- LG câu a
- LG câu b
Rút gọn các biểu thức:
LG câu a
\[\sqrt {\dfrac{{x - 2\sqrt x + 1}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \][\[x 0\]];
Phương pháp giải:
Áp dụng:
Với\[A \ge 0\] thì\[A = \sqrt {{A^2}} \]
Và \[\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\]
Với\[A \ge 0\] thì\[\left| A \right| = A\]
với\[A < 0\] thì\[\left| A \right| = - A\].
Hằng đẳng thức cần sử dụng:
\[{[A - B]^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\]
\[{[A + B]^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\]
Lời giải chi tiết:
Vì \[x 0\] nên \[ x = {\left[ {\sqrt x } \right]^2}\]
Ta có:
\[ \displaystyle\eqalign{
& \sqrt {{{x - 2\sqrt x + 1} \over {x + 2\sqrt x + 1}}} \cr
& = \sqrt {{{{{\left[ {\sqrt x } \right]}^2} - 2\sqrt x + 1} \over {{{\left[ {\sqrt x } \right]}^2} + 2\sqrt x + 1}}} \cr
& = \sqrt {{{{{\left[ {\sqrt x - 1} \right]}^2}} \over {{{\left[ {\sqrt x + 1} \right]}^2}}}} \cr} \]
\[ \displaystyle \displaystyle= {{\sqrt {{{\left[ {\sqrt x - 1} \right]}^2}} } \over {\sqrt {{{\left[ {\sqrt x + 1} \right]}^2}} }}\]
\[ = \dfrac{{\left| {\sqrt x - 1} \right|}}{{\left| {\sqrt x + 1} \right|}} = \dfrac{{\left| {\sqrt x - 1} \right|}}{{\sqrt x + 1}}\]
+] Nếu \[ \displaystyle\sqrt x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\] thì \[ \displaystyle\left| {\sqrt x - 1} \right| = \sqrt x - 1\]
Ta có: \[ \displaystyle{{\left| {\sqrt x - 1} \right|} \over {\sqrt x + 1}} = {{\sqrt x - 1} \over {\sqrt x + 1}}\] [với \[x 1]\]
+] Nếu \[ \displaystyle\sqrt x - 1 < 0 \Leftrightarrow x < 1\] thì \[ \displaystyle\left| {\sqrt x - 1} \right| = 1 - \sqrt x \]
Ta có:
\[ \displaystyle{{\left| {\sqrt x - 1} \right|} \over {\sqrt x + 1}} = {{1 - \sqrt x } \over {\sqrt x + 1}}\] [với \[0 x < 1\]]
LG câu b
\[\dfrac{{x - 1}}{{\sqrt y - 1}}\sqrt {\dfrac{{y - 2\sqrt y + 1}}{{{{[x - 1]}^4}}}} \] \[[x 1, y 1\] và \[y 0].\]
Phương pháp giải:
Áp dụng:
Với\[A \ge 0\] thì\[A = \sqrt {{A^2}} \]
Và \[\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\]
Với\[A \ge 0\] thì\[\left| A \right| = A\]
với\[A < 0\] thì\[\left| A \right| = - A\].
Hằng đẳng thức cần sử dụng:
\[{[A - B]^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\]
Lời giải chi tiết:
Vì \[y 0\] nên \[ y = {\left[ {\sqrt y } \right]^2}\]
Ta có:
\[ \displaystyle\eqalign{
& {{x - 1} \over {\sqrt y - 1}}\sqrt {{{{{ {y - 2\sqrt y + 1} }}} \over {{{[x - 1]}^4}}}} \cr
& = {{x - 1} \over {\sqrt y - 1}}{{\sqrt {{{\left[ \sqrt y - 1 \right]}^2}} } \over {\sqrt {{{[x - 1]}^4}} }} \cr} \]
\[ \displaystyle\eqalign{& = {{x - 1} \over {\sqrt y - 1}}.{{\left| \sqrt y-1 \right|} \over {{{[x - 1]}^2}}} \cr
& = { {\left| \sqrt y-1 \right|} \over {[{\sqrt {y} - 1}].[x - 1]}} \cr} \]
+] Nếu \[y>1\]
Ta có \[ \displaystyle\left| \sqrt y-1 \right|=\sqrt y-1\] nên:
\[ \displaystyle {{\left| \sqrt y-1 \right|}\over {[{\sqrt {y} - 1}].[x - 1]}} = {{ \sqrt y-1 }\over {[{\sqrt {y} - 1}].[x - 1]}} \]\[=\dfrac {1}{x-1}\]
+] Nếu\[0 \le y < 1\]
Ta có \[\left| {\sqrt y - 1} \right| = -[ \sqrt y -1]\] nên:
\[\displaystyle {{\left| \sqrt y-1 \right|}\over {[{\sqrt {y} - 1}].[x - 1]}}= {{ -[\sqrt y-1] }\over {[{\sqrt {y} - 1}].[x - 1]}}\]\[= \dfrac{{ - 1}}{{x - 1}}\]