrt 2 [cm] \]
\[ AEC\] vuông tại \[E.\] Theo định lí Py-ta-go ta có:
\[E{A^2} + E{C^2} = A{C^2}\], mà \[EA = EC\;\;\; [gt]\]
\[\eqalign{
& \Rightarrow 2E{A^2} = A{C^2} = 2 \cr
& \RightarrowE{A^2} = 1 \cr
& \Rightarrow EA = 1[cm] \Rightarrow EC = 1[cm] \cr} \]