- Bài 6.1
- Bài 6.2
- Bài 6.3
- Bài 6.4
Bài 6.1
Giả sử \[x_1,x_2\]là hai nghiệm của phương trình\[a{x^2} + bx + c = 0\;[a \ne 0].\]
Điều nào sau đây đúng?
A]\[\displaystyle {x_1} + {x_2} = {b \over a},{x_1}{x_2} = {c \over a}\]
B]\[\displaystyle {x_1} + {x_2} = - {b \over a},{x_1}{x_2} = - {c \over a}\]
C]\[\displaystyle {x_1} + {x_2} = {b \over a},{x_1}{x_2} = - {c \over a}\]
D]\[\displaystyle {x_1} + {x_2} = - {b \over a},{x_1}{x_2} = {c \over a}\]
Phương pháp giải:
Áp dụng hệ thức Vi-ét:
- Nếu \[{x_1},{\rm{ }}{x_2}\]là hai nghiệm của phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\,[a \ne 0]\]thì:
\[\left\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = -\dfrac{b}{a}& & \\ x_{1}x_{2}=\dfrac{c}{a} & & \end{matrix}\right.\]
Lời giải chi tiết:
\[x_1,x_2\]là nghiệm của phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\;[a \ne 0]\].
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\[\displaystyle{x_1} + {x_2} = - {b \over a},{x_1}{x_2} = {c \over a}\]
Chọn D.
Bài 6.2
Giả sử \[x_1,x_2\]là hai nghiệm của phương trình \[{x^2} + px + q = 0.\]Hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm\[x_1+x_2;x_1x_2\]
Phương pháp giải:
Phương trình có hai nghiệm \[x_1;x_2\] có dạng:\[\left[ {x - {x_1}} \right]\left[ {x - {x_2}} \right] = 0\].
Lời giải chi tiết:
Giả sử \[x_1,x_2\]là nghiệm của phương trình:\[{x^2} + px + q = 0\].
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\[\displaystyle {x_1} + {x_2} = - {p \over 1} = - p;{x_1}{x_2} = {q \over 1} = q\]
Phương trình có hai nghiệm là \[{x_1} + {x_2}\]và \[{x_1}{x_2}\]tức là phương trình có hai nghiệm là \[-p\] và \[q.\]
Hai số \[-p\] và \[q\] là nghiệm của phương trình.
\[\eqalign{
& \left[ {x + p} \right]\left[ {x - q} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - qx + px - pq = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + \left[ {p - q} \right]x - pq = 0 \cr} \]
Phương trình cần tìm là: \[{x^2} + \left[ {p - q} \right]x - pq = 0\].
Bài 6.3
Dùng định lí Vi-ét, hãy chứng tỏ rằng nếu tam thức \[a{x^2} + bx + c\]có hai nghiệm \[x_1\]và \[x_2\]thì nó phân tích được thành
\[a{x^2} + bx + c = a\left[ {x - {x_1}} \right]\left[ {x - {x_2}} \right]\]
Áp dụng:
Phân tích các tam thức sau thành tích:
a]\[{x^2} - 11x + 30\]
b]\[3{x^2} + 14x + 8\]
c]\[5{x^2} + 8x - 4\]
d]\[{x^2} - \left[ {1 + 2\sqrt 3 } \right]x - 3 + \sqrt 3 \]
Phương pháp giải:
Áp dụng hệ thức Vi-ét:
- Nếu \[{x_1},{\rm{ }}{x_2}\]là hai nghiệm của phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\,[a \ne 0]\]thì:
\[\left\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = -\dfrac{b}{a}& & \\ x_{1}x_{2}=\dfrac{c}{a} & & \end{matrix}\right.\]
Lời giải chi tiết:
Tam thức bậc hai: \[a{x^2} + bx + c\]có hai nghiệm \[x_1,x_2\]nên phương trình: \[a{x^2} + bx + c = 0\;[a \ne 0]\] có hai nghiệm\[x_1,x_2\]
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\[\displaystyle {x_1} + {x_2} = - {b \over a};{x_1}{x_2} = {c \over a}\;\;[1] \]
