Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\]. Kẻ đường cao \[AH\]. Tính\[\sin B, \sin C\]trong mỗi trường hợp sau [làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư], biết rằng:
a] \[AB = 13\]; \[BH = 5\].
b] \[BH = 3\]; \[CH = 4\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], đường cao \[AH\]. Khi đó ta có các hệ thức sau:
+] \[A{B^2} = BH.BC\] hay \[{c^2} = a.c'\]
+] \[A{C^2} = CH.BC\] hay \[{b^2} = ab'\]
+] \[AB^2+AC^2=BC^2\] hay \[c^2+b^2=a^2\] [định lý Pytago]
Các tỉ số lượng giác của góc nhọn [hình] được định nghĩa như sau:
\[\sin \alpha = \dfrac{{AB}}{{BC}};\cos \alpha = \dfrac{{AC}}{{BC}};\]\[\tan \alpha = \dfrac{{AB}}{{AC}};\cot \alpha = \dfrac{{AC}}{{AB}}.\]
Lời giải chi tiết
a] Xét tam giác vuông \[ABH\], ta có: \[\cos \widehat B = \dfrac{{BH}}{{AB}} = \dfrac{5}{{13}}\]
Tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] nên:\[\widehat B + \widehat C = 90^\circ \]
Suy ra: \[\sin \widehat C = c{\rm{os}}\widehat B = \dfrac{5}{{13}} \approx 0,3864.\]
Áp dụng định lí Pytago, ta có:
\[A{B^2} = A{H^2} + B{H^2} \]\[\Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}\]\[ = {13^2} - {5^2} = 144\]
Suy ra: \[AH = 12\]
Ta có: \[\sin B = \dfrac {{AH}}{{AB}} = \dfrac{{12}}{{13}} \approx 0,9231\]
b] Ta có:
\[BC = BH + HC = 3 + 4 = 7\]
Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:
\[A{B^2} = BH.BC\]\[ \Rightarrow AB = \sqrt {BH.BC} = \sqrt {3.7} = \sqrt {21} \]
\[\eqalign{
& A{C^2} = CH.BC \cr
& \Rightarrow AC = \sqrt {CH.BC}\cr &= \sqrt {4.7} = \sqrt {28} = 2\sqrt 7 \cr} \]
Suy ra: \[\sin \widehat B = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{{2\sqrt 7 }}{ 7} \approx 0,7559\]
\[\sin \widehat C = \dfrac{{AB}}{{BC}} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{7} \approx 0,6547\]