\[\begin{array}{l}{S_{JAB}} = \dfrac{1}{2}.AB.JP = \dfrac{{c.{r_a}}}{2} , \\{S_{JAC}} = \dfrac{1}{2}.AC.JR = \dfrac{{b.{r_a}}}{2} ,\\{S_{JBC}} = \dfrac{1}{2}.BC.JQ = \dfrac{{a{r_a}}}{2}.\end{array}\]
Đề bài
Cho tam giác \[ABC\]. Gọi \[r_a\]là bán kính đường tròn bàng tiếp góc \[A\]. Chứng minh rằng diện tích tam giác \[ABC\] tính được theo công thức:
\[S = [p - a]{r_a}\].
Lời giải chi tiết
Gọi \[Q, R, P\] là các tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp \[[J ; r_a]\] lần lượt với các đường thẳng \[BC, CA, AB\] [h.67] thì:
\[\begin{array}{l}{S_{JAB}} = \dfrac{1}{2}.AB.JP = \dfrac{{c.{r_a}}}{2} , \\{S_{JAC}} = \dfrac{1}{2}.AC.JR = \dfrac{{b.{r_a}}}{2} ,\\{S_{JBC}} = \dfrac{1}{2}.BC.JQ = \dfrac{{a{r_a}}}{2}.\end{array}\]
Ta có
\[S = {S_{JAB}} + {S_{JAC}} - {S_{JBC}}\]
\[= \dfrac{{b + c - a}}{2}{r_a} = \dfrac{{a + b + c - 2a}}{2}{r_a}\].
Vậy \[S = [p - a]{r_a}\].