Lại có: \[\displaystyle a{x^2} + bx + c = a\left[ {{x^2} + {b \over a}x + {c \over a}} \right]\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra:
\[\eqalign{
& a{x^2} + bx + c \cr&= a\left[ {{x^2} - \left[ {{x_1} + {x_2}} \right]x + {x_1}{x_2}} \right] \cr
& = a\left[ {{x^2} - {x_1}x - {x_2}x + {x_1}{x_2}} \right] \cr
& = a\left[ {x\left[ {x - {x_1}} \right] - {x_2}\left[ {x - {x_1}} \right]} \right] \cr
& = a\left[ {x - {x_1}} \right]\left[ {x - {x_2}} \right] \cr} \]
Áp dụng:
a]
\[\eqalign{
& {x^2} - 11x + 30 = 0 \cr
& \Delta = {\left[ { - 11} \right]^2} - 4.1.30 = 1 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt 1 = 1 \cr
& {x_1} = {{11 + 1} \over {2.1}} = 6 \cr
& {x_2} = {{11 - 1} \over {2.1}} = 5 \cr} \]
Ta có:\[{x^2} - 11x + 30 = \left[ {x - 6} \right]\left[ {x -5} \right]\]
b]
\[\eqalign{
& 3{x^2} + 14x + 8 = 0 \cr
& \Delta ' = {7^2} - 3.8 = 49 - 24 = 25 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt {25} = 5 \cr
& {x_1} = {{ - 7 + 5} \over 3} = - {2 \over 3} \cr
& {x_2} = {{ - 7 - 5} \over 3} = - 4 \cr} \]
Ta có: \[\displaystyle 3{x^2} + 14x + 8 = 3\left[ {x + {2 \over 3}} \right]\left[ {x + 4} \right]\]\[\, = \left[ {3x + 2} \right]\left[ {x + 4} \right]\]
c]
\[\eqalign{
& 5{x^2} + 8x - 4 = 0 \cr
& \Delta ' = {4^2} - 5.\left[ { - 4} \right] = 36 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt {36} = 6 \cr
& {x_1} = {{ - 4 - 6} \over 5} = - 2 \cr
& {x_2} = {{ - 4 + 6} \over 5} = {2 \over 5} \cr} \]
Ta có: \[\displaystyle 5{x^2} + 8x - 4 = 5\left[ {x - {2 \over 5}} \right]\left[ {x + 2} \right] \]\[\,\displaystyle = \left[ {5x - 2} \right]\left[ {x + 2} \right] \].
d] \[{x^2} - \left[ {1 + 2\sqrt 3 } \right]x - 3 + \sqrt 3 = 0 \]
\[\Delta = {\left[ { - \left[ {1 + 2\sqrt 3 } \right]} \right]^2} \]\[\,- 4.1.\left[ { - 3 + \sqrt 3 } \right] \]
\[ = 1 + 4\sqrt 3 + 12 + 12 - 4\sqrt 3\]\[\, = 25 > 0 \]
\[\sqrt \Delta = \sqrt {25} = 5 \]
\[\displaystyle {x_1} = {{1 + 2\sqrt 3 + 5} \over {2.1}} = 3 + \sqrt 3 \]
\[\displaystyle {x_2} = {{1 + 2\sqrt 3 - 5} \over {2.1}} = \sqrt 3 - 2 \]
Ta có: \[ {x^2} - \left[ {1 + 2\sqrt 3 } \right]x - 3 + \sqrt 3 \]\[\,= \left[ {x - \left[ {3 + \sqrt 3 } \right]} \right]\left[ {x - \left[ {\sqrt 3 - 2} \right]} \right] \] \[= \left[ {x - 3 - \sqrt 3 } \right]\left[ {x - \sqrt 3 + 2} \right] \].
Bài 6.4
Cho phương trình
\[\left[ {2m - 1} \right]{x^2} - 2\left[ {m + 4} \right]x + 5m + 2\]\[\, = 0\;\displaystyle [m \ne {1 \over 2}].\]
a] Tìm giá trị của \[m\] để phương trình có nghiệm.
b] Khi phương trình có nghiệm \[x_1,x_2\], hãy tính tổng \[S\] và tích \[P\] của hai nghiệm theo \[m.\]
c] Tìm hệ thức giữa \[S\] và \[P\] sao cho trong hệ thức này không có \[m.\]
Phương pháp giải:
Sử dụng:
- Phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\,[a \ne 0]\] và \[b = 2b'\], \[\Delta ' = b{'^2} - ac\] có nghiệm khi và chỉ khi\[\Delta ' \ge 0\].
