Đề bài
Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp và P là điểm nằm trong tam giác. Gọi A, B, C là các điểm đối xứng với điểm P lần lượt qua các đường thẳng AI, BI, CI. Chứng minh rằng các đường thẳng AA, BB, CC đồng quy.
Lời giải chi tiết
Ta xét trường hợp P nằm trong góc BAI.
Gọi \[{P_A},\,{P_B},\,{P_C}\] là các điểm đối xứng với P lần lượt qua các đường thẳng BC, CA, AB.
Ta chứng minh rằng AA là đường trung trực của đoạn thẳng \[{P_B}{P_{C}}\].
Thật vậy, nếu ta kí kiệu \[\widehat {PAB} = \alpha ,\,\widehat {PAI} = \beta \], ta có:
\[\widehat {{P_C}AA'} = \widehat {{P_C}AP} + \widehat {PAA'} = 2\alpha + 2\beta \]
Và
\[\eqalign{
& \widehat {A'A{P_B}} = \widehat {A'AC} + \widehat {CA{P_B}} \cr
& = \widehat {A'AC} + \widehat {CAP} = \alpha + \alpha + 2\beta \cr
& = 2\alpha + 2\beta . \cr} \]
Vậy \[\widehat {{P_C}AA'} = \widehat {A'A{P_B}}\]
Ngoài ra, hiển nhiên \[A{P_C} = A{P_B}.\]
Suy ra AA là đường trung trực của đoạn thẳng \[{P_B}{P_C}.\]
Chứng minh tương tự, ta cũng có BB là đường trung trực của đoạn thẳng \[{P_C}{P_A}\] và CC là đường trung trực của đoạn thẳng \[{P_C}{P_A}\] và CC là đường trung trực của đoạn thẳng \[{P_A}{P_B}.\]
Suy ra AA, BB, CC đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[{P_A}{P_B}{P_C}.\]
Trường hợp P nằm trong góc CAI, lập luận tương tự.