Đề bài
Cho hình thang cân ABCD [AB//CD] có đường chéo AC vuông góc với cạnh bên AD và AB = BC = 3 cm.
a] Có nhận xét gì về tam giác ACD, chứng minh điều đó. Tính các góc của tam giác ACD và của hình thang cân ABCD.
b] Nêu cách dựng hình thang cân ABCD.
Lời giải chi tiết
a] Ta có \[\widehat {BAC} = \widehat {ACD}\] [so le trong AB // CD]
Mặt khác \[AB = BC\,\,\left[ {gt} \right] \Rightarrow \Delta ABC\] cân tại B \[ \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {BCA}\]
Do đó \[\widehat {BAC} = \widehat {ACD} = \widehat {BCA}\]
Nên \[\widehat {ABC} = \widehat {BAD} = \widehat {CAD} + \widehat {BAC} = {90^0} + \widehat {ACD}\]
Mặt khác \[\widehat {ABC} + \widehat {BCD} = {180^0}\] [hai góc trong cùng phía và AB // CD]
Nên \[{90^0} + \widehat {ACD} + \widehat {ACD} + \widehat {ACD} = {360^0} \Rightarrow 3\widehat {ACD} = {90^0} \Rightarrow \widehat {ACD} = {30^0}\]
\[\Delta ACD\] vuông tại A có \[\widehat {ACD} = {30^0}\]
Và \[\widehat {ADC} = {90^0} - \widehat {ACD} = {90^0} - {30^0} = {60^0}\]
Do đó \[\widehat {BAD} = \widehat {ABC} = {90^0} + \widehat {ACD} = {120^0}\]
\[\widehat {ADC} = \widehat {BCD} = \widehat {ACD} + \widehat {BCA} = {60^0}\]
b] Cách dựng
- Dựng tam giác ABC cân tại B có \[AB = BC = 3cm,\,\,\widehat {ABC} = {120^0}\]
- Dựng tia Cx//AB [tia Cx và A cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ BC]
- Dựng đường thẳng d qua A và vuông góc với AC, D là giao điểm của d và tia Cx.
Tứ giác ABCD là hình thang cân cần dựng.
Chứng minh
\[\Delta ABC\] cân tại B, \[\widehat {ABC} = {120^0}\] [bước dựng 1]
\[ \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {BCA} = \left[ {{{180}^0} - \widehat {ABC}} \right]:2 = {30^0}\]
\[\widehat {DAC} = {90^0}\,\,\left[ {d \bot AC} \right]\]
Nên \[\widehat {BAD} = \widehat {DAC} + \widehat {BAC} = {90^0} + {30^0} = {120^0}\]
Ta có AB // CD [Vì Cx // AB] \[ \Rightarrow \] Tứ giác ABCD là hình thang.
Mà \[\widehat {BAD} = \widehat {ABC}\,\,\left[ { = {{120}^0}} \right]\]. Do đó ABCD là hình thang cân.
Vậy tứ giác ABCD là hình thang cân
[AB // CD] có \[AB = BC = 3cm,\,\,AC \bot AD\]