- Hệ thức Vi-ét:
Nếu \[{x_1},{\rm{ }}{x_2}\]là hai nghiệm của phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\,[a \ne 0]\]thì:
\[\left\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = -\dfrac{b}{a}& & \\ x_{1}x_{2}=\dfrac{c}{a} & & \end{matrix}\right.\]
Lời giải chi tiết:
Phương trình: \[\left[ {2m - 1} \right]{x^2} - 2\left[ {m + 4} \right]x + 5m + 2 \]\[\,= 0\;[m \ne\displaystyle {1 \over 2}]\] [1]
a] Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi\[\Delta ' \ge 0\]
\[ \Delta ' = {\left[ { - \left[ {m + 4} \right]} \right]^2} \]\[\,- \left[ {2m - 1} \right]\left[ {5m + 2} \right] \]
\[= {m^2} + 8m + 16 - 10{m^2} - 4m + 5m \]\[\,+ 2 \]
\[= - 9m^2 + 9m + 18 \]
\[= - 9\left[ {{m^2} - m - 2} \right] \]
\[=-9[m^2-2m+m-2]\]
\[=-9[m[m-2]+m-2]\]
\[= - 9\left[ {m - 2} \right]\left[ {m + 1} \right] \]
\[ \Delta ' \ge 0\Leftrightarrow - 9\left[ {m - 2} \right]\left[ {m + 1} \right] \ge 0\]
\[\Leftrightarrow \left[ {m - 2} \right]\left[ {m + 1} \right] \le 0 \]
\[\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{m - 2 \ge 0} \cr
{m + 1 \le 0} \cr} } \right.\] hoặc \[\left\{ {\matrix{{m - 2 \le 0} \cr {m + 1 \ge 0} \cr} } \right.\]
TH1:
\[\left\{ {\matrix{
{m - 2 \ge 0} \cr
{m + 1 \le 0} \cr
} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{m \ge 2} \cr
{m \le - 1} \cr} } \right.} \right.\] vô nghiệm
TH2:
\[\left\{ {\matrix{
{m - 2 \le 0} \cr
{m + 1 \ge 0} \cr
} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{m \le 2} \cr
{m \ge - 1} \cr} } \right.} \right.\] \[\Leftrightarrow - 1 \le m \le 2\]
Vậy \[-1 m 2\] thì phương trình [1] có nghiệm.
b] Phương trình có hai nghiệm \[x_1,x_2\].
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\[\displaystyle {x_1} + {x_2} = {{2\left[ {m + 4} \right]} \over {2m - 1}};\] \[\displaystyle{x_1}{x_2} = {{5m + 2} \over {2m - 1}}\]
c] Theo câu b ta có:
\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2\left[ {m + 4} \right]}}{{2m - 1}}\\
{x_1}{x_2} = \dfrac{{5m + 2}}{{2m - 1}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2m + 8}}{{2m - 1}}\\
{x_1}{x_2} = \dfrac{{\dfrac{5}{2}.2m - \dfrac{5}{2} + \dfrac{9}{2}}}{{2m - 1}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2m - 1 + 9}}{{2m - 1}}\\
{x_1}{x_2} = \dfrac{{\dfrac{5}{2}\left[ {2m - 1} \right] + \dfrac{9}{2}}}{{2m - 1}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2m - 1}}{{2m - 1}} + \dfrac{9}{{2m - 1}}\\
{x_1}{x_2} = \dfrac{{\dfrac{5}{2}\left[ {2m - 1} \right]}}{{2m - 1}} + \dfrac{{\dfrac{9}{2}}}{{2m - 1}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 1 + 9.\dfrac{1}{{2m - 1}}\\
{x_1}{x_2} = \dfrac{5}{2} + \dfrac{9}{2}.\dfrac{1}{{2m - 1}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 1 + 9.\dfrac{1}{{2m - 1}}\\
2{x_1}{x_2} = 5 + 9.\dfrac{1}{{2m - 1}}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow 2{x_1}{x_2} - \left[ {{x_1} + {x_2}} \right] \\= 5 + 9.\dfrac{1}{{2m - 1}} - \left[ {1 + 9.\dfrac{1}{{2m - 1}}} \right]\\
\Leftrightarrow 2{x_1}{x_2} - \left[ {{x_1} + {x_2}} \right] = 4
\end{array}\]
Vậy \[ 2{x_1}{x_2} - \left[ {{x_1} + {x_2}} \right] = 4 \] là biểu thức không phụ thuộc vào \[m\] cần tìm.